I x = ∫∫ y2µ ( x, y)dσ
D
I y = ∫∫ x2 µ( x, y)dσ
D
Io = ∫∫ ( x2 + y2 ) µ( x, y)dσ
D
(2)空间物体的转动惯量 (2)空间物体的转动惯量 设物体占有空间域Ω 设物体占有空间域Ω ,有连续密度函数 ρ ( x , y , z ) 则转动惯量为 转动惯量为
2 2 2
D2 z
Dz 1
z
R
R 2
面为对称， 解 Q Ω 关于 yoz 面为对称， ∫∫∫ xdv = 0.
Ω
x 的函数， 又 Q 被积函数仅为 z 的函数，截面 D(z ) 为圆域 2
o
y
采用＂先二后一＂ 为方便． 采用＂先二后一＂法较 为方便．
Ω
I = ∫∫∫ z dv
= ∫ z dz
2 R 2 0
ϕ
dV
r
∫∫∫ f ( x, y, z)dxdydz
Ω
0
θ
dθ
.
y
x
= ∫∫∫ f ( r sin ϕ cos θ , r sin ϕ sin θ , r cos ϕ ) r 2 sin ϕ dr dϕ dθ
Ω
重积分在几何上的应用
(一)平面区域的面积 设有平面区域D, 则其面积为: 设有平面区域 则其面积为 D = (二)体积
∫0 dz ∫−
2
2z 2z
1 dx 2 2z − z
=8
x
x2= 2z
O
2
A = 2 A1 = 16
z
例9 设f ( x )在x = 0处可导，且 f (0) = 0, 求极限 处可导，
1 lim 4 ∫∫∫ f ( x 2 + y 2 + z 2 )dxdydz , t →0 t Ω
其中Ω : x 2 + y 2 + z 2 ≤ t 2 .
dxdy + ∫R z 2 dz ∫∫
Dz : x 2 + y 2 ≤ 2 Rz − z 2
2
R
∫∫ dxdy
Dz : x 2 + y 2 ≤ R 2 − z 2
59 = πR 5 . 480
例5 求半球面z = 3a2 − x2 − y2与旋转抛物面
x2 + y2 = 2az 所围成立体的表面积. 所围成立体的表面积. z
∫∫ dσ D
设曲面方程为 z = f ( x , y ) ≥ 0, ( x , y ) ∈ D . 上的曲顶柱体体积为: 则D上的曲顶柱体体积为 V = ∫∫ f ( x, y)dσ 上的曲顶柱体体积为 占有空间有界域Ω的立体的体积为: 占有空间有界域Ω的立体的体积为:
D
V = ∫∫∫ dxdydz
x
求半球面z = 3a2 − x2 − y2与旋转抛物面 例5 16 2 2 2 x + y = 2az 所围成立体的表面积. S = S1 + S2 = πa 所围成立体的表面积. 3 3a 2 2 dxdy 解 S1 = ∫∫ 1 + z x + z y dxdy = ∫∫ 2 2 2 3a − x − y D D
Ω
(三)曲面的面积
z = f ( x, y)
A = ∫∫ 1+ fx2 + f y2 dσ
Dxy
重积分在物理上的应用 ( 一) 质( 重) 心
(1) 平面薄片的质心 ∫∫ xµ( x, y)dσ ∫∫ yµ( x, y)dσ My D x= , y = Mx = D = M M ∫∫ µ( x, y)dσ ∫∫ µ( x, y)dσ (2) 空间物体的质心 ∫∫∫ xρ( x, y, z)dVxΒιβλιοθήκη zOyxz y
y = 2z − z 2
1− z , y x = 0, yz = 2 2z − z
1 1+ y + y = 2z − z 2
2 x 2 z
1 1+ y + y = 2z − z 2
2 x 2 z
A1 =
=
∫∫ D
xz
1 + y + y d xd z =
2 x 2 z
∫∫ D
xz
1 d xd z 2 2z − z
设物体占有空间区域V, 设物体占有空间区域 体密度为ρ ( x , y , z ), 区域 V 之外有一质量为 m 的质点 A(a, b, c), 求物体 V 对质点 A 的引力. 的引力 引力F在三个坐标方向上的分量为 引力 在三个坐标方向上的分量为
m ρ ( x , y , z )( x − a ) Fx = ∫∫∫ G dv , 3 r V m ρ ( x , y , z )( y − b ) Fy = ∫∫∫ G dv , 3 r V m ρ ( x , y , z )( z − c ) Fz = ∫∫∫ G dv . 3 r V 其中G为万有引力系数 为万有引力系数。 其中 为万有引力系数。
x = r cosθ y = r sinθ
z=z
. .
