上海市杨浦区20１８届高三二模数学试卷2018．0４一. 填空题（本大题共1２题，１-6每题4分,７－12每题5分,共54分） 1. 函数lg 1y x =-的零点是 ２. 计算:2lim41n nn →∞=+3. 若(13)n x +的二项展开式中2x 项的系数是54,则n = ４. 掷一颗均匀的骰子,出现奇数点的概率为5． 若x 、y 满足020x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩,则目标函数2f x y =+的最大值为６. 若复数z 满足1z =，则z i -的最大值是 7. 若一个圆锥的主视图（如图所示)是边长为3、3、2的三角形， 则该圆锥的体积是8. 若双曲线2221613x y p-=(0)p >的左焦点在抛物线22y px =的准线上,则p = 9. 若3sin()cos cos()sin 5x y x x y x ---=,则tan 2y 的值为10. 若{}n a 为等比数列，0n a >,且20182a =,则2017201912a a +的最小值为 1１. 在ABC △中，角A 、B 、Ｃ所对的边分别为a 、b 、c ，2a =，2sin sin A C =. 若B 为钝角,1cos24C =-,则ABC ∆的面积为 12. 已知非零向量OP 、OQ 不共线，设111m OM OP OQ m m =+++，定义点集 {|}||||FP FM FQ FM A F FP FQ ⋅⋅==. 若对于任意的3m ≥,当1F ,2F A ∈且不在直线PQ 上时,不等式12||||F F k PQ ≤恒成立，则实数k 的最小值为二. 选择题（本大题共4题，每题５分,共２０分)1３. 已知函数()sin()(0,||)f x x ωϕωϕπ=+><的图象如图所示，则ϕ的值为( )A. 4πB. 2πC. 2π- D. 3π-14. 设A 、Ｂ是非空集合,定义:{|A B x x AB ⨯=∈且}x A B ∉.已知2{|2}A x y x x ==-，{|1}B x x =>,则A B ⨯等于( ）A ．[0,1](2,)+∞B ． [0,1)(2,)+∞ C.[0,1] D ． [0,2]1５. 已知22110a b +≠，22220a b +≠，则“11220a b a b =”是“直线1111:0l a x b y c ++=与 2222:0l a x b y c ++=平行”的( )条件A. 充分非必要B. 必要非充分 Ｃ. 充要 Ｄ. 既非充分也非必要16. 已知长方体的表面积为452，棱长的总和为２４． 则长方体的体对角线与棱所成角的最大值为（ ） A ． 1arccos 3B. 2arccos 3C. 3arccosD. 6arccos三. 解答题（本大题共5题,共14+１4+1４+16+１8=7６分)17. 共享单车给市民出行带来了诸多便利，某公司购买了一批单车投放到某地给市民使用, 据市场分析,每辆单车的营运累计利润ｙ（单位：元)与营运天数x ()x ∈*N 满足函数关系 式21608002y x x =-+-. （1)要使营运累计利润高于800元，求营运天数的取值范围; （２）每辆单车营运多少天时，才能使每天的平均营运利润yx的值最大?1８. 如图,在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是棱AB 上的动点. (１)求证：11DA ED ⊥;（2)若直线1DA 与平面1CED 所成的角是45,请你确定点E 的位置，并证明你的结论.19． 已知数列{}n a ，其前n 项和为n S ,满足12a =,1n n n S na a λμ-=+,其中2n ≥,n ∈*N ,λ，μ∈R .(１)若0λ=,4μ=,12n n n b a a +=-（n ∈*N ），求数列{}n b 的前n 项和； （2）若23a =，且32λμ+=,求证：数列{}n a 是等差数列.20． 已知椭圆222:9x y m Ω+=(0)m >,直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴,l 与Ω有两 个交点A 、B ，线段A Ｂ的中点为M .（1）若3m =，点K 在椭圆Ω上，1F 、2F 分别为椭圆的两个焦点，求12KF KF ⋅的范围; （２）证明:直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值； (3)若l 过点(,)3mm ，射线ＯM 与Ω交于点P ,四边形OAPB 能否为平行四边形？ 