１．2任意角的三角函数
(一)、任意角的三角函数
设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点(,)P x y , 那么:
(1）y 叫做α的正弦，记作sin α,即sin y α=;
（２）x 叫做α的余弦，记作cos α，即cos x α=;
（３)y x
叫做α的正切，记作tan α，即tan y x α=; 可以看出:当()2k k Z π
απ=+∈时,α的终边在y 轴上,这时点P 的横坐标0x =,所以
tan y x
α=无意义，除此之外，对于确定的角α，以上三个值都是唯一确定的。
正弦，余弦、正切都是以角为自变量,以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的
函数，我们将它们统称为三角函数。
注:取角α的终边上任意一点(,)P a b (原点除外) ,则对应的角α的正弦值
sin α=，余弦值cos α=tan b a
α=。
注意到角的终边为射线，所以应分两种情况处理。
例1、有下列命题:
①终边相同的角的同名三角函数的值相等;
②终边不同的角的同名三角函数的值不等;
③若sin α>0,,则α是第一、二象限的角;
④若α是第二象限的角，且(,)P x y 是其终边上一点,则
cos α=（其中正确的命
题的个数是） .
Ａ、1 B 、2 C 、3 D 、４
例２、若sin 0θ<且tan 0θ>,则θ是第_____＿____象限角。
例３、若sin cos 0θθ>,则θ在(）
A 、第一或第二象限
B 、第一或第三象限
C 、第一或第四象限 Ｄ、第二或
四象限
例4、已知sin sin ,cos cos ,sin cos 0θθθθθθ=-=-⋅≠且，判断点(tan ,sin )P θθ在
第几象限。
例５、已知角α的终边过点(3,4)(0)P a a a -≠,求2sin cos αα+的值
例6、有下列命题:
①终边相同的角的同名三角函数的值相等；
②终边不同的角的同名三角函数的值不等;
③若sin 0α>,则α是第一、二象限角;
④若α是第二象限角，且(,)P x y 是其终边上的任一点,则22cos x y α
=+
其中正确命题的个数是（)
Ａ、1 B 、2 C 、３ D 、４
例7、已知角θ的终边上有一点(,3)(0)P x x ≠，且10cos 10
x θ=
,求sin ,tan θθ的值 例8、已知 1
sin sin 01tan tan ααα+
<+，求α是第几象限角
（三）、三角函数的定义域
各种三角函数的定义域
例9：求函数sin cos tan x x y x
+=的定义域
（五)、诱导公式一
根据三角函数的定义可以知道，终边相同的角的同一种三角函数的值相等，由此得到公式一
例１4、求值
(1)00000sin(1320)cos1110cos(1020)sin 750tan 495-+-+
(2)1112sin()cos tan 465πππ-
+⋅
例15、(1)计算1112cos()sin tan 665
πππ-+⋅;（２）比较0sin1155与0sin(1654)-的大小
例16、确定0tan(672)-的符号
例17、求00000sin(1200)cos1290cos(1020)sin(1050)tan 945-⋅+-⋅-+的值
例1８、化简下列各式
（1）20200sin(1350)tan 4052cos(1080)a b ab -+--
（2)1112sin()cos tan 465
πππ-+⋅
（六）、同角三角函数的基本关系
一、同角三角函数的基本关系
1、平方关系：22sin cos 1αα+=
2、商数关系：sin tan (,)cos 2
k k Z απααπα=≠+∈ 他们还有如下等价形式: 2222sin sin 1cos ,cos 1sin ,sin cos tan ,cos tan αααααααααα=-=-==
222(sin cos )sin cos 2sin cos 1+2sin cos αααααααα+=++=
222(sin cos )sin cos 2sin cos 12sin cos αααααααα-=+-=-
22(sin cos )(sin cos )2αααα++-=
