1.1 正弦定理和余弦定理教案(共两课时)教学目标根据教学大纲的要求，结合学生基础和知识结构，来确定如下教学目标：(一)知识目标(1)通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；(2) 会运用正弦定理与三角形内角和定理解三角形的两类基本问题。

(3) 掌握余弦定理的两种表示形式；(4) 掌握证明余弦定理的向量方法；(5) 会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。

(二)能力目标让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。

利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。

(三)情感目标(1) 培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；(2) 培养学生合情推理探索数学规律的数学思想能力，通过三角形函数、正弦定理、余弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。

教学重点正弦定理、余弦定理的探索和证明及其基本应用。

教学难点(1) 正弦定理和余弦定理的证明过程。

(1) 已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。

(2) 勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。

教学方法启发示探索法，课堂讨论法。

教学用具粉笔，直尺，三角板，半圆，计算器。

、教学步骤第一课时正弦定理(一) 课题引入如图1．1-1，固定∆ABC的边CB及∠B，使边AC绕着顶点C转动。

A思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？ 显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大。

能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？ (图1.1-1) (二) 探索新知在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。

如图1.1-2，在Rt ∆ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sin a A c =，sin b B c =，又sin 1cC c==,A则sin sin sin abcc ABC=== b c 从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin abcABC==C a B(图1.1-2)思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ （让学生进行讨论、分析）可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：如图1.1-3，当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD=sin sin a B b A =,则sin sin abAB=， C同理可得sin sin cb=， b a 从而sin sin abAB=sin cC=A D B(图1.1-3)让学生思考：是否可以用其它方法证明这一等式？ 证明二：（等积法）在任意斜△ABC 当中 S △ABC =A bc B ac C ab sin 21sin 21sin 21== 两边同除以abc 21即得：A a sin =B b sin =Ccsin 证明三：（外接圆法）如图所示，∠Ａ＝∠Ｄ∴R CD D aA a 2sin sin === (R 为外接圆的半径)同理B b sin =2R ，Ccsin ＝2R 由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。

证明四：（向量法） 过A 作单位向量垂直于AC →由 AC →+ CB →= AB →两边同乘以单位向量 得 •(AC →+CB →)=•AB →则j •AC →+j •CB →=j •AB →∴|j |•|AC →|cos90︒+|j |•|CB →|cos(90︒-C)=|j |•| AB →|cos(90︒-A) ∴A c C a sin sin = ∴A a sin =Ccsin 同理，若过C 作j 垂直于CB →得： C c sin =B b sin ∴A a sin =B b sin =Ccsin 从而sin sin abAB=sin cC=类似可推出，当∆ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。

（让学生课后自己推导）从上面的研究过程，可得以下定理正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即sin sin abAB=sin cC=(三) 理解定理(1) 正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k 使sin a k A =，sin b k B =，sin c k C =；(2）sin sin abAB=sin cC=等价于sin sin abAB=，sin sin cbCB=，sin aA=sin cC从而知正弦定理的基本作用为：①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sin sin b Aa B=； ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sin sin a A B b=。

一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。

(四) 例题剖析例1．在∆ABC 中，已知032.0=A ，081.8=B ，42.9=a cm ，解三角形。

(课本p3，例1)解：根据三角形内角和定理，0180()=-+C A B000180(32.081.8)=-+066.2=；根据正弦定理，00sin 42.9sin81.880.1()sin sin32.0==≈a B b cm A ； 根据正弦定理，sin 42.9sin66.274.1().sin sin32.0==≈a C c cm A例2．在∆ABC 中，已知20=a cm ，28=b cm ，040=A ，解三角形（角度精确到01，边长精确到1cm ）。

(课本p4，例4)解：根据正弦定理，0sin 28sin40sin 0.8999.20==≈b A B a因为00＜B ＜0180，所以064≈B ，或0116.≈B (1) 当064≈B 时，00000180()180(4064)76=-+≈-+=C A B ，sin 20sin7630().sin sin40==≈a C c cm A (2) 当0116≈B 时，00000180()180(40116)24=-+≈-+=C A B ，sin 20sin2413().sin sin40==≈a C c cm A 评述：例1，例2都使用正弦定理来解三角形，在解三角形过程中都使用三角形内角和定理，可见，三角形内角和定理在解三角形中的重要应用。

应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形。

(五) 课堂练习第5页练习第1(1)、2(1)题。

(六) 课时小结(让学生归纳总结)(1) 定理的表示形式：sin sin ab=sin c==()0sin sin sin a b ck k ++=>++；或sin a k A =，sin b k B =，sin c k C =(0)k >(2) 正弦定理的应用范围：①已知两角和任一边，求其它两边及一角； ②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。

(七) 课后作业习题1.1 A 组第1(1)、2(1)题。

(八) 板书设计第二课时 余弦定理(一) 课题引入如图1.1-4，在∆ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, C已知a,b 和∠C ，求边c 。

b a(图1.1-4)(二) 探索新知联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？ 用正弦定理试求，发现因A 、B 均未知，所以较难求边c 。

由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。

如图1．1-5，设CB a →=，CA b →=，AB c →=，那么c=a-b ，2||c =c ∙c=(a-b)∙(a-b) A=a∙a + b ∙b -2a ∙b b c从而 2222cos c a b ab C =+- C a B 同理可证 2222cos a b c bc A =+- (图1．1-5)2222cos b a c ac B =+-于是得到以下定理余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。

即2222cos a b c bc A =+-2222cos b a c ac B =+- 2222cos c a b ab C =+-让学生思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？（由学生推出）从余弦定理，又可得到以下推论：222cos +-=b c a A222cos 2+-=a cb B ac 222cos 2+-=b ac C ba(三) 理解定理从而知余弦定理及其推论的基本作用为：①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边； ②已知三角形的三条边就可以求出其它角。

让学生思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？（由学生总结）若∆ABC 中，C=090，则cos 0=C ，这时222=+c a b 由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。

(四) 例题剖析例1 在△ABC 中，已知B =60 c m ，C =34 c m ，A =41°，解三角形(角度精确到1°，边长精确到1 c m ）。

(课本P7 例3)解：根据余弦定理，a 2=b 2+c 2-2bccosA =602+342-2·60·34cos41° ≈3 600+1 156-4 080×0.754 7 ≈1 676.82，所以，a ≈41 c m.由正弦定理得sin C =4141sin 34sin ︒⨯=a A c ≈41656.034⨯≈0.544 0. 因为C 不是三角形中最大的边，所以C 是锐角.利用算器可得C≈33°,B=180°-(A+C)=180°-(41°+33°)=106°.例2 在∆ABC 中，已知134.6=a cm ，87.8=b cm ，161.7=c cm ，解三角形。

(课本P7 例4)解：由余弦定理的推论得：cos 2222+-=b c a A bc22287.8161.7134.6287.8161.7+-=⨯⨯ 0.5543,≈ 05620'≈A ；cos 2222+-=c a b B ca222134.6161.787.82134.6161.7+-=⨯⨯0.8398,≈ 03253'≈B ；0000180()180(56203253)''=-+≈-+C A B =09047'.评述：例1和例2是对余弦定理及其推论的运用，加深对定理及其推论的理解和运用。