角函数讲义适用于高三第一轮复习IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】三角恒等变换知识点睛1．同角三角函数的基本关系式：1cos sin 22=+αααααtan cos sin = 2．诱导公式（奇变偶不变，符号看象限） 3．两角和与差的公式4．倍角公式αααcos sin 22sin =1cos 2sin 21sin cos 2cos 2222-=-=-=ααααα5．降幂公式22cos 1sin 2αα-=22cos 1cos 2αα+=ααα2sin 21cos sin = 6．幅角公式x b x a ωωcos sin +)sin(22ϕω++=x b a ，其中a b=ϕtan7．和差化积、积化和差公式（此系列公式知道怎么推导就行，无需特别记忆） 8．补充公式ααααα2sin 1cos sin 21)cos (sin 2±=±=±，2cos2sinsin 1ααα±=±例题精讲解析：（1）由题意，5sin 1cos 2-=--=αα，4cos tan -==αα（2）由题意，125cos sin tan -==ααα且1cos sin 22=+αα，解得135sin -=α，1312cos =α （3）∵0cos <α，∴α是第二或第三象限角 当α是第二象限角时，1715cos 1sin 2=-=αα，815cos sin tan -==ααα 当α是第三象限角时，1715cos 1sin 2-=--=αα，815cos sin tan ==ααα 点评：利用同角三角函数的基本关系式能够做到三角函数值“知一求二”，但要注意正负符号的确定解析：（1）5464tan 3cos 4sin 3=+=+=+ααα（2）521tan tan cos sin cos sin cos sin 222=+=+=αααααααα （3）11tan 21tan cos cos sin 2cos sin cos cos sin 2122222=++=++=+αααααααααα 点评：如果根据αtan 的值求αsin 、αcos 的值，则需考虑α的象限，这里把1写成αα22cos sin +构造关于αsin 、αcos 的齐次式，解法干净利索解析：（1）233sin )3sin(34sin-=-=+=ππππ，236cos )64cos(625cos ==+=ππππ 14tan )4tan(45tan==+=ππππ∴431232345tan 625cos 34sin -=⋅⋅-=⋅⋅πππ （2）∵21cos )cos(-=-=+ααπ∴21cos =α故21cos )2sin(==+ααπ（3）∵k ==-80cos )80cos(∴k k 2180tan -=故kk 2180tan 100tan --=-=点评：此题主要考查诱导公式的使用，关于诱导公式希望大家牢记：互补的两个角正弦值解析：（1）由题意，5cos -=α，13sin -=β∴6533)1312(54)135)(53(sin sin cos cos )cos(-=-+--=+=-βαβαβα （2）由题意，54cos =α，43tan -=α，∴1027sin 22cos 22)4sin(=-=-αααπ1027sin 22cos 22)4cos(=-=+αααπ，74tantan 14tantan )4tan(-=+-=-παπαπα（3）由题意，4tan -=α，24tan 22tan 2-==αα 解析：（1）由题意，1tan tan 1tan tan )tan(=-+=+βαβαβα，即βαβαtan tan 1tan tan -=+∴=++)tan 1)(tan 1(βα=+++βαβαtan tan tan tan 111+2=（2）由题意，33tan 2tan2tan 12tan2tan)2tan(==-+=+πB A B A B A ∴2tan 2tan 32tan 2tan B A B A ++32tan 2tan 3)2tan 2tan 1(3=+-=BA B A点评：正切的和差角公式把)tan(βα±、βαtan tan ±、βαtan tan 联系到一块，任一项都能由另两项表示，如)tan tan )(tan(tan tan βαβαβα-+=+1ααααα2cos 2sin 12cos 2sin 2cos 1+=+=222(cos sin )cos sin 1tan 2008cos sin cos sin 1tan αααααααααα+++====--- （2）由题意，2518cos sin 21)cos (sin 2=-=-αααα，∴257cos sin 2=αα （3）∵40πα<<∴ααcos sin <又∵2)cos (sin )cos (sin 22=-++αααα∴22cos sin -=-αα，即3sin cos sin cos tan 1tan 1=-+=-+αααααα 点评：在三角函数的化简与求值问题中，一要尽量减少三角函数名，二要尽量减少角的个数，这里用到“化切为弦”，即将正切化为我们更熟悉的正弦和余弦解析：（1）∵53sin 212cos 2-=-=αα，且α是第三象限角∴552sin -=α，2tan =α34tan 1tan 22tan 2-=-=ααα，∴712tan 12tan 1)24tan(-=-+=+αααπ （2）由题意，53cos 1sin 2-=--=αα∴21cos sin 