例19、已知tan 2α=-，求sin ,cos αα的值
例20 例21、化简44661cos sin 1cos sin αααα----
例2２、已知sin 3cos 0αα+=,求sin ,cos αα的值
例23、已知11sin ,cos ,333k k k k k αα+-==≠--,求tan 1tan 1
αα-+的值
例24、已知tan 3α=,求下列各式的值
(1）4sin cos 3sin 5cos αααα
-+ （2)2222sin 2sin cos cos 4cos 3sin αααααα--- (3)
2231sin cos 42αα+
例2５、已知1sin cos ,(0,)5
θθθπ+=
∈，求33sin cos ,sin cos θθθθ-+
例27、已知
tan 1tan 1
αα=--，求下列各式的值 （1)sin 3cos sin cos αααα-+；(2)2sin sin cos 2ααα++
例33、已知sin ,cos αα是方程236210x kx k +++=的两根,求实数k 的值
练习:
1、 若且tan 0α>，则α是( )
A 、第一象限角
B 、第二象限角
C 、第三象限角 Ｄ、第四象限
角
２、已知点Q(3,４）是α终边上的一点，则sin cos tan ααα++等于（ )
A.1 Ｂ．4115 Ｃ. 253
D.12
３、已知cos tan 0θθ⋅<,那么角θ是（ ）
A ．第一或第三象限角 B.第二或第四象限角 C.第三或第四象限角 D.第一或第四象限
角 ４、已知33cos =-,(2,2)(),5
2
k k k Z πααπππ∈++∈则tan α等于( ) A. 43 B. -43 C. 34
D. 3-4
5、当α为第二象限角时,|sin ||cos |sin cos αααα-的值是( ） A.１ Ｂ．0 Ｃ． 2
D.-２
6cos x =-,则ｘ的范围是__＿___＿____________＿＿．
知能提升突破
1. 已知角α的终边在射线3(0)y x x =-≥上,则sin cos αα等于（ ）
A. 310-
B. 10- Ｃ. 310
D.
10 ２. 在[0,2]π上满足1sin 2
α≥
的α的取值范围是( ） A. [0,]6π B. 5[,]66ππ Ｃ. 2[,]63ππ
Ｄ. 5[,]6
ππ
３. 已知sin αα=为锐角，则cos α等于( )
A. 79
Ｂ. 3± Ｃ. 3
D.
3
4. 已知α=,则22sin cos αα+等于( )
A. B ．0 C. 1
D.无法确定 ５． 若α
的值为( )
A ．3 B.-３ C ． １
D.-1
6. 若sin 2cos θθ=,则22sin sin cos 2cos θθθθ+⋅-=( ） A. 43-
Ｂ. 54 C. 34- D. 45
7. 若1
sin cos 5αα+=-,且0απ<<,则tan α的值是( )
Ａ.3-4或－43 B. 43 C. －43
Ｄ． 3-4
８. 在(0,2)π内使cos sin tan x x x >>成立的x 的取值范围是( )
A ． 3(,)44
ππ B. 53(,)42ππ C ． 3[,2)2ππ Ｄ. 37[,]24
ππ 9. 若3(,)4
πθπ∈，则下列各式错误的是_________ ①sin cos 0θθ+< ②sin cos 0θθ->ﻩ③sin cos θθ<ﻩ④sin cos 0θθ+>
10.
__＿___________＿____ 11. 已知1sin cos 8αα⋅=,且42
ππα<<,则sin cos θθ-=__＿___＿__________＿＿ １2. 已知tan 3α=,求22sin 4sin cos 2cos αααα+-的值．
１3. 已知tan 2α=,求sin α和cos α的值.
14. 利用三角函数线,求满足下列条件的角α的集合. (1)1sin 2α=ﻩ②tan 1α=-ﻩ③1sin 2
α<-ﻩ
④cos α≥ 15． 化简
16. 已知关于x
的方程221)0x x m -+=的两根为sin x θ=或cos ,(0,2)x θθπ=∈,求sin cos 11tan 1tan θθθθ
+--的值．。