定比分点的向量公式及应用浙江省永康市古山中学（321307） 吴汝龙定比分点的向量公式：在平面上任取一点O ，设a OP =1，b OP =2，若21PP P P λ=，则b a OP λλλ+++=111。

特别地，当1=λ时，即P 为线段21P P 的中点，则有b a OP 2121+=。

用定比分点的向量公式，可使有些问题的解决更简洁。

下面举几例说明。

一、求定比λ的值：例1：已知A （1,2），B （1,3-）及直线l ：54-=x y ，直线AB 与l 相交于P 点，求P 点分AB 的比λ。

解：设),(y x P ，则由PB AP λ=，得)11,131()1,3(1)1,2(11),(λλλλλλλ+-++=-+++=y x ， 又∵P 点在直线l 上， ∴51)31(411-++=+-λλλλ， ∴31=λ。

例2：如图所示，在ABC ∆中，D 为边BC 上的点，且DC k BD =，E 为AD 上的一点，且EA l DE =，延长BE 交AC 于F ，求F 分有向线段CA 所成的比λ。

解：∵FA CF λ=，∴BA BC BF λλλ+++=111， 又EA l DE =，∴BA l lBD l BE +++=111，而BC kkDC k BD +==1， ∴BA llBC k l k BE ++++=1)1)(1(，∵B 、E 、F 共线，∴设BF t BE =，而BA tBC t BF t λλλ+++=11 ∴BA tBC t BA l l BC k l k λλλ+++=++++111)1)(1(FEDCBA∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+++=+llt k l k t11)1)(1(1λλλ，解得k k l )1(+=λ。

二、求直线上点的坐标例3：已知点)1,1(--A ，)5,2(B ，点C 为直线AB 上一点，且BC AC 5-=，求C 点的坐标。

分析：先求出C 点分AB 的λ的值，再利用定比分点的向量公式求出点C 的坐标。

解：∵BC AC 5-=，∴5==CBAC λ，利用定比分点的坐标公式有)4,23()5,2(65)1,1(616561=+--=+=OB OA OC 。

∴C 点的坐标为)4,23(。

例4：已知)3,2(A ，)5,1(-B ，且AB AC 31=，AB AD 3=，求点C ，D 的坐标。

分析：由题设，运用定比分点的向量公式，可以求得点C ，D 的坐标。

解：设),(11y x C ，),(22y x D ， ∵AB AC 31=，∴211==CB λ， ∴根据定比分点的向量公式有OB OA OC 211111λλλ+++=， ∴)311,1()5,1(31)3,2(32)5,1(21121)3,2(2111),(11=-⨯+⨯=-⨯++⨯+=y x同理由AB AD 3=得232-==DBλ，∴根据定比分点的向量公式有OB OA OC 211111λλλ+++=， ∴)9,7()5,1(3)3,2(2)5,1(23123)3,2(2311),(22-=-⨯+⨯-=-⨯+-+⨯-=y x∴点C 的坐标为)311,1(，D 点的坐标为)9,7(-。

三、证明三点共线例5：已知点),(c b a A +，),(a c b B +，),(b a c C +，求证：A 、B 、C 三点共线。

证明：设),(/y c C 在AB 上，/C 分AB 的比为λ，则),(1),(11111/a c b c b a OB OA OC +++++=+++=λλλλλλ)1,1(λλλλλ++++++=c c b a b a∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++++=++=λλλλλ11c c b a y b a c ，解得⎪⎩⎪⎨⎧+=--=b a y b c c a λ∴),(/y c C 与),(b a c C +重合， 由题设知C 在AB 上， ∴A 、B 、C 三点共线。

四、求字母系数范围例6：已知点)3,3(A ，)5,1(-B ，一次函数1+=kx y 的图象与线段AB 有公共点，求实数k 的取值范围。

解：设),(y x P 为一次函数图象与线段AB 的交点，把P 看作AB 的定比分点，其定比为λ，则有0≥λ，由定比分点公式有)153,13()5,1(1)3,3(11111λλλλλλλλλλ+++-=-+++=+++=OB OA OP ， 而P 点在函数1+=kx y 图象上，∴113153++-⋅=++λλλλk ， 解得423+-=k k λ，∴0423≥+-k k ，即32≥k 或4-<k ， 而当P 点与B 重合时，4-=k 也适合。