1sin cos )2sin2(cossincos2sin 2cos tan12tan 1222-=+=-+=-+=-+αααααααααααα解析：（1）3sin 1)2cos 2(sin 2=+=+θ∴3sin =θ，9sin 212cos 2=-=θθ（2）∵24πθπ<<∴θθsin cos <又∵41cos sin 21)sin (cos 2=-=-θθθθ∴21sin cos -=-θθ点评：此题主要考查ααcos sin ±与ααcos sin 之间的关系：θθθθcos sin 21)sin (cos 2±=± 解析：（1）25cos sin 21)cos (sin 2=-=-αααα∴25cos sin =αα （2）2549cos sin 21)cos (sin 2=+=+αααα，∴57cos sin ±=+αα，即257)cos )(sin cos (sin cos sin 22±=-+=-αααααα（3）)cos cos sin )(sin cos (sin cos sin 2233αααααααα++-=-12537)25121(51=+⨯=常见题型一：给角求值在求值过程中，先整体分析三角函数式的特点，如果整体符合三角公式，则整体变形，否则进行局部变换。
另外要观察所给角与特殊角之间的关系，要尽量利用三角公式将非特殊sin163sin 223sin 253sin313+=_____；（） 78sin 66sin 42sin 6sin 解析：（1）原式260cos )1743cos()43cos ()17cos ()43sin (17sin ==+=-⋅-+-=（2）原式=-+= 10sin 15cos 25sin 10sin 15sin 25cos10sin 15cos )1015sin(10sin 15sin )1015cos(-+++（3）原式=⋅= 6cos 278sin 66sin 42sin 6sin 6cos 26cos 212cos 66sin 42sin 12sin（4）原式)]5020sin()5020[sin(1)100cos 1(1)40cos 1(1 -+++++-= 解析：（1）原式2)10cos 10(sin 35cos 20cos-=)10sin 10(cos 35cos 10sin 10cos 22--= （2）原式 24cos 12sin 2)312cos 12sin 3(-= 24cos 12cos 12sin 212cos 312sin 3-=24cos 24sin )12cos 2312sin 21(32-= 常见题型二：给值求值解决此类问题的关键在于角的“整体代换”，找出已知式与欲求式的角的和、差、倍、解析：（1）∵432παπ<<，∴244ππαπ<-<，1027)4(cos 1)4sin(2=--=-παπα∴4sin )4cos(4cos )4sin()44sin(sin ππαππαππαα-+-=+-=（2）∵232παπ≤≤，∴47443ππαπ≤+≤，又∵053)4cos(>=+πα ∴47423ππαπ≤+≤，2345παπ≤≤，∴54)4sin(-=+πα1024sin)4sin(4cos)4cos()44cos(cos -=+++=-+=ππαππαππαα，1027sin -=α ∴50231sin )4sin(cos )4cos()4cos()42cos(-=+-+=++=+απααπααπαπα 另解：∵53)sin (cos 22)4cos(=-=+ααπα∴523sin cos =-αα且]23,45[ππα∈ 则2572sin =α，524sin cos -=+αα，2524sin cos 2cos 22-=-=ααα∴50231)2sin 2(cos 22)42cos(-=-=+ααπα （3）61415214152)4tan()tan(1)4tan()tan()]4(tan[)4tan(=⋅--=-++--+=--+=+πββαπββαπββαπα 常见题型三：给值求角解决此类问题的关键是先求出此角的某一个三角函数值，然后根据角的范围确定角的大小，此时要注意根据三角函数值的正负号或比较特殊角的三角函数值大小挖掘隐含条件，要尽量减小角的解析：∵552cos =α，10103cos =β ∴2210105521010355sin cos cos sin )sin(=⋅+⋅=+=+βαβαβα ∵2155sin <=α，211010sin <=β∴60πβα<<、，30πβα<+<，故4πβα=+解析：975121152)tan(=⋅-+=+βα，18197189)tan(=⋅-+=++γβα∵121tan <=α，151tan <=β，181tan <=γ，且α、β、γ均为锐角，∴α、β、γ)4,0(π∈∴)3,0(πγβα∈++，故πγβα=++解析：31tan )tan(1tan )tan(])tan[(tan =--+-=+-=ββαββαββαα，∵3331tan <=α∴60πα<<又∵3371tan ->-=β∴πβπ<<65，22πβαπ-<-<- ∵1tan )tan(1tan )tan(])tan[()2tan(=--+-=+-=-αβααβααβαβα∴432πβα-=-解三角形知识点睛1．解三角形：一般地，把三角形的三个角和它们的对边叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫作解三角形。