·1· 江西省重点中学盟校2019届高三第一次联考
高三数学（理）试卷
命题人：景德镇一中 江 宁 赣州三中 明小青 余江一中 官增文
审题人：景德镇一中 曹永泉
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知复数z满足1323izi（i为虚数单位），则z在复平面内对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．函数3()lg(3)2xfxxx的定义域是
A．(3,) B．(2,3) C．[2,3) D．(2,) 3．已知,mn是两条不同直线,,,是三个不同平面,则下列命题正确的是
A．若//,//nm,则nm// B．若,,则∥
C．若//,//mm,则// D．若,mn,则m∥n
4．为了调查你们学校高中学生身高分布情况，假设你的同桌抽取的样本容量与你抽取的样本容量相同且抽样方法合理，则下列结论正确的是
A．你与你的同桌的样本频率分布直方图一定相同
B．你与你的同桌的样本平均数一定相同
C．你与你的同桌的样本的标准差一定相同
D．你与你的同桌被抽到的可能性一定相同
5．下列函数中，与函数111()22xxfx的奇偶性、单调性均相同的是
A．xye B． 2ln(1)yxx
C． 2yx D．tanyx
6．已知直线1xy与圆22xya交于A、B两点，O是原点，C是圆上一点，若
OCOBOA，则a的值为
A．1 B．2 C．2 D．4
7．设lglglg111()121418xxxfx，则1()()=fxfx
A． 1 B．2 C．3 D．4 ·2· y
Q P
R M O x ()∙∙π∙π第8题图 8．如图，函数()sin()fxAx（其中0A，0，||2）
与坐标轴的三个交点P、Q、R满足(2,0)P，4PQR，M
为QR的中点，25PM， 则A的值为
A．833 B．1633
C．8 D．16
9．给出下列命题，其中真命题的个数是
①存在0xR，使得007sincos2sin24xx成立;
②对于任意的三个平面向量a、b、c，总有()()abcabc成立;
③相关系数r (||1r)，||r值越大，变量之间的线性相关程度越高.
A．0 B．1 C．2 D．3
10．如图，已知正方体1111ABCDABCD的棱长是1，点E是
对角线1AC上一动点，记AEx（03x）,过点E
平行于平面1ABD的截面将正方体分成两部分，其中点A
所在的部分的体积为()Vx，则函数()yVx的图像大致为
A B
C D
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． ECDC1B1AA1BD1第10题图
1 y
3 x O 1 y
x O 3
1 y
x O 3 1 y
x O 3 ·3· 11．已知30sinaxdx，则61()xax的展开式中的常数项是__________．
12．下图给出了一个程序框图，其作用是输入x的值，输出相应的y值．若要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的x值有__________个．
13．春节期间，某单位安排甲、乙、丙三人于正月初一至初五值班，每人至少值班一天，且每人均不能连续值班两天，其中初二不安排甲值班，则共有__________种不同的值班安排方案．
14．过双曲线22221xyab(0,0)ab的左焦点(,0)Fc(0)c，作倾斜角为6的直线FE交该双曲线右支于点P，若1()2OEOFOP，且0OEEF，则双曲线的离心率为__________．
三．选做题：请在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按第一题评阅计分，本题共5分．
15（1）．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线1)sincos2(:1C与曲线)0(,:2aaC的一个交点在极轴上，则a的值为__________．
15（2）．（不等式选做题）若关于x的不等式|1|||3xxm的解集不为空集，则实数m的取值范围是__________．
四．解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（本小题满分12分）
设ABC的内角,,ABC所对的边分别为,,abc，且有tantansin3cosACBC．
（1）求cosA的值；
（2）若2b，3c，D为BC上一点．且2CDDB,求AD的长．
17．（本小题满分12分）
江西某品牌豆腐食品是经过A、B、C三道工序加工而成的，A、B、C工序的产品合格率分别为34、23、45．已知每道工序的加工都相互独立，三道工序加工的产品都为合格时产品为一等品；恰有两次合格为二等品；其它的为废品，不进入市场．
（1）生产一袋豆腐食品，求产品为废品的概率；
（2）生产一袋豆腐食品，设X为三道加工工序中产品合格的工序数，求X的分布列和数学期望．
18．（本题满分12分） 是 否 1yx
是 否
开始 输入x 2x5x输出y 24yx
2yx
第13题图 ·4· 如图，三棱锥PABC中，210ABAC，
4BC，211PC，点P在平面ABC内的射影
恰为ABC的重心G，M为侧棱AP上一动点．
（1）求证：平面PAG平面BCM；
（2）当M为AP的中点时，求直线BM与平面PBC
所成角的正弦值．
19．（本题满分12分）
已知数列{}na前n项和为nS，向量(,)an与(,)nbnS，且ab，R
（1）求数列{}na的通项公式；
（2）求21{}nnaa的前n项和nT，不等式3log(1)4naTa对任意的正整数n恒成立，求a的取值范围．
20．（本题满分13分）
设定圆22:(3)16Mxy，动圆N过点(3,0)F且与圆M相切，记动圆N圆心N的轨迹为C.
