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(完整版)人教版八年级数学分式知识点和典型例题.doc

第十六章分式知识点和典型例习题【知识网络】【思想方法】1.转化思想转化是一种重要的数学思想方法,应用非常广泛, 运用转化思想能把复杂的问题转化为简单问题, 把生疏的问题转化为熟悉问题, 本章很多地方都体现了转化思想, 如,分式除法、分式乘法; 分式加减运算的基本思想:异分母的分式加减法、同分母的分式加减法;解分式方程的基本思想:把分式方程转化为整式方程,从而得到分式方程的解等.2.建模思想本章常用的数学方法有:分解因式、通分、约分、去分母等,在运用数学知识解决实际问题时,首先要构建一个简单的数学模型,通过数学模型去解决实际问题,经历“实际问题——— 分式方程模型 ——— 求解 ——— 解释解的合理性 ”的数学化过程,体会分式方程的模型思想,对培养通过数学建模思想解决实际问题具有重要意义.3.类比法本章突出了类比的方法, 从分数的基本性质、 约分、通分及分数的运算法则类比引出了分式的基本性质、 约分、 通分及分式的运算法则, 从分数的一些运算技巧类比引出了分式的一些运算技巧, 无一不体现了类比思想的重要性, 分式方程解法及应用也可以类比一元一次方程.第一讲 分式的运算【知识要点】 1. 分式的概念以及基本性质;2. 与分式运算有关的运算法则3. 分式的化简求值 ( 通分与约分 )4. 幂的运算法则【主要公式】 1. 同分母加减法则 : b cb c a 0a a a2. 异分母加减法则 : bd bc da bc da a 0, c 0 ;a cac acac3. 分式的乘法与除法 :b ? dbd , b c b ? d bda cac a da c ac4. 同底数幂的加减运算法则 : 实际是合并同类项5. 同底数幂的乘法与除法 ma nm+nmnm -n; a ● =a ; a÷a =a6. 积的乘方与幂的乘方 :(ab) m = a m b n , (am )n=amn负指数幂 : a -p= 1p7. a =18. 乘法公式与因式分解: 平方差与完全平方式(a+b)(a-b)= a 2- b 2 ;(a ±b) 2= a 2±2ab+b2(一)、分式定义及有关题型题型一:考查分式的定义b , x2 y2 1【例 1】下列代数式中:x,1x y, a ,x y ,是分式的有:.2 a bxy x y题型二:考查分式有意义的条件【例 2】当x有何值时,下列分式有意义( 1)x4 (2)3x ( 3) 2 (4) 6 x ( 5) 1 x 4 x 2 2 x 2 1 | x | 3 x 1x题型三:考查分式的值为0 的条件【例 3】当x取何值时,下列分式的值为0.( 1)x 1(2) | x | 2 (3) x 2 2x 3 x 3 x2 4 x 2 5 x 6题型四:考查分式的值为正、负的条件【例 4】( 1)当x为何值时,分式4为正;8 x( 2)当x为何值时,分式5 x3 (x 1)2为负;( 3)当x为何值时,分式x 2为非负数 .x 3 练习:1.当x取何值时,下列分式有意义:( 1)1(2)3 x( 3)16 | x | 3 ( x 1)2 1 11x2.当x为何值时,下列分式的值为零:(1) 5 | x 1 |(2)25 x2x 4 x2 6x 53.解下列不等式( 1)| x | 2 0 (2)x 5 0x 1 x2 2 x 3(二)分式的基本性质及有关题型1.分式的基本性质:A A M A MB B M B M2.分式的变号法则:a a a ab b bb题型一:化分数系数、小数系数为整数系数【例 1】不改变分式的值,把分子、分母的系数化为整数.1 x2( 1)2 y(2) 0.2a0.03b31x10.04a b3 y4题型二:分数的系数变号【例 2】不改变分式的值,把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号.