导数及其应用高考题精选1.（2010·海南高考·理科T3）曲线y x 在点1,1处的切线方程为（）x 2（A）y2x1（B）y2x1（C）y2x 3（D）y2x2【命题立意】本题主要考查导数的几何意义，以及熟练运用导数的运算法则进行求解.【思路点拨】先求出导函数，解出斜率，然后根据点斜式求出切线方程.【规范解答】选A.因为y 22，所以，在点1,1处的切线斜率2)(x222，所以，切线方程为y12(x1)，即y2x1，故选A.ky x1(12)2.（2010·山东高考文科·Ｔ8）已知某生产厂家的年利润y（单位：万元）与年产量x（单位：万件）的函数关系式为y 1x381x 234，则使该生产厂3家获得最大年利润的年产量为（）(A)13万件(B)11 万件(C)9万件(D)7万件【命题立意】本题考查利用导数解决生活中的优化问题，考查了考生的分析问题解决问题能力和运算求解能力.【思路点拨】利用导数求函数的最值.【规范解答】选C，y' x2 81,令y0得x 9或x 9（舍去），当x 9时y' 0；当x9时y'0，故当x9时函数有极大值，也是最大值，故选C.3.（2010·山东高考理科·Ｔ7）由曲线y=x2,y=x3围成的封闭图形面积为（）（A）1(B)1(C)1(D)712 4 3 12【命题立意】本题考查定积分的基础知识，由定积分求曲线围成封闭图形的面积,考查了考生的想象能力、推理论证能力和运算求解能力.【思路点拨】先求出曲线y=x2,y=x3的交点坐标，再利用定积分求面积. 【规范解答】选A,由题意得:曲线y=x2,y=x3的交点坐标为(0,0) ，(1,1)，故所求封闭图形的面积为1（x2-x3)dx=11 10 1- 1= 故选A.3 4 1244.（2010·辽宁高考理科·Ｔ10）已知点P在曲线y=x上，为曲线在点e 1P处的切线的倾斜角，则的取值范围是（）(A)[0, )(B)[ , )( ,3](D)[3,)4 4 2 2 4 4【命题立意】本题考查了导数的几何意义，考查了基本等式，函数的值域，直线的倾斜角与斜率。
【思路点拨】先求导数的值域，即tan的范围，再根据正切函数的性质求的范围。
【规范解答】选 D.5.（2010·湖南高考理科·Ｔ4）41dx等于（）2xA、2ln2B、2ln2C、ln2D、ln2【命题立意】考查积分的概念和基本运算.【思路点拨】记住1的原函数.x14【规范解答】选D. dx=(lnx+c)|42=(ln4+c)-(ln2+c)=ln2.2x【方法技巧】关键是记住被积函数的原函数.6.（2010·江苏高考·Ｔ8）函数y=x2(x>0)的图像在点(a k,a k2)处的切线与x轴的交点的横坐标为a k+1,其中k N，若a1=16，则a1+a3+a5的值是________【命题立意】本题考查导数的几何意义、函数的切线方程以及数列的通项等内容。
【思路点拨】先由导数的几何意义求得函数y=x2(x>0)的图像在点(ak,ak2)处的切线的斜率，然后求得切线方程，再由y0，即可求得切线与x轴交点的横坐标。
【规范解答】由y=x2(x>0)得，y 2x，所以函数y=x2(x>0)在点(ak,ak2) 处的切线方程为：yak22a k(xa k),当y0时，解得xa k ，ak,a1a32所以a k1 a5164121.2【答案】217.（2010·江苏高考·Ｔ１4）将边长为1m正三角形薄片沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S (梯形的周长）2,则S的最小值是梯形的面积________。
【命题立意】本题考查函数中的建模在实际问题中的应用，以及等价转化思想。
【思路点拨】可设剪成的小正三角形的边长为x，然后用x分别表示梯形的周长和面积，从而将S用x表示，利用函数的观点解决.【规范解答】设剪成的小正三角形的边长为x ，(3 x)2 4 (3 x)2则：S 1(x1) 3(1x)3 1 x2 (0x1)2 2方法一：利用导数的方法求最小值。
S(x) 4 (3 x)24(2x 6) (1x2) (3x)2 (2x) 3 1 x2，S(x)2)23 (1xS(x) 0,0 x 1,x1，3当x (0,1]时，S(x)0,递减；当x [1,1)时，S(x)0,递增；3 3故当x 1时，S的最小值是323。
3 3方法二：利用函数的方法求最小值令3x t,t (2,3), 1 ( 1 , 1)，则：S4 t2 4 13 t2 6t8386t 3 2 t2 1t故当13 ,x1时，S的最小值是323。
t 8 3 3【答案】3233【方法技巧】函数的最值是函数最重要的性质之一，高考不但在填空题中考查，还会在应用题、函数导数的的综合解答题中考察。
高中阶段，常见的求函数的最值的常用方法有：换元法、有界性法、数形结合法、导数法和基本不等式法。
8.（2010·陕西高考理科·Ｔ１3）从如图所示的长方形区域内任取一个点M （x,y）,则点M取自阴影部分的概率为；【命题立意】本题考查积分、几何概率的简单运算，属送分题。
