2020 年高考数学复习利用正余弦定理破解解三角形问题专题突破考纲要求 : 1. 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题12.会利用三角形的面积公式解决几何计算问题 Sab sin C .2 基础知识回顾 :a b c1. ＝ ＝＝2R ，其中 R 是三角形外接圆的半径．sin A sin B sin C由正弦定理可以变形： (1) a∶b ∶c ＝sin A∶sin B∶sin C ；(2) a ＝ 2 Rsin A ，b ＝ 2Rsin B ，c ＝2Rsin C .2 ．余弦定理： a 2＝b 2＋ c 2－ 2 bccos A ，b 2＝a 2＋c 2－2accos B ，c 2＝a 2＋b 2－2abcos C ．b 2＋c 2－a 2a 2＋c 2－ b 2a 2＋b 2－c 2变形： cos A ＝ ，cos B ＝ ，cos C ＝2bc 2ac 2ab4. 三角形常用的面积公式1111 abc(1)S ＝ a ·h a (h a 表示 a 边上的高 )．(2) S ＝ absinC ＝ acsinB ＝ bcsinA ＝2 2 224R1（3）S＝2r（a＋b＋c）（r 为内切圆半径）．应用举例:类型一、利用正（余）弦定理解三角形【例1】已知中，，点在边上，且．（1 ）若，求；（2 ）求的周长的取值范围．【答案】（1 ）；（2 ）.所以：中，利用正弦定理得：由于：则：，，由于：，则：，得到：，所以的周长的范围是：.【点睛】本题考查了用正弦定理、余弦定理解三角形，尤其在求三角形周长时解题方法是利用正弦定理将边长转化为角的问题，然后利用辅助角公式进行化简，求出范围，一定要掌握解题方法。
【例2】已知在中，所对的边分别为，.（1 ）求的大小；（2）若，求的值.【答案】（1 ）或（2）12 ）∵， ∴又由余弦定理得 ，∴时，则 时，则 ，点睛】 解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的 关系，从而达到解决问题的目的 .其基本步骤是： 第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向 . 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化 .第三步：求结果 类型二、利用正（余）弦定理判断三角形形状【例 3】 在 中， ， .（1 ）求证： 是直角三角形；（2 ）若点 在 边上，且 ，求 ．答案】（1 ）见解析；（ 2 ），∴综上所述，当且仅当 ，此方程无解 .时，可得（2）设，则，，，所以在中，由正弦定理得，所以点睛】本题主要考查的知识点是运用正弦定理和余弦定理解三角形，注意角之间的表示，本题需要一定的计算【例4】在中，角所对的边分别为，已知且（1 ）判断的形状；2）若，求的面积答案】（1 ）见解析；（2 ）（2）由（1）知，，则，因为，所以由余弦定理，得解得，所以的面积．【点睛】本题运用正弦定理、余弦定理和三角形面积公式解三角形，注意在运算过程中作为隐含的条件成立并且加以运用。
类型三、利用正（余）弦定理解决与三角形面积有关的问题【例5】在中,角, , 的对边分别为.已知, .（1）求角；（2）若，求的面积．点睛】 本题考查三角形的解法，正弦定理的应用，两角和与差的三角函数的应用，考查计算能力．【例 6】 在 中，角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，若 ， ， 成等差数列（1 ）求 ；（2 ）若 ， ，求 的面积 .得2 ）由（ 1）得同理得所以 的面积；(2)2.答案】又 ，∴ ，即方法、规律归纳1. 三角形中常见的结论(1) A ＋ B ＋ C ＝π. (2) 在△ABC 中，A >B ? a >b ? sinA >sinB ? cosA <cosB .(3) 任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．(4) 三角形内的诱导公式： sin (A ＋B )＝sin C ； cos (A ＋ B ) ＝－ cos C ；A ＋BC A ＋BCtan (A ＋B )＝－ tan C ；sin＝cos ；cos＝sin .22 22(6) 在△ABC 中， A ，B ，C 成等差数列的充要条件是 B ＝60 ° .(7) △ABC 为正三角形的充要条件是 A ，B ，C 成等差数列且 a ，b ，c 成等比数列． 2. 判定三角形形状的两种常用途径(1) 通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断．(2) 利用正弦定理、余弦定理化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断．实战演练 :1 ．在中，角 所对的边分别为 ，且 ．(1 )求；而，，得由(2 )若，求的面积的最大值．【答案】(1) ；(2) .点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一决三角形问题时，注意角的限制范围．1 ）若 ，求 的面积；2 ）若 的面积为 ，求 ， .般采用到正弦定理， 出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用． 解2． 在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，，答案】3 ．已知中，角所对的边分别为且（1 ）求角的大小；（2 ）若，求面积的最大值。