若能,求此时l 的斜率；若不能,说明理由.21. 记函数()f x 的定义域为D . 如果存在实数a 、b 使得()()f a x f a x b -++=对任意满 足a x D -∈且a x D +∈的x 恒成立，则称()f x 为ψ函数．（1）设函数1()1f x x =-,试判断()f x 是否为ψ函数,并说明理由; （2）设函数1()2x g x t=+，其中常数0t ≠，证明：()g x 是ψ函数；（３）若()h x 是定义在R 上的ψ函数,且函数()h x 的图象关于直线x m =(ｍ为常数）对称，试判断()h x 是否为周期函数？并证明你的结论．上海市杨浦区２01８届高三二模数学试卷２0１８．04一. 填空题(本大题共12题，１-6每题4分,7-12每题5分,共54分） 1． 函数lg 1y x =-的零点是 【解析】lg 1010x x -=⇒=2． 计算:2lim41n nn →∞=+【解析】12３. 若(13)n x +的二项展开式中2x 项的系数是54，则n =【解析】223544n C n =⇒=4． 掷一颗均匀的骰子，出现奇数点的概率为 【解析】12５． 若x 、y 满足020x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩,则目标函数2f x y =+的最大值为【解析】三个交点为(1,1)、(0,0)、(2,0),所以最大值为3 ６. 若复数z 满足1z =,则z i -的最大值是 【解析】结合几何意义,单位圆上的点到(0,1)的距离,最大值为27. 若一个圆锥的主视图（如图所示)是边长为３、3、２的三角形, 则该圆锥的体积是【解析】13V π=⋅⋅=８. 若双曲线2221613x y p-=(0)p >的左焦点在抛物线22y px =的准线上,则p = 【解析】2234164p p p +=⇒= 9. 若3sin()cos cos()sin 5x y x x y x ---=,则tan 2y 的值为 【解析】3sin 5y =-,3tan 4y =±,24tan 27y =±1０. 若{}n a 为等比数列，0n a >，且20182a =,则2017201912a a +的最小值为【解析】2019201720182220172019201820182124a a a a a a ++=≥= 11． 在ABC △中,角Ａ、B 、Ｃ所对的边分别为a 、b 、c ，2a =，2sin sin A C =. 若B 为钝角,1cos24C =-,则ABC ∆的面积为【解析】2a =，4c =，21cos212sin sin 4C C C =-=-⇒=cos C =, sin 8A =,cos 8A =,sin sin()B A C =+=，1242S =⨯⨯=12. 已知非零向量OP 、OQ 不共线,设111mOM OP OQ m m =+++,定义点集{|}||||FP FM FQ FM A F FP FQ ⋅⋅==. 若对于任意的3m ≥，当1F ，2F A ∈且不在直线PQ 上时， 不等式12||||F F k PQ ≤恒成立，则实数k 的最小值为【解析】建系,不妨设(1,0)P -,(1,0)Q ,∴1(,0)1m M m -+，3m ≥,11[,1)12m m -∈+， ∴3FP MP FQ MQ =≥，设(,)F x y ，∴2222(1)9(1)x y x y ++≥-+,即2259()416x y -+≤，点F 在此圆内, ∴12max 33||242F F =⨯=，33224k k ≤⇒≥二. 选择题（本大题共４题，每题5分，共20分)1３. 已知函数()sin()(0,||)f x x ωϕωϕπ=+><的图象如图所示,则ϕ的值为( ）Ａ. 4π Ｂ. 2πC ． 2π- D ． 3π-【解析】T π=，2ω=,()122f ππϕ=⇒=-，选C1４. 设A 、B 是非空集合,定义：{|A B x x AB ⨯=∈且}x A B ∉.已知{|A x y =，{|1}B x x =>,则A B ⨯等于( )Ａ.[0,1](2,)+∞ B. [0,1)(2,)+∞ C ．[0,1] D. [0,2]【解析】[0,2]A =，[0,)AB =+∞，(1,2]A B =，选A1５. 