Gk ( s) G ( s) H ( s)
B( s) G1 ( s)G2 ( s) H ( s) E ( s)
注意：这里的开环传递函数是针对闭环系统而言的，而不是指开环系 统的传递函数。
解：首先对小车进行受力分析，在水平方向应 用牛顿第二定律可写出：
dy(t ) d 2 y (t ) F (t ) f Ky (t ) m dt dt 2
令
2
T
m f , 可得 K 2 mK
图2 弹簧-质量-阻尼器系统图
d 2 y( t ) dy(t ) F (t ) T 2 T y ( t ) dt 2 dt K
用解析法列写系统或元部件微分方程的一般步骤是：
（1）根据系统的具体工作情况，确定系统或元部件的输
入、输出变量；
（2）从输入端开始，按照信号的传递顺序，依据各变量 所遵循的物理（或化学）定律，列写出各元部件的动态方程， 一般为微分方程组； （3）消去中间变量，写出输入、输出变量的微分方程； （4）将微分方程标准化。即将与输入有关的各项放在等 号右侧，与输出有关的各项放在等号左侧，并按降幂排列。
以工作点处的切线代替曲线，得到变量在工作点的增量方程， 经上述处理后，输出与输入之间就成为线性关系。
二、复频域模型 – 传递函数
（1）利用时域卷积获得：
如果已知系统单位脉冲响应为g(t),则任意输入r(t)的响应输出c(t):
c( t )


r ( ) g(t )d
c(t ) r ( ) g(t )d
0 t
考虑到物理可实现性，上式改为： 对上式做拉氏变换得：
C ( s) R( s)G( s) G( s)
C ( s) R( s )
（2）利用输入输出特性获得:
在零初始条件下，线性定常系统输出量拉氏变换与输入量拉氏变换之比。
G( s) C ( s) R( s )
（3）传递函数的标准形式
2
图1 R-L-C电路结构图
d uc ( t ) R duc ( t ) 1 1 u ( t ) ur (弹簧-质量-阻尼器如图2所示，其中K为弹簧的弹性系数，f为阻尼器的 阻尼系数，m表示小车的质量。如果忽略小车与地面的摩擦，试列写以外力 F(t)为输入，以位移y(t)为输出的系统微分方程。
（e）应当注意传递函数的局限性及适用范围。传递函数是从拉氏变换
导出的，拉氏变换是一种线性变换，因此传递函数只适应于描述线性
定常系统。传递函数是在零初始条件下定义的，所以它不能反映非零 初始条件下系统的自由响应运动规律。
思考题2-1： 已知系统的脉冲响应函数为 传递函数为：
st k (t ) ，外界输入r(t)为 e ，试求证系统的
解: 根据基尔霍夫定律，可列写以下方程：
U r ( s ) U c ( s ) U1 ( s ) I (s) U1 ( s ) 1 R1Cs U1 ( s ) R1 (Cs) R1 R1 1 (Cs)
U c ( s) R2 I ( s)
按信号传递顺序，各子结构图依次连接起来，便得到无源网络 的结构图，如图（d）所示。
非线性系统微分方程的线性化：
上面讨论的元件和系统，假设都是线性的，因而，描述它们的数学 模型也都是线性微分方程。事实上，任何一个元件或系统总是存在一
定程度的非线性。例如，弹簧的刚度与其形变有关，并不一定是常数
等等。所以，严格地说，实际系统的数学模型一般都是非线性的，而 非线性微分方程没有通用的求解方法。 因此，在研究系统时总是力图将非线性问题在合理、可能的条件 下简化为线性问题处理。如果我们做某些近似或缩小一些研究问题的 范围，可以将大部分非线性方程在一定的工作范围内近似用线性方程 来代替，这样就可以用线性理论来分析和设计系统。
微分方程一般形式：
anc(n) an1c(n1) ... a1c a0c bmr (m) bm1r (m1) ... b1r b0r(t )
拉氏变换：
C (s) bm s m bm1s m1 ... b1s b0 G( s) n n 1 R(s) an s an1s ... a1s a0
注：例1和例2系统的数学模型均是二阶微分方程。我们称这些物理系统为相似系 统，相似系统揭示了不同物理现象间的相似关系
在数学上，动态过程用微分方程描述，反馈过程
就是在描述动态过程的微分方程的输入项和输出项之 间建立一个关联，这样改变了微分方程本来的性质。 自动控制就是在这个反馈和动态过程里做文章的。
G( s )

0
k ( )e s ( t )d / e st
三、结构图及其等效变换
（1）定义：是描述系统各组成元部件之间信号传递关系的数学图形。在系
