第十六章分式知识点和典型例习题 【知识网络】第一讲 分式的运算【知识要点】1.分式的概念以及基本性质;2.与分式运算有关的运算法则3.分式的化简求值(通分与约分) ４.幂的运算法则【主要公式】１.同分母加减法则:()0b c b ca a a a±±=≠2.异分母加减法则:()0,0b d bc da bc daa c a c ac ac ac±±=±=≠≠;3．分式的乘法与除法：b d bd a c ac •=,b c b d bda d a c ac÷=•=４.同底数幂的加减运算法则:实际是合并同类项 5.同底数幂的乘法与除法；am●a n =a m+ｎ; ａm ÷ a n =ａm －n6.积的乘方与幂的乘方:(ab)m= ａmb ｎ, （a m)ｎ= aｍn7.负指数幂: a-p=1pa a 0=18.乘法公式与因式分解：平方差与完全平方式(ａ+b ）(a-b ）= a2- b ２ ;(ａ±b ）2= a ２±2a ｂ+ｂ2（一)、分式定义及有关题型题型一:考查分式的定义【例1】下列代数式中：y x yx y x y x ba b a y x x -++-+--1,,,21,22π，是分式的有： ．题型二:考查分式有意义的条件【例2】当x 有何值时，下列分式有意义(1)44+-x x ﻩ(2)232+x x(3）122-x （4）3||6--x x（5）xx 11-题型三：考查分式的值为0的条件【例３】当x 取何值时，下列分式的值为0. （1)31+-x x(2)42||2--x x ﻩ（3)653222----x x x x题型四:考查分式的值为正、负的条件【例4】（1)当x 为何值时，分式x-84为正； （２)当x 为何值时,分式2)1(35-+-x x 为负；(３）当x 为何值时,分式32+-x x 为非负数. 练习:1．当x 取何值时,下列分式有意义：（1)3||61-x(2）1)1(32++-x x ﻩﻩ（3)x111+2．当x 为何值时，下列分式的值为零：(1）4|1|5+--x x(2)562522+--x x x3．解下列不等式 (１）012||≤+-x x （2)03252>+++x x x(二）分式的基本性质及有关题型1．分式的基本性质:MB M A M B M A B A ÷÷=⨯⨯= 2．分式的变号法则：bab a b a b a =--=+--=-- 题型一:化分数系数、小数系数为整数系数【例1】不改变分式的值,把分子、分母的系数化为整数．(1)y x yx 41313221+- (2)ba ba +-04.003.02.0题型二:分数的系数变号【例２】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号.（1）y x yx --+-ﻩ (2）b a a --- ﻩ（３)b a ---题型三:化简求值题【例3】已知：511=+y x ,求yxy x yxy x +++-2232的值． 提示:整体代入,①xy y x 3=+，②转化出yx 11+．【例4】已知：21=-x x ,求221xx +的值. 【例5】若0)32(|1|2=-++-x y x ,求yx 241-的值.练习:１.不改变分式的值,把下列分式的分子、分母的系数化为整数.(１）yx y x 5.008.02.003.0+-ﻩ (2）b a ba 10141534.0-+ 2．已知：31=+x x ，求1242++x x x 的值. 3．已知：311=-ba ,求a ab b b ab a ---+232的值．4．若0106222=+-++b b a a ,求ba ba 532+-的值.５.如果21<<x ,试化简x x --2|2|xx x x |||1|1+---．(三)分式的运算1.确定最简公分母的方法:①最简公分母的系数,取各分母系数的最小公倍数；②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂.２．确定最大公因式的方法:①最大公因式的系数取分子、分母系数的最大公约数;②取分子、分母相同的字母因式的最低次幂. 题型一：通分【例1】将下列各式分别通分. （１)cb ac a b ab c 225,3,2--; （2)a b b b a a 22,--; (3)22,21,1222--+--x x x x xx x ; （4)aa -+21,2 题型二:约分【例2】约分: (1）322016xy y x -;（3)n m m n --22;（3）6222---+x x x x .题型三:分式的混合运算【例３】计算：（1）42232)()()(abc ab c c b a ÷-⋅-;ﻩ ﻩ（２）22233)()()3(xy x y y x y x a +-÷-⋅+; (3)mn m n m n m n n m ---+-+22；ﻩﻩ(４）112---a a a ;（5)874321814121111x x x x x x x x +-+-+-+--； （６))5)(3(1)3)(1(1)1)(1(1+++++++-x x x x x x ; (7))12()21444(222+-⋅--+--x xx x x x x题型四：化简求值题【例4】先化简后求值（１)已知：1-=x ，求分子)]121()144[(48122x x x x -÷-+--的值；(2）已知:432z y x ==,求22232zy x xzyz xy ++-+的值; （3）已知:0132=+-a a ，试求)1)(1(22a a aa --的值. 题型五：求待定字母的值【例5】若111312-++=--x Nx M x x ，试求N M ,的值. 练习：1．