第二章 习题解答2-1试求下列各函数的拉氏变换。
（a ）()12f t t =+，（b ）2()37()f t t t t δ=+++，（c ）23()2ttt f t e ete ---=++，（d ）2()(1)f t t =+，（e ）()sin 22cos 2sin 2tf t t t e t -=++，（f ）()2cos tf t te t t -=+，（g ）()sin32cos f t t t t t =-，（h ）()1()2cos 2f t t t t =+ 解：（a ）212()F s s s =+（b ）23372()1F s s s s=+++（c ）2121()12(3)F s s s s =+++++ （d ）2()21f t t t =++，3221()F s s s s=++（e ）222222()44(1)4s F s s s s =++++++ （f ）2222211621()11(1)s d s s F s s ds s s ⎛⎫ ⎪++⎝⎭=+=++++ （g ）2222222223262231()(3)(1)s d d s s s s F s ds ds s s ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭=-+=-++（h ）2222211684()(4)s d s s F s s ds s s ⎛⎫ ⎪++⎝⎭=+=++2-2试求图2.54所示各信号的拉氏变换。
（a ） （b ） （c ） （d ）图2.54 习题2-2图解：（a ）021()t s e X s s s -=+（b ）000221()t s t se e X s t s s s--=-+- （c ）33112212()()t s t st s t s t s t s t s t s a ae be be ce ce a b a c b ce X s e e s s s s s s s s s s----------=-+-+-=++-（d ）11()1()1()1()()1()1()11()1()(2)1(2)1(2)1111()21()2()1()(2)1(2)1(2)x t t t T t t t T t T t T T Tt T t T t T t T t T T Tt t T t t T t T t T t T t T T T T=--+--------+--+-=-⨯-+---+--+-所以22222222211111111()222Ts Ts TsTsTs Ts s s s e e e e T T T X s e e s s T s T s T s s s s s------+++=-+-++=-+2-3运用部分分式展开，求下列各像函数的原函数。
（a ）2()(2)F s s s =+，（b ）10()(1)(10)F s s s s =++，（c ）232()420s F s s s +=++，（d ）22(2)()(1)(4)s F s s s +=++，（e ）21()s F s s+=，（f ）22()s e F s s -=解：（a ）部分分式分解有211()(2)2F s s s s s -==+++查表得2()1t f t e -=-（b ）部分分式分解有101 1.11110.1111()(1)(10)110F s s s s s s s -==++++++查表得10()1 1.11110.1111t t f t e e --=-+（c ）部分分式分解有222223224()3420(2)4(2)4s s F s s s s s ++==-++++++⎫=查表得2222()3cos 4sin 4 3.162(0.949cos 40.3162sin 4)3.162sin(4108.38)t t t tf t e t e t e t t et ----=-=-=+（d ）部分分式分解有222222222222(2)0.6670.667 2.667()(1)(4)120.66720.66720.66720.2980.4470.894122122s s F s s s s s s s s s s s s s +-+==+++++⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭查表得()()0.6670.2980.447cos20.894sin 20.6670.298(sin 2153.4)t t f t e t t e t --=--=-+（e ）部分分式分解有22111()s F s s s s+==+ 查表得()1f t t =+（f ）根据位移定理有()(2)1(2)f t t t =-⋅-2-4用拉氏变换求解下面的常微分方程。
