2、系统稳定K值：K 6 3、 因 s1, 2 j 3 可得：s3 2
j (s) 6(s 1) /(s 2)(s 2 3)
课堂练习：教材P.116的4-3。
1）
j
2）
d 1.71
j
5
2
0
1
0 .5
0
d 0.85
d1 0.29
j
3）
d 0.91
通过上述系统分析，可见根轨迹图与系统性能有着密切的联系。
4-1-3 根轨迹方程
1、闭环零、极点与开环零、极点之间的关系 考虑单位反馈系统，即：H ( s ) 1
R(s)
G(s) 闭环传递函数： ( s ) 1 G(s) H (s ) K 式中： G ( s ) v G0 ( s ) 则： m s m K ( i s 1) ( i s 1) i 1 ( s ) n v i 1 m G0 ( s) n s v (T j s 1) K ( i s 1) (T j s 1) j 1 i 1
解： 1） 开环传递函数为 根轨迹如图所示。 2） 闭环特征方程为：
K (1 0.5s) G( s) s( s 1)
j
K
10(1 K t s) 1 G( s) 1 0 s( s 1) s 2 s 10 10Kt s 0 10 K t s 1 2 0 s s 10 Kt* 10Kt 等效开环传递函数： 10 K t s Ge ( s ) 2 s s 10 Kt* 10Kt 根轨迹如图所示。
2、根轨迹方程
由闭环特征方程： G( s) H ( s) s v 1
(T s 1) K ( s 1) 0
j i j 1 i 1
n v
m
K ( s 1) 得： i S v (T j s 1)
j 1 i 1 n
m

K * ( s zi )
K ( s 2) s 3 2 s 2 3s
s bs 4s 4b 20 0 Ge ( s )
b( s 4) s 2 4 s 20
4-3 根轨迹法的系统设计
4-3-1根轨迹与系统性能 1、根轨迹图的信息 如右图单位反馈系统例所示： 1）稳定性
5
2
j
0
分离角：根轨迹进入分离点的切线与离开分离点切线之间的夹交。 由： j (2k 1) / l 确定。
K G 例4-1、已知单位反馈系统的开环传递函数为： ( s ) s ( s 2)(s 3)
，试绘制系统根轨迹。 解：应用上述的根轨迹绘制法则： 1）开环零、极点 2）实轴上的根轨迹 3）渐进线
30 K 0
d 0.79
sj j 6
j 6
K j 30
K 5 2 j (6 2 ) 0
也可以令 s j 代入特征方程，得：
( j )3 5( j ) 2 6 j K 0
例4-2、已知单位反馈系统开环传递函数为：G ( s )
s(2s 1)
s( s 0.5)
相角方程：
( s 2) s ( s 0.5) (2k 1)
模值方程：
K* s 2 s s 0 .5
1
设： s j 代入方程
( j 2) ( j ) ( j 0.5) (2k 1)
0 K 7
核算！
d 0.85
K计算！
2）闭环极点： 负实根 0 K 0.41 相等实根 K 0.41 共轭复根
0.41 K 7
3）系统类型和稳态误差 v 1 2、时域描述
2
1
0
j
3.12
0 .5
0
3.12
在系统同一特征方程下，根据需要，由除K以外 的参数置于K位置导出的传递函数称为等效开环传递函数。
根轨迹绘制小结：
1、根轨迹 闭环根随开环传递函数中某参数变化在S平面上 变化的轨迹。根轨迹上的点满足根轨迹方程。 开环增益K变化时的根轨迹 非K外的其他参数变化时的根轨迹
C (s )
K 2.5
K 1 K 0
s2 1 1 2K
2
j
系统特征方程： G( s) 0 1
1 K 0.5 K 0
K 1 0 s ( 1)
s 2 2s 2 K 0
2
1
0
1 2
根轨迹
K 1
K 2.5
4-1-2 根轨迹与系统性能
1
d 0.45
a (3 1 (1)) /(3 1) 0.5 5）虚轴交点 s 3 2s 2 ( K 3)s K 0 a (2k 1) / 2 / 2, / 2 由劳斯判据： K j 6, j 3 4）分离点