（1）求轨迹C的方程；
（2）已知(,)A，过定点(,)B的动直线l交轨迹C于P、Q两点，APQ的外心为N．
若直线l的斜率为1k，直线ON的斜率为2k，求证：12kk为定值．
21．（本题满分14分）
已知函数()lnafxaxbxx （a、b为常数），在1x时取得极值．
（1）求实数b的取值范围；
（2）当1a时，关于x的方程()2fxxm有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围；
（3）数列{}na满足1111nnaa （*nN且2n），112a，数列{}na的前n项和为nS，
求证：12nnSannae（*nN,e是自然对数的底）． P
A
B C
G M
第18题图 ·5· 江西省重点中学盟校2019届高三第一次联考
高三数学（理）试卷 参考答案
一．选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10
答案 A B D D B C C B B
D
二．填空题
11．160 12．3 13．28 14．31
三．选做题
15（1）．22 15（2）．(2,4)
四．解答题
16解：（1）∵ tantansin3cosACBC
∴sinsin3sincoscoscosACBACC
∴ 3sincossincoscossinsin()sinBAACACACB
∵sin0B ∴3cos1A ∴
1cos3A
…………………………….6分
（2）∵ 2b，3c ∴ 2222cos9abcbcA ∴ 2DC 1cos3C
∴2221622222cos3ADC ∴433AD
……………………12分
17解：（1）产品为废品的概率为：
11131112111414354354354356P ……………………………6分
（2）由题意可得0,1,2,3
3241()(1)(1)(1)435060P
3111211143()435435435201P
3242()43535P ·6·
故13(2)1(0)(1)(3)30PPPP， ………………………………9分
得到ξ的分布列如下：
31321332320305160E ……………………………………………12分
18解：（1）取BC中点D，连接AD、PD，
∵PG平面ABC，∴PGBC
等腰ABC中，G为重心，∴AGBC
∴BC平面PAG
∴平面PAG平面BCM ……………6分
（2）ABC中，6AD ∴2GD
∵BC平面PAG ∴ CDPD
∴210PD ∴6GP
过G作BC的平行线为x轴，AG为y轴，GP为z轴
建立空间直角坐标系
(2,0)B (2,0)C (0,6)P (4,0)A
∴ (2,3)M
设直线BM与平面PBC所成角为
设平面PBC的法向量为n
(0,0)CB (2,6)PB ∴(3,1)n
(4,3)BM ∴||9sin|cos,|||||290nBMnBMnBM……………12分
19解：（1）∵ab ∴ //ab ∴ (1)2nnnS 1121nnnSSnaSn
∴ nan ……………4分
（2）13243521111nnnTaaaaaaaa1111132435(2)nn
11111111111111(1)()()()()2322423521122nnnn
11113111(1)()22124212nnnn ……………8分 P
A
B C
G M
y x z
D