已知22110a b +≠,22220a b +≠,则“11220a b a b =”是“直线1111:0l a x b y c ++=与 2222:0l a x b y c ++=平行”的( )条件A ． 充分非必要 B. 必要非充分 Ｃ. 充要 Ｄ． 既非充分也非必要 【解析】11220a b a b =推出直线平行或重合，选Ｂ 16. 已知长方体的表面积为452,棱长的总和为24. 则长方体的体对角线与棱所成角的最大 值为（ ）A. 1arccos 3B. 3 Ｃ. arccos 9D ． 【解析】设三条棱a b c ≤≤，∴454ab ac bc ++=，6a b c ++=,222272a b c ++=， 222224522[(6)]a b c a bc a a a ++≥+=+--,整理得2430a a -+≤，∴12a ≤≤,∴最短棱长为1,cos θ==，选Ｄ三. 解答题（本大题共5题，共14+14+１4+１6+1８=76分）17． 共享单车给市民出行带来了诸多便利，某公司购买了一批单车投放到某地给市民使用, 据市场分析，每辆单车的营运累计利润y （单位:元)与营运天数ｘ()x ∈*N 满足函数关系 式21608002y x x =-+-. (1）要使营运累计利润高于800元，求营运天数的取值范围； (２)每辆单车营运多少天时,才能使每天的平均营运利润yx的值最大？ 【解析】(1)要使营运累计收入高于８00元，令80080060212>-+-x x ， ……2分 解得8040<<x . ………………………………………5分所以营运天数的取值范围为４0到80天之间 ．………………………………7分（2）6080021+--=x x x y 6020≤-= …………………………………9分 当且仅当18002x x=时等号成立,解得400x = (12)分所以每辆单车营运400天时，才能使每天的平均营运利润最大，最大为2０元每天 ． (4)18. 如图,在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是棱A Ｂ上的动点. (1)求证:11DA ED ⊥;(2）若直线1DA 与平面1CED 所成的角是45，请你确定点Ｅ的位置，并证明你的结论． 【解析】以D 为坐标原点，建立如图所示的坐标系，则(0,0,0)D ,(1,0,0)A ,(1,1,0)B , C （0，1，0) ，D 1(0，１,２) ，Ａ1（1，0,1),设(1,,0)E m (0m ≤(1)证明：1(1,0,1)DA =，1(1,,1)ED m =--………２分 111(1)0()110DA ED m ⋅=⨯-+⨯-+⨯=………４分 所以DA １⊥ED 1. ……………６分另解:1ADA AE 平面⊥，所以D A AE 1⊥. ……………2分 又11AD D A ⊥，所以AE D D A 11平面⊥. ……………………………4分所以11DA ED ⊥ﻩ ﻩﻩﻩ ﻩﻩﻩ……………………………6分（2）以A 为原点,AB 为x 轴、ＡD 为y 轴、AA 1为z 轴建立空间直角坐标系…………7分 所以)1,0,0(1A 、)0,1,0(D 、)0,1,1(C 、)1,1,0(1D ,设t AE =,则)0,0,(t E ………8分设平面ＣＥD 1的法向量为),,(z y x =，由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅001CD 可得⎩⎨⎧=--=+-0)1(0y x t z x , 所以⎩⎨⎧-==xt y xz )1(,因此平面CED 1的一个法向量为)1,1,1(-t 0由直线1DA 与平面1CED 所成的角是45，可得45sin 11=︒ ……11分可得1)1(12|11|222+-+⋅+-=t t ,解得21=t ………1３分由于AB =１，所以直线1DA 与平面1CED 所成的角是4５时，点E 在线段ＡB 中点处. …1４分19． 已知数列{}n a ,其前n 项和为n S ，满足12a =,1n n n S na a λμ-=+，其中2n ≥，n ∈*N ，λ，μ∈R .（1）若0λ=,4μ=,12n n n b a a +=-(n ∈*N ），求数列{}n b 的前n 项和； （2）若23a =,且32λμ+=,求证：数列{}n a 是等差数列.【解析】（1）14-=n n a S ，所以n n a S 41=+．两式相减得1144-+-=-n n n n a a S S . 