1 1 1 1 d d 1 d 3 d 1 试探得： d 0.45
j 1
G (s )
C (s )
分析闭环和开环零、极点的关系：
1）闭环极点由 1 G( s) s
2）闭环零点=开环零点。
v
(T s 1) K ( s 1) 0 确定。
j i j 1 i 1
n v
m
根轨迹法 3）闭环增益=开环增益。 对单位反馈系统，上述三个特点为确定闭环传递函数提供了基础。非 单位反馈不具有上述特点。
z j zi
p j zi
j 1
上述计算公式看似复杂，但很容易由相角方程获得。
法则7：根轨迹与虚轴的交点（根轨迹穿过虚轴）。
求法：1）劳斯判据（全零行），求得： K j , j . 2）在闭环特征方程中，令： s j ，然后由实部 和虚部为0，求得：K j , j . 虚轴交点 K
1、常规根轨迹（以增益K为参变量）
K
法则1：根轨迹起于开环极点，终于开环零点。 终点
j
K 0
1
K 如前例开环传递函数： G ( s ) s (0.5s 1)
开环零点：有限零点和无限零点。等于开环 极点数。
K 0
2
0
起点
K
法则2：根轨迹分支数等于开环极点数n ，根 轨迹是连续的并对称于实轴。
第四章 根轨迹法
本章主要介绍：根轨迹概念、根轨迹绘制和根轨迹应用。 4-1 根轨迹法的基本概念 开环传递函数中的某一参数从零变化到无穷时， 4-1-1根轨迹概念 闭环系统特征方程的根在S平面上变化的轨迹。 研究下述系统： 特征根为： s1 1 1 2K
R(s)
K s (0.5s 1)
i 1
m
(s p
j 1
n
1
根轨迹方程
j
)
K
K*
开环增益 根轨迹增益
相角方程：
m n
1 1 e j ( 2 k 1)
K * K in 1 ( s zi ) ( s p j ) (2k 1) i 1 j 1 k 0,1,2,... Tj
1）稳定性 因当K从0变化到无穷时，闭环根均在S左
K 2.5
K 1 K 0
2
j
1 K 0.5 K 0
半平面，所以系统稳定。
2）动态性能 当0<K<0.5时，闭环根为实根，系统为过阻尼。
2
K 1
1
0
1 2
K 2.5
当K=0.5时，系统临界阻尼，闭环根为重根。
当K>0.5后，闭环根为复根，系统为欠阻尼。 3）静态性能 在原点有一开环极点，说明系统为1型。K为静态速度误差系数。在 e 单位斜坡信号作用下的稳态误差为： ss 1 / K v .
v
闭环特征方程：1 G( s) H ( s) s
(T s 1) K ( s 1) 0
j i j 1 i 1
n v
m
1）以K为参数绘制的闭环根轨迹称为常规根轨迹；
2）以K以外参数 i , T j 绘制的根轨迹称为参数根轨迹。
以例说明： 1、等效开环传递函数 K (1 K t s) G( s) 设单位反馈系统开环传递函数： s( s 1) 试绘制：1）Kt 0.5 2） K 10 时的根轨迹。 Kt 为参数 K为参数
2 1
j
分离角
K 0
nm
(2k 1) nm
渐进线的交角： a
0
a 1,a / 2
法则5：根轨迹的分离点。两条以上根轨迹
n
K
在S平面相遇又分开的点，称为根轨迹的分离点，分离点d可 求下述方程的解：
m 1 1 d p j 1 d z i 1 i j 1 1 0 如图分离点计算： d 1 0 d d 2

j 1
m
i
K
模值方程：
*
sz
i 1 j
m
i
s p
j 1
n
1 根轨迹必须满足这两个方程。
举例：设单位反馈系统开环传递函数为： ( s ) K (0.5s 1) G 写出根轨迹方程。
s(2s 1)
解： 因： G ( s ) K (0.5s 1) 0.25K ( s 2) K * 0.25K
2、常规根轨迹和参数根轨迹 常规根轨迹 参数根轨迹
常规根轨迹和参数根轨迹的绘制法则是相同的。 课堂练习：教材P117，4-5，4-6。 4-5： 1） s 3 2s 2 3s Ks 2 K 0 G ( s ) 4-6： 1） G ( s )
1 G( s) 0
2
20 ( s 4)(s b)
K K 0 K 0