（a ）30,(0)1,(0)2y y y y y ++=== （b ）245,(0)1,(0)1y y y t y y ++=== （c ）sin ,(0)1,(0)2y y t y y +=== （d ）243,(0)1,(0)4t y y y te y y -++===-解：（a ）根据微分定理，微分方程两边拉氏变换得2()2()13()0s Y s s sY s Y s --+-+=即23()3s Y s s s +=++部分分式分解有2222230.5 1.658() 1.50763(0.5) 1.658(0.5) 1.658s s Y s s s s s ++==+++++++ 拉氏反变换得到0.50.5()cos1.658 1.5076sin1.658t t y t e t e t --=+（b ）根据微分定理，微分方程两边拉氏变换得232()24()45()s Y s s sY s Y s s--+-+=即432362()(45)s s Y s s s s ++=++部分分式分解有4323322262282210324961()(45)525125125(2)1125(2)1s s s Y s s s s s s s s s +++==-+++++++++拉氏反变换得到2221822103496()cos sin 525125125125t ty t t t e t e t --=-+++（c ）根据微分定理，微分方程两边拉氏变换得221()2()11s Y s s sY s s --+-=+ 即322234()()(1)s s s Y s s s s +++=++部分分式分解有322222234 2.50.50.5()()(1)111s s s s Y s s s s s s s s +++==-+++++++ 拉氏反变换得到()4 2.50.5cos 0.5sin t y t e t t -=-++（d ）根据微分定理，微分方程两边拉氏变换得221()44()43()(2)s Y s s sY s Y s s -++-+=+即3222441()(43)(2)s s s Y s s s s +++=+++部分分式分解有32222224413111()(43)(2)(3)(2)3(2)s s s s s Y s s s s s s s s +++++===-+++++++拉氏反变换得到32()t t y t e te --=-注：可利用Matlab 命令来求解微分方程。
例如对本题的（a ），键入Matlab 命令('23*0','(0)1,(0)2')y dsolve D y Dy y y Dy =++=== 回车后得到exp(-1/2*)*cos(1/2*11^(1/2)*)5/11*exp(-1/2*)*11^(1/2)*sin(1/2*11^(1/2)*)y t t t t =+2-5设质量、弹簧、阻尼器系统如图2.55（a ）、（b ）、（c ）所示，图中i x 是输入位移，0x 是输出位移。
试分别列写各系统的输入输出微分方程描述。
i x0x 0x ixx ix f（a ） （b ） （c ）图2.55 习题2-5图解：（a ）对于图2.55（a ）所示的质量、弹簧、阻尼器系统，有01020()i mx f x x f x =-- 即01201()i mx f f x f x ++=（b ）对于图2.55（b ）所示的质量、弹簧、阻尼器系统，设弹簧1K 下端位置为y ，则有10020()()()i K x y f y x f y x K x -=--=即有120()i K x y K x -=消去中间变量y 得到1212001()i K K K K x x K x f++= （c ）对于图2.55（c ）所示的质量、弹簧、阻尼器系统，有20010()()i i K x f x x K x x =-+-即01201()i i f x K K x f x K x ++=+2-6车轮的减震器模型如图2.56所示，图中y 为减振系统支撑点向上的位移，单位为m ；2375m kg =为去掉四个车轮质量后的整车质量的四分之一；130000s k N m =为减震器的弹性系数；9800f N s m =⋅为减震器的阻尼系数；120m kg =kg 为单个车轮的质量；1000000w k N m =为轮胎的弹性系数。
图中所示为重力作用下，车辆在水平路面匀速行驶时减振系统所处于的平衡位置。
考虑由于路面不平引起的轮胎变形r ∆，减振系统支撑点的增量运动y ∆，求二者间的输入输出微分方程并求传递函数。
图2.56 习题2-6图解：根据牛顿力学知识，有12()()()()()w w w s w w s w w m y k r y k y y f y y m y k y y f y y =-----=-+-对上面的第2式微分，将w y 表示成w y 、y 、y 、y 、y 的函数有2s s w w k k my y y y y f f f=++-将结果代入上面的第1式，消去w y 得1212222211111()s w w s w w s s s s s fk fk f k k m m fm y y y y y r y m k f m k f m k f m k f m k f+=++--+----- 将结果代入上面的第2式，消去w y 得2221212112222222221111()s s w w s w s w s w s wm m f m m k m k f k fm m y y y y r m k f k m k f k m k f k m k f k +-=--++++++将上述w y 的结果及其微分代入到上面的第2式，消去w y 和w y ，整理得1212122()()s s w w s w w s w m m y f m m y k m k m k m y fk y k k y fk r k k r +++++++=+根据上面的结果得到传递函数为4321212122()()()()w s w s s w w s wfk s k k Y s R s m m s f m m s k m k m k m s fk s k k +=+++++++ 将各个参数的数值代入得到432()130666617333333()51656846130666617333333Y s s R s s s s s +=++++2-7用一根弹簧连接两个摆，如图2.57所示，系统在下平衡位置时弹簧刚好不受力。