补充知识1： 向量的定比分点公式
第五讲 等和线 1.等和线
平面内一组基底OA , OB 及任一向量OP ,OP = λOA + μOB (λ, μ∈ R ) ，若点 P 在直线 AB 上或在平行于 AB 的直线上，则λ+ μ= k (定值) ,反之也成立，我们把直线 AB 以及与直线 AB 平行的直线成为等和线.
①当等和线恰为直线 AB 时， k = 1 ；
②当等和线在O 点和直线 AB 之间时， k ∈ (0,1) ； ③当直线 AB 在O 点和等和线之间时， k ∈ (1, +∞) ； ④当等和线过O 点时， k = 0 ；
⑤若两等和线关于O 点对称，则定值 k 互为相反数； ⑥定值 k 的变化与等和线到O 点的距离成正比； 2.等和线定理应用背景:
在平面向量基本定理的表达式中，若需研究两系数的和时，可以用等值线法.
例1 （2017新课标Ⅲ）在矩形ABCD 中，1AB =，2AD =，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切
的圆上．若AP AB AD λμ=+，则λμ+的最大值为
A ．3
B ．22
C ．5
D ．2
例2 给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，
它们的夹角为2π3.如图所示，点C 在以O 为圆心的AB 上运动．若OC
→＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，求x ＋y 的最大值．
例3 (2018·杭州五校联盟一诊)在矩形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝3，P 为矩形内一点，且AP ＝5
2，若AP →＝λAB →＋μAD →(λ，μ∈R )，则5λ＋3μ的最大值为______． 答案
102
1.(2018·菏泽一诊)如图,在扇形OAB 中,60AOB ︒
∠=,C 为弧AB 上的一个动点．若OC -→xOA y OB -→-→
=+,则y x 4+的取值范围是 ．
2.(2018·合肥一诊)如图,四边形是边长为1的正方形,,点为内（含边界）的动点,设,则的最大值等于
3.如图，在中，是线段上的一点，且，过点的直线分别交直线于点，若，，则的最小值是 .
4.已知向量OB OA ,满足1=+OB OA ，OB OA ⊥，OB OA OC μλ+=）、（R ∈μλ，若M 为线段AB 的中点，并且1M =C ，则μλ+的最大值是（ ）。

A: 21+
B: 21-
C:
1-2
D: 1
5.如图正六边形ABCDEF 中，P 点三角形CDE 内（包括边界）的动点，设AF AB AP y x +=，则y x +
的取值范围是________.
6.（2013安徽卷9）在平面直角坐标系中，o 是坐标原点，两定点,A B 满足2,OA OB OA OB ===则点集,1,,|P OP OA OB R λμλμλμ==++≤∈所表示的区域的面积是
（A ）22 （B ）23（C ） 42 （D ）43
7.如图，在直角梯形ABCD 中，AB ⊥AD ，AB ∥DC ，AB=2，AD=DC=1，图中圆弧所在圆的圆心为点C ，
半径为2
1
，且点P 在图中阴影部分（包括边界）运动．若B C AB AP y x +=，其中x ，y ∈R ，则y
x -4的取值范围是（ ）
OABC 3=OD P BCD ∆(,)OP OC OD R αβαβ=+∈αβ+ABC ∆D BC 4BC BD =D ,AB AC ,M N AM AB λ=(0,0)AN AC μλμ=>>3λμ+
A ]4
2
33,2[+ B.]2
53,2[+
C. ]253,42-
3[+ D.]2
173,2173[+-
补充知识2： 极化恒等式
1.极化恒等式：(
)(
)[]
.4
12
2b a b a b a --+=•
在ABC ∆中，若AM 是ABC ∆的BC 边中线，有以下两个重要的向量关系：()()
⎪⎩
⎪⎨⎧-=+=.
21
,21AB AC BM AB AC AM
定理1 平行四边形两条对角线的平分和等于两条邻边平分和的两倍.以此类推到三角形，若AM 是ABC ∆的中线，则().22222BM AM AC AB +=+
定理 2 （极化恒等式的三角形模式）在ABC ∆中，若M 是BC 的中点，则有
.
41
2222
BM AM BC AM AC AB -=-=•
例1 （2017新课标Ⅱ）已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则
()PA PB PC ⋅+的最小值是
A ．2-
B ．32-
C ．4
3
- D ．1-
例2 【2018届江苏省苏锡常镇四市高三调研（二）】如图，扇形的圆心角为90°，半径为1，点是圆弧上的动点，作点关于弦的对称点，则的取值范围为____．
例3 (2017·广东七校联考)在等腰直角△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝2，M ，N 为AC 边上的
两个动点(M ，N 不与A ，C 重合)，且满足|MN →|＝2，则BM →·BN
→的取值范围为________．
1.在ABC ∆中，60BAC ∠=若2AB =，3BC =，D 在线段AC 上运动，DA DB ⋅的最小值为
2.已知AB 是圆O 的直径,AB 长为2,C 是圆O 上异于,A B 的一点,P 是圆O 所在平面上任意一点,则()
PA PB PC +⋅的最小值为____________
3．在ABC ∆中，3AB =，4AC =，60BAC ∠=，若P 是ABC ∆所在平面内一点，且2AP =，则PB PC ⋅的最大值为
4． 若点O 和点(2,0)F -分别是双曲线2
221(0)x y a a
-=>的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上任
意一点则OP FP ⋅的取值范围是 .
5．在Rt ABC ∆，2AC BC ==，已知点P 是ABC ∆内一点，则)(PB PA PC +⋅的最小值
是 .
6.已知B A 、是单位圆上的两点，O 为圆心，且MN AOB o ,120=∠是圆O 的一条直径，点C 在圆内，且满足)10()1(<<-+=λλλOB OA OC ，则CN CM ⋅的取值范围是（ ）
A ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡-1,21
B ．[)1,1-
C ．⎪⎭⎫
⎢⎣⎡-0,43 D ．[)0,1-
3PB AP。