∴4-≤k 或32≥k 。

例7：若直线2--=ax y 与连接)1,2(-P ，)2,3(Q 两点的线段有公共点，求实数a 的取值范围。

解：当直线过P 点时，23=a ，直线过Q 点时，34-=a ， 当直线与线段PQ 的交点在P 、Q 之间时，设这个交点),(y x M 分PQ 的比为λ， 由定比分点公式有)121,132()2,3(1)1,2(11111λλλλλλλλλλ++++-=++-+=+++=OQ OP OM ， ∴M 点的坐标为)121,132(λλλλ++++-，又∵直线过点M ，∴2132121-++-⨯-=++λλλλa ， ∴4332+-=a a λ，又∵点M 在线段PQ 上知0>λ， ∴04332>+-a a ，解得34-<a 或23>a ， ∴34-≤a 或23≥a 。

五、解决平面几何问题：例8：如图所示，在平行四边形ABCD 中，P 点在线段AB 上，且m PBAP=，Q 在线段AD 上，且n QD AQ =，BQ 与CP 相交于R ，求RCPR的值。

分析：取两基底，由定比分点的向量公式将有关向量用基底表示出来，再求解。

解：设a BA =，b BC =，RC PR λ=，∴λ=RCPR ， 由题意有PB m AP =，QD n AQ =，则a m BA m PA m BP 11111+=+==， b nna b a n n a n BD n n BA n BQ ++=++++=+++=1)(111111，b a m BC BP BR λλλλλλ++++=+++=1)1)(1(1111， 又B 、R 、Q 三点共线，∴存在实数t 使BR t BQ =， ∴b nna b t a m t ++=++++11)1)(1(λλλ，RQ PDCB A∴1)1)(1(=++m t λ，且nnt +=+11λλ。

∴)1)(1(n m n ++=λ，即)1)(1(n m nRC PR ++=。

例9：设直角三角形AOB斜边的三等分点为D 、E 。

求证2222||32||||||AB DE OE OD =++。

分析：以O 为原点，OA 为x 轴正向建立直角坐标系，设)0,(a OA =，),0(b OB =，用a ，b 表示相关线段的长度，从而证明命题。

证明：以直角顶点O 为原点，直角边OA 、OB 所在直线为x 轴，y 轴建立直角坐标系，如图设点)0,(a A ，点),0(b B ，),(y x D 则D 分AB 的比为21=λ， ∴由定比分点的向量公式得)31,32(),0(21121)0,(2111111b a b a OB OA OD =+++=+++=λλλ∴点D 坐标为)31,32(b a同理点E 坐标为)32,31(b a ，由两点间距离公式，得994||222b a OD +=，949||222b a OE +=， 99||222b a DE +=，∴)(323232||||||2222222b a b a DE OE OD +=+=++， 而222||AB b a =+，∴2222||32||||||AB DE OE OD =++。

例10：如图，已知ABC ∆，求证：ABC ∆的三条中线AD 、BE 、CF 相交于一点G ，且32===CF CG BE BG AD AG 。

分析：几何问题应用向量来解决，关键是将有关线段设为Y XE DBAOG FEDCBA向量，可以在平面内任取一点O 为向量的始点，将OA 、OB 、OC 设出。

证明：如图，在平面内任取一点O ，设a OA =，b OB =，c OC =，又设1G 为AD 上一点，且D G AG 112=，则OD OA OG 2122111+++=OD a OD OA 32313231+=+= ∵D 为BC 中点，∴)(21c b OD +=，∴)(31)(2132311c b a c b a OG ++=+⨯+=，同样，若设E G BG 222=，F G CG 332=，则可证得)(312c b a OG ++=,)(313c b a OG ++=∴321OG OG OG == ∴1G 、2G 、3G 三点重合。

设交点为G ，则有32===CF CG BE BG AD AG 。

O G FEDCB A。