( 1)x y( 2)a( 3)ax ya bb题型三:化简求值题【例 3】已知:11 5 ,求 2x3xy 2 y的值 .xyx 2 xy y提示:整体代入,① x y3xy ,②转化出11 .x y【例 4】已知: x1 2 ,求 x 2 1的值 .xx 2【例 5】若 | x y1 | (2 x 3)20 ,求 1 的值 .4 x 2 y练习:1.不改变分式的值,把下列分式的分子、分母的系数化为整数 .( 1) 0.03x 0.2 y0.4a 3 b(2) 150.08x0.5 y1ab410 2.已知: x1 3 ,求x 2的值 .x4x 2x13.已知:11 3,求2a3ab2b的值 .a bb ab a4.若 a22a b26b 10 0 ,求 2a b的值 .3a 5b5.如果 1 x2 ,试化简| x2 | x 1 | x | .2 x | x 1 | x(三)分式的运算1.确定最简公分母的方法:①最简公分母的系数,取各分母系数的最小公倍数; ①最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂 .2.确定最大公因式的方法:①最大公因式的系数取分子、分母系数的最大公约数;①取分子、分母相同的字母因式的最低次幂.题型一:通分【例 1】将下列各式分别通分 .( 1)c b a;( 2)a,b;2ab , 3a 2 c , 5b 2ca b 2b 2a( 3)1x2;( 4) a 1x2x,1 2x x2 ,x 2x 22,2 a题型二:约分【例 2】约分:( 1) 16 x 2y ;( 3) n2m 2 ;(3) x2x 2 .20xy 3m nx 2x6题型三:分式的混合运算【例 3】计算:( 1) ( a2b)3( c 2 ) 2(bc)4;( 2) ( 3a 3) 3 (x2y 2) (y x) 2 ;c abax y y x( 3)m 2nn 2m ; ( 4) a21 a 1 ;n mm nn ma( 5) 112 x4 x 3 8 x 71 x 1 x1 x 21 x 41 x 8;( 6)111;(x 1)( x 1) ( x 1)( x 3) ( x 3)( x5)( 7) (x 24 4 x 1 ) (x 22x )x 24x2x 1题型四:化简求值题【例 4】先化简后求值( 1)已知: x1 ,求分子 1x 2 84[( x241) (1 1)] 的值;4x 2 x( 2)已知:xyz ,求 xy 2yz3xz 的值;2 34x 2 y 2z 2( 3)已知:231 0211a,试求 (aa2)( aa ) 的值 .a题型五:求待定字母的值【例 5】若13x MN ,试求 M , N 的值 .x 2 1x 1 x 1练习:1.计算( 1)2a 5a 1 2a 3 ; ( 2) a 2b 2 2ab ;2( a 1)2(a 1)2(a 1)a b b a( 3) a b c a 2b 3c b 2c; ( 4) a b2b 2 ;a b cb c a c a b a b( 5) (a 4ab4ab ) ;( 6) 112 ;b)(a b a b1 x 2a b1 x 1 x ( 7)121.(x 2)( x 3) (x 1)( x 3)(x 1)( x2)2.先化简后求值( 1)a1a 24 11 ,其中 a 满足 a 2a 0 .a2 a 2 2a 1 a 2( 2)已知 x : y2 :3 ,求 ( x 2 y 2 ) [( x y) ( xy )3 ]x 的值 .xyxy 23.已知:5x 4 AB ,试求 A 、 B 的值 .(x 1)( 2x 1)x12x14.当 a 为何整数时,代数式399a805的值是整数,并求出这个整数值.a 2(四)、整数指数幂与科学记数法题型一:运用整数指数幂计算【例 1】计算:(1) (a2) 3 (bc 1 ) 3 ( 2) (3x 3 y 2 z 1 ) 2 (5xy 2 z 3 ) 2( 3) [(a b) 3( a b)5 ] 2 ( 4) [( x y)3 ( x y) 2 ] 2 (xy) 6(a b) 2 ( a b)4题型二:化简求值题【例 2】已知 x x 15 ,求( 1) x 2x 2 的值;( 2)求 x 4 x 4 的值 .