图2.68 习题2.1图解：(a)11r c u u i R -=，2()r c C u u i -= ，122c u i i R +=，12122121212c c r r R R R R R Cu u Cu u R R R R R R +=++++(b)11()r c C uu i -= ，121r u u i R -=，1221i i C u+= ，121c u i R u =+， 121211122112121121()()c c c r r r R R C C uR C R C R C u u R R C C u R C R C u u ++++=+++ (c)11r cu u i R -=，112()r C u u i -=，1122u i i R +=，1121c u i dt u C =+⎰， 121212222112122221()()c c c r r r R R C C uR C R C R C u u R R C C u R C R C u u ++++=+++ 2.2 试证明图 2.69(a)所示电路与图 2.69(b)所示的机械系统具有相同的微分方程。

图2.69(b)中X r (t )为输入，X c (t )为输出，均是位移量。

(a) (b)图2.69 习题2.2图解：(a)11r cu u i R -=，12()r c C uu i -= ，12i i i +=，221c u idt iR C =+⎰， 121211122212121122()()c c c r r r R R C C uR C R C R C u u R R C C u R C R C u u ++++=+++ (b)2121()c B xx K x -= ，1121()()()r c r c c B x x K x x B x x -+-=- ， 121221212121211212()()c c c r r r B B B B B B B B Bx x x x x x K K K K K K K K K ++++=+++(a) (b) (c)图2.70 习题2.3图解：(a)12c r r u u Cu R R +=- ，221c r r R u R Cu u R =-- (b)12c r c u u CuR R =-- ，221c c r RR Cu u u R +=- (c)2111r r c u uu R dt R C R =--⎰，12c r r R CuR Cu u =-- 2.4 某弹簧的力-位移特性曲线如图2.71所示。

在仅存有小扰动的情况下，当工作点分别为x 0 =-1.2、0、2.5时，试计算弹簧在工作点附近的弹性系数。

图2.71 习题2.4图解：设力f 与位移x 的关系为f=g (x )。

取增量方程：()x dg x f x dx∆=∆， x 0 =-1.2、0、2.5()x dg x dx为工作点处的弹性系数，分别从曲线中量出为30201660,20,80.512=== 2.5 设某系统的传递函数为G (s )，在初始条件为零时，施加输入测试信号r (t )= t （t ≥0）,测得其输出响应为c (t )=1+sin t +2 e -2t （t ≥0）,试确定该系统的G (s )。

解：21)(ss R =，22111)(2++++=s s s s C ，222533)(23234++++++=s s s s s s s s G2.6 系统的微分方程组如下：)(d )(d )( , )(d )(d )()()()( , )()()(d )(d )( , )()()(54435553422311121t c tt c T t x K t x K t t x t c K t x t x t x t x K t x t x K tt x t x t c t r t x +==--==+=-=τ其中τ，K 1，K 2，K 3，K 4，K 5，T 均为正常数。

试建立系统r (t )对c (t )的结构图。

解：2.7 系统的微分方程组如下：t t c tt c t x K t nNN K t x t x x tt x Tt x t x t x t x K t x t n t c t r t x d )(d d )(d )( , )()()(d )(d , )()()()()( , )()()()(225022453452311211+=-==-==+-=其中K 0，K 1，K 2，T 均为正常数。

试建立系统结构图。

解：2.8 图2.72是一个模拟调节器的电路图。

试写出输入与输出之间的微分方程，并建立该调节器的结构图。

图2.72 习题2.8图解：(a)11r cu u i R -=，)(11211dt du C R u i +-=，312R u i =，⎰-=dt i C u 2221，542R u R u c -=， r c c c u u u R R CR R R uR C C R R R -=-+ 5224315214312.9 图2.73是一个转速控制系统，输入量是电压u a ，输出量是负载的转速ω，试写出其输入输出间的微分方程，并画出系统的结构图。

图2.73 习题2.9图解：(a)ωe a aa a a K dt di L R i u ++=，a i d i K M =，ωωB dtd J M d +=， a ee i a a a e i e i a u K K K B R B L J R K K K K J L 1)1()(1=++++ωωω2.10 某机械系统如图2.74所示。

质量为m 、半径为R 的均质圆筒与弹簧和阻尼器相连(通过轴心)，假定圆筒在倾角为α的斜面上滚动(无滑动)，试求出其运动方程和结构图。

图2.74 习题2.10图2.11 试化简图2.75中各系统结构图，并求传递函数C (s )/R (s )。

(a) (b)(c)图2.75 习题2.11图解：(a) 1222132211)(H G H G G G G G G s G +++=(b)211121211)1()(H H H G H H G G s G +++=(c)14321443232133243211)(H G G G G H G G H G G G H G G G G G G s G -+++=2.12 已知系统结构如图2.76所示，试将其转换成信号流图，并求出C (s )/R (s )。

(a) (b)图2.76 习题2.12图解：(a) 21212211211)(H H G G H G H G G G s G +++=(b) 2211211)(H G H G G G s G ++=2.13 系统的信号流图如图2.77所示，试用梅逊公式求C (s )/R (s )。

(a) (b)图2.77 习题2.13图解：(a) Ks s s Ks G 5.05.35.0)(23+++=(b)2142124513211212465143211)1()(H H G G G H G G G G G G H G G H G G G G G G G G s G ++++++++=2.14 试梅逊公式求图2.78所示结构图的传递函数C (s )/R (s )。

(a)(b)图2.78 习题2.14图解：(a) 3212521211241)(G G G H G G H G G H G G s G ++-+=(b)21212121312)(G G G G G G G G s G -++-+=2.15 已知系统结构图如图2.79所示，试写出系统在输入R (s )及扰动N (s )同时作用下输出C (s )的表达式。

图2.79 习题2.15图解：HG G G G G H G G G s N H G G G G G G G H G s R H G G G G G s C 3213122124314212231211)()]1(1[)()]1([)(+++++++++++=2.16 系统的结构如图2.80所示。

（1）求传递函数C 1(s )/R 1(s )，C 2(s )/R 1(s )，C 1(s )/R 2(s )，C 2(s )/R 2(s )；（2）求传递函数阵G (s )，其中，C (s )=G (s )R (s ), C (s )=⎥⎦⎤⎢⎣⎡)()(21s C s C ，R (s )=⎥⎦⎤⎢⎣⎡)()(21s R s R 。

图2.80 习题2.16图解： （1）)(1)1()()(1187513252532111s G G G G H G H G H G G G G s R s C =-+++=)(1)()(218751325765112s G G G G H G H G G G G G s R s C =-++=)(1)()(128751325954321s G G G G H G H G G G G G s R s C =-++=)(11)()(2287513251365422s G G G G H G H G H G G G G s R s C =-+++=）（（2） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=)()()()()(22211211s G s G s G s G s G2.17 已知系统结构图如图2.81所示。

（1）试求传递函数C (s )/R (s )和C (s )/N (s )；（2）若要消除干扰对输出的影响，即C (s )/N (s )=0，试问应如何选取G 0(s )。

图2.81 习题2.17图解： （1）)1()()(321321++=Ts s K K K K K K s R s C )1()()()(321430321++-=Ts s K K K sK K s G K K K s N s C （2）2140)(K K sK s G =。