即1144-+-=n n n a a aﻩﻩﻩﻩ ………２分 所以)2(2211-+-=-n n n n a a a a ，即12-=n n b b , (3)分又8412==a S ，所以6122=-=a S a ,得22121=-=a a b ………４分因此数列{}n b 为以２为首项,2为公比的等比数列.nn b 2=,前n 项和为221-+n …７分 (2）当ｎ = 2时，1222a a S μλ+=，所以μλ2623+=+. 又32λμ+=,可以解得12λ=,1μ=ﻩ ………９分 所以12-+=n n n a a n S ,n n n a a n S ++=++1121,两式相减得111221-++-+-+=n n n n n a a a n a n a 即112221-++-=-n n n a a n a n ． 猜想1+=n a n ,下面用数学归纳法证明: 0① 当n = 1或2时,1121+==a ，1232+==a ,猜想成立; ② 假设当k n ≤(2,*≥∈k N k ）时,1k a k =+ 成立 则当1+=k n 时，2))1(22(12)22(1211+=++--=+--=-+k k k k k a a k k a k k k 猜想成立. 由①、②可知,对任意正整数ｎ，1+=n a n .ﻩ………13分 所以11=-+n n a a 为常数,所以数列{}n a 是等差数列.ﻩﻩ ………14分另解：若23a =，由12212a a a a +=+λμ，得562=+λμ， 又32+=λμ,解得112==，λμ． ………9分由12a =，23a =,12λ=,1μ=,代入1n n n S na a λμ-=+得34a =， 所以1a ,2a ，3a 成等差数列,由12n n n n S a a -=+,得1112n n n n S a a +++=+,两式相减得:111122n n n n n n na a a a a ++-+=-+-，即11(1)(2)20n n n n a n a a +-----=所以 21(1)20n n n na n a a ++---= ………11分相减得：2112(1)(2)220n n n n n na n a n a a a ++---+--+= 所以2111(2)2(2)0n n n n n n n a a a a a a +++--++-+=所以221111-222(2)(2)(2)(1)n n n n n n n n n a a a a a a a a a n n n +++---+=--+=-+- 1321(2)(2)(1)2n a a a n n --==-+-，因为12320a a a -+=，所以2120n n n a a a ++-+=，即数列{}n a 是等差数列.………14分２0. 已知椭圆222:9x y m Ω+=(0)m >，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴,l 与Ω有两 个交点A 、Ｂ,线段A Ｂ的中点为M .(1)若3m =，点K 在椭圆Ω上,1F 、2F 分别为椭圆的两个焦点,求12KF KF ⋅的范围; (2)证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值; (3)若l 过点(,)3mm ,射线O Ｍ与Ω交于点P ,四边形OAPB 能否为平行四边形? 若能,求此时l 的斜率；若不能，说明理由．【解析】（1)椭圆99:22=+Ωy x ，两个焦点)22,0(1F 、)22,0(2-F ，设),(y x K 所以8)22,()22,(2221-+=---⋅--=⋅y x y x y x KF KF由于9922=+y x ,所以2299x y -=，188)99(22221+-=--+=⋅x x x KF KF …3分 由椭圆性质可知11≤≤-x ,所以]1,7[21-∈⋅KF KF ﻩ……………5分 （2）设直线b kx y l +=:(0,0≠≠k b ）,),(11y x A ,),(22y x B ,),(00y x M ,所以21x x 、为方程222)(9m b kx x =++的两根,化简得02)9(2222=-+++m b kbx x k ，所以922210+-=+=k kb x x x ，99922200+=++-=+=k b b k b k b kx y . ……………8分 kx y k OM 900-==，所以直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积等于9-为定值. …………10分（３）∵直线l 过点(,)3mm ,∴l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是0k >,3k ≠． 