统方框图中将方框对应的元部件名称换成其相应的传递函数，并将环节的 输入、输出量改用拉氏变换表示后，就转换成了相应的系统结构图。 例：如图所示， u ，u 分别是 R C 电路的输入、输出电压，试建立相 c r 应的电路结构图。
C (s)
解：前向通路2条： 独立回路4个：
p1 G1G2G3 ,
L1 H3 H 4 L3 G2G3 H 2
p2 H4
L2 G1G2G3 H3 L4 G1 H1
互不接触回路2组：
L1和L3 ,
L3和L4
特征式：
1 ( L1 L2 L3 L4 ) ( L1 L3 L2 L4 ) 1＋H3 H 4 G1G2G3 H3 G2G3 H 2 G1 H1 G2G3 H 2 H3 H 4 G1G2G3 H1H 2
例1：列些R-L-C 串连电路,输入电压Ur(t)与输出电压Uc(t)的微分方程。
解：
ur ( t ) L
di ( t ) Ri( t ) uc ( t ) dt du ( t ) i(t ) C c dt
d 2 uc ( t ) duc ( t ) LC RC uc ( t ) 2 dt dt
(a)首1标准型： G ( s)
K
*
(s z )
j j 1 i
m
(s p )
i 1
n
K *为根轨迹增益
(b)尾1标准型： G( s) K
(
s
k 1 n1
v
m1
k
s 1) ( l2 s 2 2 l s 1)
l 1 n2 i 2 2 j
m2
(T s 1) (T
i 1 j 1
K为开环增益
s 2T j s 1)
例：已知
4s 4 G(s ) 3 s 3s 2 2s
将其化为首1、尾1标准型，并确定其增益。
4( s 1) 4( s 1) 解. G ( s ) 3 2 s( s 1)(s 2) s 3s 2s
第二章 控制系统的数学模型
主要问题：
（1） 时域模型 - 微分方程
（2） 复频域模型 - 传递函数
（3） 结构图及其等效变换
（4） 梅逊增益公式
（5） 闭环控制系统典型传递函数
一、时域模型 – 微分方程
数学模型: 描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间关
系的数学表达式 建模方法： （1）解析法（机理分析法） 根据系统工作所依据的物理定律列写运动方程（微分 方程） （2）实验法（系统辨识法） 给系统施加某种测试信号，记录输出响应，并用适当 的数学模型去逼近系统的输入输出特性
对于复杂的控制系统，针对结构图等效变换求取传递函数较为繁
琐的不足，可采用梅逊增益公式，基于代数求解的方法直接获得系统的
传递函数，因此特别适用于复杂结构系统的分析。 （1）基本概念
(a) 增益 — 定量描述信号从信号通路一端沿 箭头方向传送到另一端的函数关系，相当于结 构图中环节的传递函数。如图红线通路增益：
五、闭环控制系统典型传递函数
（1）闭环系统的开环传递函数 为便于分析系统，常常在反馈通路的输出端，亦即在反馈与输入比
较点处，“人为”地断开系统的主反馈通路。将前向通路传递函数与反馈
通路传递函数的乘积称为系统的开环传递函数，用 G( s) H ( s) 于系统的反馈信号 B( s ) 与偏差信号 E (s) 之比，即 表示。它等
虽然这种方法是近似的，但便于分析计算，在一定的工作范围内
能反映系统的特性，在工程实践中具有实际意义。
假如元件的输出与输 入之间关系 x2=f(x1)的曲线 如图，元件的工作点为(x10， x20) 。 将 非 线 性 函 数 x2= f(x1)在工作点 (x10，x20)附 近展开成泰勒级数
df x2 f ( x1 ) f ( x10 ) dx1 1 d2 f 2 2! dx1
2个前向通路余子式： 1 1, 系统传递函数:
2 1 G2G3 2
C ( s) p11 p2 2 R( s ) G1G2G3 H 4 (1 G2G3 H 2） 1＋H 3 H 4 G1G2G3 H 3 G2G3 H 2 G1H1 G2G3 H 2 H 3 H 4 G1G2G3 H1H 2
首1标准型 根轨迹增益
K* 4
4 G( s) 2
K 2
s 1 ( s 1) 2 尾1标准型 1 2 3 1 s( s s 1) s( s 1 )( s 1) 2 2 2 开环增益
（4）传递函数的性质
（a）传递函数是复变量s的有理分式，它具有复变函数的所有性质。 因为实际物理系统总是存在惯性，根据物理可实现性，实际系统传递函 数的分母阶次n总是大于或等于分子阶次m，即n≥m； （b）传递函数只取决于系统的结构参数，与外作用无关，且不反映
— 前向通路的条数 — 第k条前向通路的总增益