f(x)
x
f(x) x
2 不连续特性
又称继电型非线性元件
f(x)
x
f(x) x
f(x) x
f(x) x
3 非单值区特性
分类：滞后；间隙
f(x)
x
f(x) x
f(x) x
f(x) x
滞后指输入值增加或减小时对应的输出值 是不同的。
间隙特性：
f(x) x
以理想继电器和带有空间滞后的继电器特 性为例，说明分段线性化后的数学表达式
描述函数方法：
• 一种近似线性化方法，实质是把非线性函数 u=f(x)用某个线性关系u’=k(A)x’来代替，从 而实现线性化，其中线性化系统k并不是常 数，而是关于表征系统运动特性的常数A的 某个函数（即描述函数），上式体现了变量 为谐波时的线性化关系，所以又称为“谐波 线性化”方法。
• 注意：谐波线性化只是形式上将非线性 特性进行了线性化，其实仍然保留了非 线性的特性，体现在线性化系数k(A)与 运动参数A有关。
自动控制原理2第九章
第一节 概论 一 一般情况
非线性系统一般由三部分组成:
被控对象，执行机构，测量装置
执行机构
被控对象
测量装置
• 数学描述
定常、时变； 连续、离散
• 放大元件由于受电源电压或输出功率的限制，在 输入电压超过放大器的线性工作范围时，呈现饱 和现象(a).
（a）
• 执行元件的电动机，由于轴上存在着摩擦力矩和 负载力矩，只有在电枢电压达到一定数值后，电 枢才会转动。存在着死区而当电枢电压达到定数 值时，电机转速将不再增加呈现饱和现象，如（ b）.
f(x) k
x -k
f(x) k
-a
a
x
-k
常见非线性特性：
死区
饱和
开方
幂函数
滞环
继电
死区双位
滞环继电
死区滞环继电
四 非线性系统的研究方法及特点
• 相平面方法 • 描述函数法 • 李亚普诺夫稳定性理论
相平面方法：
• 研究对象是二阶系统，利用系统微分方程 在相平面上建立系统解的几何形象，从而 获得二阶系统的运动性质。
系统结构
• 非线性环节的描述函数近似于一个复数增 益的比例环节，从而可以利用线性系统的 频域分析方法来讨论稳定性。
• 非线性元件的描述函数就等价于线性系统 的频率特性，所以线性系统理论中的频域 结果，如奈氏判据，波特图，霍尔维茨判 据及根轨迹方法等，几乎可以推广到非线 性系统中来研究非线性元件的稳定性、周 期解等。
Lypunov稳定性理论：
• 在非线性系统控制中，它是研究系统稳定 性的主要方法
Lypunov第一方法：用级数形式的解来研究 系统稳定性，即将系统在原点展开成泰勒 级数的形式，得到一阶线性近似方程，它 的稳定性就决定了非线性系统的稳定性， 为一般线性化方法奠定了基础，同时也给 出了线性化方法成立的条件
(b)
• 传动机构受加工和装备精度限制，换向时存在着 间歇特性。（C）
(c)
二 模型线性化
严格的讲，几乎所有的控制系统都是非线性 的，即使采用了一个线性模型并较好地描 述了系统，也只是对这个系统的一个近似 描述罢了。
非线性系统： 转化为线性系统：
(d)
• 为了继续使用较为成熟的线性系统分析设 计方法，通常是把非线性系统近似线性化 。这种线性化只适用于非线性程度不严重 的情况，例如不灵敏区较小，（b）中死区 较小，输入信号幅值较小，传动机构空隙 不大时，都可以忽略非线性特征的影响， 将非线性环节视为线性环节，另外系统工 作在某个数值附近的较小范围内，也可以 将非线性系统近似看作线性的。最常见的 线性化方法就是泰勒展开：
研究方法的特点
• 目前通常用到的（不是全部）非线性方 法有一个基本特点，就是总以某种方式 通过线性化而建立起来的。换句话说就 是以线性方法为基础加以修补使之能够 适应解决非线性问题的需要。
相平面方法：
• 将非线性特性分段线性化之后，将相平 面分成几个区域，使得在每个区域相图，从而建立整个非线性系统的 相图，实质是分区线性化方法
x’ x
描述函数法（谐波线性化法）：
• 非线性处理的近似方法，控制工程中较为 普及的一种实用方法。
• 优点：比较简单，解决问题全面，且适用 于高阶系统和各种非线性特性。
• 缺点：数学理论基础不完善，得到的结果 既不是充分的，也不是必要的，而且在近 似过程中会丧失部分非线性信息，从而无 法从谐波线性化方程中取得关于非线性系 统的某些更复杂现象的本质与特性
• Lypunov第二方法：无需求解方程而直接 判断解的稳定性。此方法关键是找到一个 正定且有界的V(x,t)函数，且保证V函数沿 时间t的导数为负定的，那么系统就是稳定 的。其中V(x,t)函数可以看作是能量系统的 能量函数，从物理学角度来讲，如果一个 系统的能量是有限的，且能量随时间的变 化率为负时，那么这个系统的所有运动都 是有界的，而且最终在能量为零时，所有 运动都会返回到平衡位置，即系统达到稳 定。
• 特点：无需求解非线性微分方程，直接给 出能够显示系统运动特征的相图，从而获 得系统全部运动性质的定性知识。
• 独特优越性：系统存在无限多的轨线运动 ，只需画出其中几条就可以获得系统全部 轨线的概貌。
例：二阶系统（谐振子）
相轨迹方程为 相轨迹是一组椭圆族 ，系统只发生一种类 型的运动——相轨迹 所表示的周期解，且 与初始状态有关。
• 忽略高阶导数项，就可以把非线性函数 线性近似化。应该注意的是泰勒展开X的 某个小邻域内有效。超出该范围，所做 的近似就失去了意义。这个范围是严格 控制的。
三 非线性特性
• 实际控制系统中的非线性特性是多种多样 的，一般以解析函数的形式出现，如
u x
1 连续非线性特性
特点：非灵敏区；饱和区
Lyapunov第一稳定方法：
• 真正的线性化方法，基于泰勒级数展开 并忽略高阶导数项，从而实现一阶线性 化。
Lyapunov第二稳定方法：
• 本质上是真正的非线性方法，但是却不 存在一般的构造V函数方法，目前成功构 造V函数的方法是鲁里叶与波斯特尼考夫 于1944年提出的，对线性系统构造V函 数，然后附加一个修正项，作为相应非 线性函数的V函数，从这一点上来看，真 正的非线性方法也是在线性为基础的情 况下才得以实现的。