设),(p p y x P 设直线m m x k y l +-=)3(:(0,0≠≠k m ），即m mkkx y +-=3．由（2）的结论可知x ky OM 9:-=,代入椭圆方程2229m y x =+得8192222+=k k m x p …12分由(２）的过程得中点)9)3(9,9)3((22+-+--k km m k k mk m M ， ……………14分若四边形OAPB 为平行四边形,那么M 也是O Ｐ的中点，所以p x x =02,得819)93(4222222+=+-k k m k mk mk ,解得74±=k 所以当l的斜率为44OAPB 为平行四边形． ……………16分２１. 记函数()f x 的定义域为Ｄ. 如果存在实数a 、b 使得()()f a x f a x b -++=对任意满足a x D -∈且a x D +∈的x 恒成立，则称()f x 为ψ函数.（1)设函数1()1f x x =-,试判断()f x 是否为ψ函数,并说明理由; （2）设函数1()2x g x t=+，其中常数0t ≠，证明:()g x 是ψ函数;(3）若()h x 是定义在R 上的ψ函数,且函数()h x 的图象关于直线x m =(m 为常数)对称,试判断()h x 是否为周期函数？并证明你的结论. 【解析】(1）1()1f x x=-是ψ函数 ． ……1分 理由如下：1()1f x x=-的定义域为{|0}x x ≠, 只需证明存在实数a ，b 使得()()f a x f a x b -++=对任意x a ≠±恒成立．由()()f a x f a x b -++=,得112b a x a x +-=-+，即2()()a x a xb a x a x ++-+=-+． 所以22(2)()2b a x a +-=对任意x a ≠±恒成立． 即2,0.b a =-= 从而存在0,2a b ==-，使()()f a x f a x b -++=对任意x a ≠±恒成立. 所以1()1f x x=-是ψ函数. …………4分 (２)记()g x 的定义域为D ,只需证明存在实数a ,b 使得当a x D -∈且a x D +∈时,()()g a x g a x b -++=恒成立，即1122a x a x b tt-++=++恒成立．所以22(2)(2)a x a x a x a x t t b t t +-+-+++=++， ……5分 化简得,22(1)(22)(2)2a x a x a bt b t t +--+=+-．所以10bt -=，22(2)20a b t t +-=. 因为0t ≠,可得1b t=，2log ||a t =,即存在实数a ，b 满足条件，从而1()2x g x t=+是ψ函数. …………10分（3）函数)(x h 的图象关于直线x m =(m 为常数）对称,所以)()(x m h x m h +=- （１)， ……………12分 又因为b x a h x a h =++-)()( （２）， 所以当a m ≠时,)]2([)22(a m x m h a m x h -++=-+ 由(1） )]([)2()]2([x a a h x a h a m x m h -+=-=-+-= 由（2） )()]([x h b x a a h b -=---= （3)所以)22(]22)22[()44(a m x h b a m a m x h a m x h -+-=-+-+=-+---- （取a m x t 22-+=由(３）得)再利用(3）式，)()]([)44(x h x h b b a m x h =--=-+．所以()f x 为周期函数,其一个周期为a m 44-. ……………15分当a m =时,即)()(x a h x a h +=-，又)()(x a h b x a h +-=-, 所以2)(bx a h =+为常数. 所以函数)(x h 为常数函数，2)()1(bx h x h ==+,)(x h 是一个周期函数.……………17分 综上,函数)(x h 为周期函数……………18分（其他解法参考评分标准,酌情给分）。