z
z M(x, y, z) M(r,θ, z) z
0
y
x
x
θ
y
r
P(x, y, 0)
柱面坐标下的体积元素
z
元素区域由六个坐标面围成： 元素区域由六个坐标面围成： 半平面 θ 及θ+dθ ; 半径为 r 及 r+dr 的圆柱面； 平面 z及 z+dz； 及
= 3a ∫ dθ ∫
0 2π 2a
1
S2 = ∫∫
D
.
3a 2 − r x 2 y 2 1 + ( ) + ( ) dxdy a a
0
rdr = 2 3( 3 − 1)πa 2
2.
.
2a 1 2π = ∫ dθ ∫ a 2 + r 2 rdr 0 a 0 2 2 = ( 2 3 − )πa 3
z = 3a 2 − x 2 − y 2 2 x + y 2 = 2az x 2 + y 2 ≤ 2a 2 即D: z = 0
解 球 =
z
t
∫∫∫ f ( Ω
Ω 2π
x + y + z )dxdydz
三重积分的计算
直角坐标、柱面坐标和 三重积分可以用 直角坐标、柱面坐标和球面坐标 来计算. 其方法都是将三重积分化为三次积分 来计算. 其方法都是将三重积分化为三次积分. 将三重积分化为三次积分关键： 三重积分化为三次积分关键： • 根据被积函数和积分域选择合适的坐标系; 根据被积函数和积分域选择合适的坐标系; • 画出投影域、确定积分序; 画出投影域、确定积分序; • 定出积分限、计算要简便 . 定出积分限、
I x = ∫∫∫( y2 + z2 ) ρ( x, y, z)dv
Ω
I y = ∫∫∫( x2 + z2 )ρ( x, y, z)dv
Ω
Iz = ∫∫∫( x2 + y2 ) ( x, y, z)dv ρ
Ω
I0 = ∫∫∫ ( x2 + y2 + z2 )ρ ( x, y, z)dv
Ω
(三) 引力
x= Myz M =
D
D
∫∫∫ ρ ( x, y, z)dV
Ω
Ω
, z=
,
Mzx y= = M
∫∫∫ yρ ( x, y, z)dV ∫∫∫ ρ ( x, y, z)dV
Ω Ω
Mxy M
=
∫∫∫ zρ ( x, y, z)dV ∫∫∫ ρ ( x, y, z)dV
Ω Ω
(二) 转动惯量
(1) 平面薄片的转动惯量
z2 ( x , y )
上边界曲面（上顶） 上边界曲面（上顶）
z
z = z2 ( x , y )
f ( x , y, z )dz dσ . = ∫∫ ∫ z1 ( x , y ) D
z2 S 2
Ω
z1 S1
z = z1 ( x , y )
下边界曲面（下底） 下边界曲面（下底） o
0 4 0
2π
π
2cosϕ
0
7π . r cos ϕ ⋅ r sin ϕdr = 6
例2： 计算三重积分 I = ∫∫∫ x dxdydz，其中
Ω
Ω 由x = 0, y = 0 , z = 0及x + 2y + z = 1围成.
画图
z 1
x + 2y + z =1
x =0 y=0
0
1 2
上顶：z = 1 − x − 2 y 下底： z = 0 Dxy: x = 0, y = 0, x+2y =1 围成
dx
0
Dyz
1 = ∫ dy ∫
1 0
1-y 0
(1 − y)(1 − y − z)e
-(1-y-z )2
dz
1
x
1− y 1 -(1- y ) 2 )dy = =∫ ⋅ (1 − e 0 2 4e
1
y
例4 计算 ∫∫∫ (z2 + x)dv Ω : x2 + y2 + z2 ≤ R 与 ，
Ω
x + y + z ≤ 2Rz 所围的公共部分 .
Ω
z = 1 + 1 − x2 − y2 所围成的． 所围成的．
解 Q Ω 关于 yoz 面为对称， f ( x , y , z ) = x 为 x 的 面为对称， 奇函数， 奇函数， 有 ∫∫∫ xdv = 0.
Ω
∴ ∫∫∫ ( x + z )dv = ∫∫∫ zdv