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且增加时，有
作极坐标草图如图 。 稳定性判别：
当K小时，极坐标轨线围绕-1点的角度增量为
不包围-1点，所以系统是稳定的。 当K大时，围绕 -1点的角度增量为
由于围绕-1点转了-2圈，不等于零，所以系统不稳定。
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2、原点处有开环极点情况
原点有开环极点，个： 0 时，复变函数F(j)在原点处不解析，幅角增量
值不定。 处理方法如图。作无穷小半圆饶过原点，即 将原点处的开环极点视为s左半平面的极点来处理。
由映射关系，s平面原点处的幅角增量，必有G(j) 平
面无穷远处的幅角增量，以增补线来体现如图。
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§5.4 频域稳定性判据
又称Nyquist稳定性判据，简称奈氏 判据。利用系统开环频率特性获 得闭环系统稳定性的判别方法。
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一 开环极点与闭环极点的关系
开环传递函数 闭环传递函数
方程 M(s)=0 的根，开环零点。 方程 N(s)=0 的根，开环极点。
方程 M(s)=0 的根，闭环零点。 方程 N(s)+ M(s) =0 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ根，闭环极点。
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作辅助函数F(s)
方程 N(s)+ M(s) =0 的根—— F(s)的零点。
方程 N (s)=0 的根
—— F(s)的极点。
辅助函数F(s)作将系统的开环极点与闭环极点统一在一
个复变函数F(s)中。由于n≥m，开环极点、闭环极点
个数相等 = n个。
辅助函数F(s)的频率特性
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四、波德图上的稳定性判据
1、极坐标图与波德图的对应 引例5－10 开环传递函数为 极坐标图
稳定系统
临界稳定
不稳定
A()=1 ()>- A()=1 ()=- A()=1 ()<-
()=- A()<1 ()=- A()=1 ()=- A()>1
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波德图
稳定系统
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如果原点处的开环极点有个，则在平面上的无穷大半
圆处所作的增补线应满足的增补角为 这样，原点处有开环极点时，需要计入相应的增补角， 幅角增量的计算才是正确的。 例5－8 已知系统的开环传递函数为 试用奈氏判据判别闭环系统的稳定性。 解 （1）作极坐标图
A() 与 () 均为单调减，作图。
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如
，角度增量
如
，角度增量
对于F(j )的极点，正好与零点相反。
所以对于
如果
n个零点 与
n个极点
或者
n个闭环极点与
n个开环极点
全部位于s的左半平面，则有
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即角度增量为零，因此有轨线不包围F(j )平面的原 点，等价于开环频率特性的极坐标轨线Go(j )不包围 G(j )平面的1+j0点。
()还差多少，
定义稳定裕度。
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稳定裕度：极坐标图与波德图的对应
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2、稳定裕度定义
幅值裕度Lg ：(g) = - 时，
定义 系统稳定，必有：Lg > 0
如果系统稳定， L() 再向上
移动多少分贝系统就不稳定
了。
如果是系统不稳定，相反，
L() = 0dB () > - L()<0dB ()= -
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临界稳定
L() = 0dB () = -
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不稳定
• L() = 0dB () < -
• L() > 0dB () = -
距离系统稳定， L()还差多少，或者
A()单调减，() 单调减，穿越点
作图。
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（2）稳定性判别
=1，在无穷远点邻域作增补线如图
K小时，角度增量为 (原角度) (增补角)
不满足条件，系统不稳定。 K大时，角度增量为
(原角度) (增补角) 满足条件，系统稳定。
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二、频域稳定性判据
已知系统的开环频率特性Go(j)，则闭环系统稳定的充
分必要条件为：
当由0增至无穷时，辅助函数F(j )的角度增量为
或
其中，p为s的右半平面上开环极点的个数。 一般情况下 p=0，判别式成为
或
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稳定系统与不稳定系统的轨线与角度增量
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（2）稳定性判别 最小相位系统，稳定条件为
=1，在无穷远点邻域作增补线
如图。 K小时，角度增量为
(原角度) (增补角) 满足条件，系统稳定。 K大时，角度增量为
(原角度) (增补角) 不满足条件，系统不稳定。
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3、非最小相位系统 由s的右半平面开环极点确定，p≠0 稳定条件为 由s的右半平面开环零点确定， p=0 稳定条件仍为 例5－9 已知系统的开环传递函数为 由奈式判据判别闭环系统的稳定性。 解（1）作极坐标图。
判据为 P=0时，围绕 –1 点角度增量 P≠0时，围绕 –1 点角度增量
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证明： 辅助多项式 写为零极点表达式
幅角增量
F(j )的每个零点，如果位于s平面的左半平面，当
: 0 ∞时，则可以获得增量角为
F(j )的每个零点，如果位于s平面的右半平面，当
: 0 ∞时，则可以获得增量角为
（1）系统不稳定
（2）系统稳定
稳定系统的角度增量为0，或者说，轨线不包围原点。
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进而， F(j )平面就是1+G(j )平面。两平面的关系为 平移关系。包围F(j )平面的原点等于包围G(j )平 面
的-1+j0点
G(j )曲线即在G(j )平面上的极坐标图，因此可修改
如果有p个开环极点位于s平面的右半平面上 ,
系统稳定的充分必要条件为角度增量为p。 证毕。
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三、频域稳定性分析
1、最小相位系统 系统稳定的充要条件为
Go(j )曲线不包围G(j )平面的1+j0点。
例5－7 系统的开环传递函数
讨论开环增益K的大小对系统稳定性的影响。 解：作极坐标草图