计算（1）)1(232)1(21)1(252+-++--++a a a a a a ;ﻩﻩﻩ（2）ab abb b a a ----222； (3)b a c c b a c b c b a c b a c b a ---++-+---++-232;ﻩ （4）ba b b a ++-22;(5）)4)(4(b a ab b a b a ab b a +-+-+-；ﻩ （6)2121111x x x ++++-； （7))2)(1(1)3)(1(2)3)(2(1--+-----x x x x x x . 2.先化简后求值（1)1112421222-÷+--⋅+-a a a a a a ,其中a 满足02=-a a ．(2)已知3:2:=y x ,求2322])()[()(yxx y x y x xy y x ÷-⋅+÷-的值. 3.已知：121)12)(1(45---=---x Bx A x x x ，试求A 、B 的值. 4.当a 为何整数时，代数式2805399++a a 的值是整数,并求出这个整数值．（四)整数指数幂与科学记数法题型一：运用整数指数幂计算【例1】计算：（1)3132)()(---⋅bc a ﻩ ﻩ（2)2322123)5()3(z xy z y x ---⋅（3)24253])()()()([b a b a b a b a +--+--ﻩ（4）6223)(])()[(--+⋅-⋅+y x y x y x题型二：化简求值题【例2】已知51=+-x x ，求(1）22-+x x 的值;（２）求44-+x x 的值． 题型三:科学记数法的计算【例3】计算:(1）223)102.8()103(--⨯⨯⨯；(2)3223)102()104(--⨯÷⨯. 练习：1．计算:（1）20082007024)25.0()31(|31|)51()5131(⋅-+-+-÷⋅-- (２)322231)()3(-----⋅n m n m（３)23232222)()3()()2(--⋅⋅ab b a b a ab（4）21222)]()(2[])()(4[----++-y x y x y x y x2．已知0152=+-x x ,求(1）1-+x x ,（２）22-+x x 的值.第二讲 分式方程【知识要点】1.分式方程的概念以及解法;2.分式方程产生增根的原因3.分式方程的应用题【主要方法】1.分式方程主要是看分母是否有外未知数；2.解分式方程的关健是化分式方程为整式方程;方程两边同乘以最简公分母．3.解分式方程的应用题关健是准确地找出等量关系,恰当地设末知数.（一）分式方程题型分析题型一:用常规方法解分式方程【例1】解下列分式方程 (1）x x 311=-；(2)0132=--x x ;(３)114112=---+x x x ；(4）x x x x -+=++4535 提示易出错的几个问题:①分子不添括号;②漏乘整数项；③约去相同因式至使漏根;④忘记验根.题型二：特殊方法解分式方程【例２】解下列方程 (1）4441=+++x x x x ； （2)569108967+++++=+++++x x x x x x x x 提示:(1)换元法,设y x x =+1;(2）裂项法，61167++=++x x x . 【例3】解下列方程组 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+)3(4111)2(3111)1(2111x z z y y x 题型三:求待定字母的值【例４】若关于x 的分式方程3132--=-x mx 有增根，求m 的值. 【例5】若分式方程122-=-+x ax 的解是正数，求a 的取值范围． 提示:032>-=ax 且2≠x ,2<∴a 且4-≠a . 题型四：解含有字母系数的方程【例６】解关于x 的方程)0(≠+=--d c dcx b a x 提示:（1）d c b a ,,,是已知数；（２）0≠+d c . 题型五:列分式方程解应用题练习： 1．解下列方程: (1)021211=-++-xxx x ;ﻩ （2）3423-=--x x x ; (3)22322=--+x x x ; ﻩ（4）171372222--+=--+x x xx xx（5）2123524245--+=--x x x x ﻩ(6)41215111+++=+++x x x x （7）6811792--+-+=--+-x x x x x x x x 2.解关于x 的方程: （1)bx a 211+=)2(a b ≠；（2）)(11b a x b b x a a ≠+=+.３.如果解关于x 的方程222-=+-x x x k 会产生增根，求k 的值. 4．当k 为何值时,关于x 的方程1)2)(1(23++-=++x x kx x 的解为非负数. ５．已知关于x 的分式方程a x a =++112无解,试求a 的值． (二)分式方程的特殊解法解分式方程，主要是把分式方程转化为整式方程,通常的方法是去分母，并且要检验，但对一些特殊的分式方程,可根据其特征，采取灵活的方法求解，现举例如下：一、交叉相乘法例1．解方程:231+=x x 二、化归法例2．解方程：012112=---x x 三、左边通分法例3：解方程：87178=----xx x 四、分子对等法例4．解方程:)(11b a xb b x a a ≠+=+五、观察比较法例5．解方程:417425254=-+-x x x x六、分离常数法例6．解方程:87329821+++++=+++++x x x x x x x x 七、分组通分法例７．解方程:41315121+++=+++x x x x（三）分式方程求待定字母值的方法例1.若分式方程xmx x -=--221无解,求m 的值。