【答案】；（2）解析】分析】1)利用正弦定理和三角恒等变换的方法化简即得角 的大小 .(2) 先证明再求 面积的最大值详解】1)点睛】(1) 本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力 .(2) 本题解题的关键是4 ．已知 中，内角 所对的边分别为 ，其中 ， 1 )若 ，求 的值；2 )若 边上的中线长为 ，求 的面积 .详解】(2)答案】 Ⅱ)由 边上的中线长为 ，即可求解(1)(2)（1 ）依题意，，故，所以所以，因为，所以，故，可得2）记边上的中线为CD ，故所以结合（1）可知解得，所以的面积点睛】本题考查了正余弦定理的灵活运用和计算能力，属于基础题．5 ．在中，内角的对边分别为，且满足1 ）证明：成等差数列；2 ）已知的面积为，求的值.答案】（1 ）见解析；（2 ）详解】即由三角形内角和定理有 由正弦定理有成等差数列点睛】 本题考查正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式．解题中利用正弦定理和余弦定理进行边角关系的转化是解题地基本方法． 当等式两边是关于边 或关于角 的齐次式时， 可以利用正弦定理进行边 角转化，如果有余弦定理中的式子则用余弦定理转化，化为单一关系式再进行变形求解．6 ．在 中，内角 所对的边分别为 ，已知 1 ）求角 ；2 ）若 的周长为 8，外接圆半径为 ，求 的面积 .【答案】 (1) ;(2) .【详解】( 1)由 ，1）由题设得 ，根据由余弦定理又由 （1） 得代入得 ，2）由得，即，所以即，因为，所以. 由正弦定理得，因为，所以，所以，得.7 ． 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 1 ）求 ；2 ）若 ，求 的面积和周长 .也即得 ．得周长．详解：（1）由正弦定理以及 又因为 ，所以 ，所以可得由余弦定理得点睛：本题考查正弦定理，三角形的面积公式，考查两角和的余弦公式和诱导公式，在解三角形中边角关 系常常用正弦定理进行相互转化，解题时可根据要求的结论确定选用什么公式，从而确定解题方法．如本 题求三角形面积，利用（ 1 ）的结论可选用公式，因此可先把 及 代入已知求出 ，再求面积．8 ．在 中，角 的对边分别是 ，且 .（Ⅰ）求角 的大小；（Ⅱ）若 ，求 面积的最大值．；（2），答案】（1 ）和 代入得 ，所以 ，且 ，得2）将解析】分析：（1）把已知等式用正弦定理转化为角的关系， 可求得 ，从而可得 ，2 ）把 及 代入已知可得 ，再由公式求得面积，由余弦定理可求得 ，从而可得 ，所以，即，所以 的周长为【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.点睛：本题主要考查了正弦定理、余弦定理、三角形面积公式和基本不等式的应用，属于中档题。
9 ．已知的内切圆面积为，角所对的边分别为，若. （1 ）求角；（2 ）当的值最小时，求的面积.【答案】（1） ;（2） .2)由题意可知的内切圆半径为1 ，如图，设圆为三角形的内切圆，为切点，可得，则，于是化简得，所以或又，所以，即当且仅当时，的最小值为6 ，此时三角形的面积点睛:本题主要考察了正余弦定理的灵活应用及三角形内切圆的性质,属于中档题.10 ．已知向量，，且函数)求函数的最大值以及取最大值时的取值集合．)在中，角，，的对边分别为，，，且，，，求的面积．答案】(1) 函数的最大值为，此时的取值集合为．(2)∵ 为的内角，）∵由余弦定理得即又，，故，得，∴ 的面积点睛：本题综合考查平面向量的数量积公式，三角函数的正余弦倍角公式，辅助角公式，及用余弦定理解三角形和三角形面积。
解三角的关键是选择合适的正弦定理与余弦定理及面积公式。
11 ．△ABC的内角，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（A＋C）＝8sin(1) 求cos B ；(2) 若a＋c＝6，△ABC 的面积为2，求b.【答案】(1)cos B＝.(2) b ＝2.点睛：以三角形载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心12 ．已知中，，为内一点，且.(Ⅰ)当时，求的长；(Ⅱ)若，令，求的值.【答案】(Ⅰ ) ；(Ⅱ) .由内角和定理得.在直角中，，在中，由正弦定理得：即：，整理可得：，解得13 ．的内角的对边分别为.已知，Ⅰ)求角；Ⅱ) 的面积为，其外接圆半径为，且，求.答案】(Ⅰ ) ；(Ⅱ) .由面积公式得由余弦定理得即解得：或，又，所以.14 ．已知△ 内角，，的对边分别为，，，．(1 )求；2 )若，，求△ 的面积．（1） 若 的面积为 ，求 ；（2） 若 ，求 的面积 .平方化简求值即可；2）利用三角形的面积公式以及余弦定理转化求解即可答案】（1 ）2）解析：解： （1） 由得 得 ，即15 ．已知 中，若角 对应的边分别为 ，满足 答案】（1 ） （2） 或解析】 分析：（ 1）由得 ，即 ，又 ，两边同时又，那么即，得到，即有.。