向量共线、定比分点公式及数量积
一、 平面向量共线定理、定比分点
1. 平面向量共线定理
设),(11y x a =，),(22y x b =（ b ≠0），则b a //⇔01221=-y x y x 注：不能写成b a //⇔2
2
11x y x y =
，因21x x 、为有可能为0. 2.定必分点公式
已知),(111y x P ，),(222y x P ，),(y x P ，若21PP P P λ= 则OP =
λ+111OP +λ
+λ
12OP 坐标公式⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧λ+λ+=λ
+λ+=1121
21y y y x x x ，（λ≠－1），即,1(21
λ+λ+=x x P )121λ+λ+y y 注意：点P 为21P P 所成的比为λ，用数学符号表达即为P P 1=λ2PP .当λ ＞0时，P 为
内分点；λ ＜0时，P 为外分点.
二、平面向量的数量积
1．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角是θ，则数量 |a ||b |cos θ 叫a 与b 的数量积，记作a ⋅b ，即a ⋅b = |a ||b |cos θ，(0)θπ≤≤并规定0与任何向量的数量积为02．平面向量的数量积的几何意义：数量积a ⋅b 等于
a 的长度与
b 在a 方向上投影 |b |
c os θ的乘积. b
在a 方向上的投影：OP a
b
a b ⋅=θ=cos
3．两个向量的数量积的性质：设a 、b 为两个非零向量
（1）-|a ||b |≤|a ⋅b | ≤ |a ||b |，当a 与b 同向时，a ⋅b = |a ||b |；当a
与b 反向时，a ⋅b = -|a ||b |；
（2）a ⊥b ⇔ a ⋅b = 0（两向量垂直的判定）； （3）cos θ =
||||b a b a ⋅，|a |cos θ =||b b a ⋅，|b |cos θ =|
|a b
a ⋅（投影式）.
4.平面向量数量积的运算律
（1）交换律：a ⋅b =b ⋅a （2） 数乘结合律：(λa )⋅b =λ(a ⋅b ) = a ⋅(λb )
（3）分配律：(b a + )⋅c = a ⋅c + b ⋅c 5.平面向量数量积的坐标表示
（1）已知两个向量),(11y x a =，),(22y x b =,则a ⋅b 2121y y x x +=.
y
P 2
P P 1
O x
a
b θ
θ
a
b
o
P P
o
（2）设),(y x a =，则22||y x a +=
.
（3）平面内两点间的距离公式
如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，
那么2
21221)()(||y y x x a -+-=.
（4）向量垂直的判定 ：两个非零向量),(11y x a =),(22y x b =
b a ⊥⇔02121=+y y x x .
（5）两向量夹角的余弦 cos θ =
|
|||b a b
a ⋅⋅2
2
222
1
2
12121y x y x y y x x +++=
（πθ≤≤0） 平面向量共线定理、定比分点
1、 a ＝(1,1)，b ＝(－1,1)，c ＝(4,2)，则c ＝( )
A ．3a ＋b
B ．3a －b
C ．－a ＋3b
D ．a ＋3
2、下列各组向量可以作为该平面一组基底的是( )
A ．)2,1(=a 与)1,2(=b
B ．)2,1(-=a 与=b 0
C ．)2,1(=a 与)4,2(--=b
D ．)1,0(=a 与)1,0(-=b 3、已知)3,2(-A ,)2,3(-=AB ,则点B 和线段AB 的中点M 坐标分别为( )
A ．)5,5(-
B ,)0,0(M B ．)5,5(-B ,⎪⎭⎫ ⎝⎛-4,27M
C ．()
1,1B ,)0,0(M D ．()1,1B ,⎪⎭
⎫ ⎝⎛-4,27M 4、已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，x )，若a ＋b 与4 b －2 a 平行，则实数x 的值是 ( )
A ．－2
B ．0
C ．1
D ．2
5、在ABC ∆中，=b ,=c ,若点D 满足DC BD 2=,则=( )
A ．c b 3132+
B ．b c 3235-
C ．c b 3
132- D ．c b 3231+
6、已知向量a 与向量b 不共线，实数y x,满足)2(y x -a +4b =5a +()y x 2-b ， 则=+y x ________ ；
7、已知ABC ∆三顶点)4,5(),3,2(),2,1(C B A -，则其重心坐标为_____________； 8、如右图所示，在ABC ∆中，已知A(2,3)，B(6，－4)，G(4，－1)是中线AD
＝，则点C 的坐标为____________.
9、已知)2,3(),2,1(-==b a ，当k 为何值时，k b a +与b a 3-平行，此时它们方向如何?
10、(1) 已知点)4,3(),2,1(--B A ,点P 在直线AB 上，且3
1
=
,求点P 的坐标；
(2)已知点)8,6(),4,2(--B A ,点P 在直线AB =求点P 的坐标.
平面向量的数量积
1、已知等边ABC ∆的边长为6，则⋅与()
CA BC AB ⋅+的值分别为( )
A ．18-和36
B ．18-和36-
C ．18和36-
D ．18-和36 2、已知2=b ，6-=⋅b a ，则a 在向量b 方向上的投影为( )
A ．3-
B ．12-
C ．3
D ．无法确定 3、已知向量a =(x ,y), b =( -1,2 )，且a +b =（1，3），则a 等于（ ） A ． 2 B . 3 C. 5 D. 10 4、已知向量等于则垂直与若a ,b a ),n ,(b ),n ,(a 11-==（ ） A ．1
B ．2
C ．2
D ．4
5、已知),(b ),,(a 1623-==，而)b a ()b a (λ-⊥+λ，则λ等于（ ）
A ．1或2
B ．2或－1
2
C ． 2
D ．以上都不对
6、若平面向量b 与向量a =(1,-2)的夹角是180
, 且 b 3=则b 等于( ).
A. (3,6)-
B. (3,6)-
C. (6,3)-
D. (6,3)-
7、已知2,2,1-=⋅==b a b a ，则a 与b 的夹角为_________； 8、已知)4,3(=a ，且10=⋅b a ，求b 在a 的投影_________.
9、已知3||,4||==b a ，的夹角为与b a 4
π
，求||b 2a +，||4b -3a .
10、已知,|b |,|a |12==a 与b 的夹角为3
π
,若向量+a 2k b 与b a +垂直, 求k .
11、已知1||,3||==b a ，b a 与的夹角为6
π
，求b -a b a 与+的夹角的余弦值.
12、已知向量4||,3||==b a ，且4)2()(≥-⋅+b a b a ，求a 与b 夹角θ的取值范围.
13、ABC ∆中，c b a ===,,，4||,2||,3||===c b a ，求d c c b b a ⋅+⋅+⋅
14、已知向量)2,3(),2,1(-==b a ，向量=c k b a +，b a d 3-=
（1）当k 为何值时，有d c ⊥；（2）若的夹角为钝角时与 d c ，求k 的取值范围.。