【思路点拨】由积分求出阴影部分的面积即可13x2dx x3 11.所以点M取自阴影部分的【规范解答】阴影部分的面积为S阴影0概率为P S阴影1 1答案：S长方形31 3139．（2010·海南高考·理科T13）设y=f(x)为区间[0,1]上的连续函数，且恒有0≤f(x)≤1,可以用随机模拟方法近似计算积分1f(x)dx,先产生两组（每组N个）区间[0,1]上的均匀随机数x1,x2⋯,x N和y1,y2⋯,y N,由此得到N个点(x i,y i)（i=1,2,⋯,N）,在数出其中满足y1≤f(x1)（（i=1,2,⋯,N））的点数N1，本word 文档可编辑修改那么由随机模拟方法可得积分1 0f(x)dx 的近似值为.【命题立意】本题主要考查了定积分的几何意义以及几何概型的计算公式 .【思路点拨】由随机模拟想到几何概型，然后结合定积分的几何意义进行求 解.【规范解答】由题意可知，x,y所有取值构成的区域是一个边长为1的正方形，而满足y i ≤f(x i )的点(x i ,y i )落在y=f(x)、y0以及x1、x0围成的区域内，由几何概型的计算公式可知答案：N 1N1 0f(x)dx 的近似值为N 1.N10.（2010·北京高考理科·Ｔ１8）已知函数f (x )=In(1+x )-x +kx 2，(k ≥20)。
(Ⅰ)当k =2时，求曲线y=f (x)在点(1，f (1))处的切线方程； (Ⅱ)求f (x)的单调区间。
【命题立意】本题考查了导数的应用，考查利用导数求切线方程及单调区间。
解决本题时一个易错点是忽视定义域。
【思路点拨】（1）求出f'(1)，再代入点斜式方程即可得到切线方程；（2）由k讨论f'(x)的正负，从而确定单调区间。
【规范解答】（I ）当k 2时，f(x)ln(1x)xx 2，f'(x) 112x1x由于f(1)ln2，f'(1)3 ，2所以曲线yf(x)在点(1,f(1))处的切线方程为本word文档可编辑修改即3x2y2ln2 3 0（II ）f'(x) 1x 1 kx x(kxk1)，x(1,).1x. 1 x当k 0时，f'(x)1 x所以，在区间( 1,0)上，f'(x) 0；在区间(0, )上，f'(x)0.故f(x)的单调递增区间是(1,0)，单调递减区间是(0, ).当0 k1时，由kx(x1k )1 kf'(x)k 0，得x 10，x 2k1 x所以，在区间(1,0)和(1k , )上，f'(x)0；在区间(0,1k)上，f'(x)0kk故f(x)的单调递增区间是( 1,0)和(1k,)，单调递减区间是(0,1k).kk当k 1时，f'(x)x 21x故f(x)的单调递增区间是(1, ).当k 1时，kx(x 1k )，得x 11 k0.f'(x)k(1,0)，x 21 xk所以在区间(1,1 k)和(0,)上，f'(x)0；在区间(1k,0)上，f'(x)0kk故f(x)得单调递增区间是(1,1 k)和(0,)，单调递减区间是(1k,0)kk【方法技巧】 （1）yf(x)过(x 0,f(x 0))的切线方程为yf(x 0)f'(x 0)(xx 0)。
（2）求单调区间时要在定义域内讨论 f'(x)内的正负。
11.（2010·安徽高考文科·Ｔ20）设函数fx sinx cosxx 1，0 x 2 ，求函数f x的单调区间与极值。
【命题立意】本题主要考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性与极值的方法，考查考生运算能力、综合分析问题能力和问题的化归转化能力。
【思路点拨】对函数f(x)求导，分析导数f(x)的符号情况，从而确定f(x)的单调区间和极值。
【规范解答】+-+极大 极小值值【方法技巧】利用导数研究函数的单调性和极值是解决函数单调性、极值问 题的常用方法，简单易行，具体操作流程如下： （1）求导数f '(x)； （2）求方程f '(x)0的全部实根；（3）列表，检查 f '(x)在方程f '(x) 0的根左、右的值的符号；（4）判断单调区间和极值。
12.（2010·北京高考文科·Ｔ１8）设定函数a32， (a 0) ，3且方程f '(x)9x0的两个根分别为 1，4。
（Ⅰ）当a=3且曲线y f(x)过原点时，求f(x)的解析式；（Ⅱ）若f(x)在(,)无极值点，求a 的取值范围。
【命题立意】本题考查了导数的求法，函数的极值，二次函数等知识。
【思路点拨】(1)由f '(x)9x0 的两个根及y f(x)过原点，列出三个方程可解出b,c,d；（2）f'(x)是开口向上的二次函数，f(x)无极值点，则f'(x)恒成立。
【规范解答】由f(x)a x 3 bx 2cxd 得f(x)ax 22bxc3f(x)9xax 22bxc 9xa 2b c9 0因为 的两个根分别为1,4，所以16a8b c 360（*）（Ⅰ）当a 3时，（*）式为2b c 6 08b c 12 0解得b3,c 12又因为曲线yf(x)过原点，所以d 0故f(x)x3 3x212x（Ⅱ）由于a>0,所以“f(x) a x3 bx2 cxd在（-∞，+∞）内无极值点”等3价于“f(x) ax2 2bxc0在（-∞，+∞）内恒成立”。