题型三:科学记数法的计算【例 3】计算:(1) (3 10 3 ) (8.2 10 2 )2 ;( 2) (4 10 3 ) 2 (2 10 2 ) 3 .练习 :1.计算:( 1) ( 1 1 ) ( 1 ) 2| 1| (1 3)0 ( 0.25) 2007 4 20083 5 5 3( 2) (3 1 m 3 n 2 ) 2 ( m 2 n) 32222( 3) (2ab )(a b)(3a 3b 2 ) (ab 3 ) 2( 4) [4(xy) 2 ( x y) 2 ] 2 [2(xy)1(x y)] 22.已知 x 25x1 0 ,求( 1) x x 1 ,( 2) x2 x 2的值 .第二讲分式方程【知识要点】 1. 分式方程的概念以及解法;2. 分式方程产生增根的原因3. 分式方程的应用题【主要方法】 1. 分式方程主要是看分母是否有外未知数;2.解分式方程的关健是化分式方程为整式方程; 方程两边同乘以最简公分母 .3.解分式方程的应用题关健是准确地找出等量关系, 恰当地设末知数 .(一)分式方程题型分析题型一:用常规方法解分式方程【例 1】解下列分式方程( 1)13;(2)21 0 ;( 3) x1 x 241 ;(4)5x x 5x 1 xx 3 xx 1 1x 3 4x提示易出错的几个问题: ①分子不添括号;②漏乘整数项;③约去相同因式至使漏根; ④忘记验根 .题型二:特殊方法解分式方程【例 2】解下列方程( 1) x4 x 44 ;( 2)x 7x 9x 10x 6x 1 xx 6 x 8x 9 x 5提示:( 1)换元法,设x y ;( 2)裂项法,x7 1 1 .x 1x 6 x 6【例 3】解下列方程组1 1 1 (1)x y 21 1 1 (2)y z 31 1 1 (3)zx4题型三:求待定字母的值【例 4】若关于 x 的分式方程x 2 1m有增根,求 m 的值 .3 x 3【例 5】若分式方程2 x a 1的解是正数,求 a 的取值范围 .x2提示: x2a0 且 x 2 , a 2 且 a 4 .3题型四:解含有字母系数的方程【例 6】解关于 x 的方程x a c b xd(c d 0)提示:( 1) a, b,c, d 是已知数;( 2) c d0 .题型五:列分式方程解应用题练习:1.解下列方程:( 1)x 12x0 ; (2) x24 ;x 11 2xx 3 x 3( 3)2x32 ;(4) 731 7 x2x 2 x 2x 2x x x 2x 21( 5) 5x 4 2x 5 1(6) 1 1 112x 4 3x 2 2x 1 x 5 x 2 x 4 ( 7)x x 9 x 1 x 8x 2 x 7x 1 x 62.解关于 x 的方程:( 1)11 2 (b 2a) ;( 2) 1 a 1 b(a b) .a x ba xb x 3.如果解关于 x 的方程 k 2x 会产生增根,求 k 的值 . x2x 24.当 k 为何值时,关于 x 的方程x3 (x k2) 1 的解为非负数 .x 2 1)( x5.已知关于 x 的分式方程2a1 a 无解,试求 a 的值 .x 1(二)分式方程的特殊解法解分式方程,主要是把分式方程转化为整式方程,通常的方法是去分母,并且要检验,但对一些特殊的分式方程,可根据其特征,采取灵活的方法求解,现举例如下:一、交叉相乘法例 1.解方程:1x 3 x2二、化归法例 2.解方程:1 2 01 x2 x1三、左边通分法例 3:解方程:x8 1 8 x7 7 x四、分子对等法例 4.解方程:1a 1b (a b)a xbx五、观察比较法例 5.解方程:4 x 5x 2175x 2 4x4六、分离常数法例 6.解方程:x 1 x 8 x 2 x 7 x 2x9 x3 x 8七、分组通分法例 7.解方程:1 111 x 2x 5x3 x4(三)分式方程求待定字母值的方法例 1.若分式方程 x1 2 m 无解,求 m 的值。

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