专题 28 锐角三角函数
知识点一：锐角三角函数 1．三角函数定义 在 Rt△ABC 中，若∠C=90°
sin A A的对边 a
斜边
c
A的邻边
b
cos A
斜边
c
A的对边
a
tan A A的邻边 b
A的邻边
b
cot A A的对边 a
2.同角三角函数的关系
（1）平方关系： sin2 Acos2 A1
（1）三边之间的关系为 a2 b2 c2 （勾股定理）
（2）锐角之间的关系为∠A+∠B=90°
（3）30°角所对直角边等于斜边的一半。
（4）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
（5）边角之间的关系为：（三角函数定义）
2.其他有关公式
（1）
S
1 2
ab sin C
=
1 2
bc sin
A
=
1 2
ac sin
B
（2）Rt△面积公式：
S
1 2
ab
1 2
ch
（3）直角三角形外接圆的半径
R c 2
，内切圆半径
r abc 2
结论：直角三角形斜边上的高 h ab c
3.实际问题中术语的含义
(1)仰角与俯角
在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角。
(2)坡度：如图，我们通常把坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度（或坡比），用字母 i 表示，即 i h . l
见问题，这也是以后中考命题的趋势。 5.解决实际问题的关键在于建立数学模型，要善于把实际问题的数量关系转化为解直角三角形的问题．在 解直角三角形的过程中，常会遇到近似计算，应根据题目要求的精确度定答案．
【例题 1】（2020•南充）如图，点 A，B，C 在正方形网格的格点上，则 sin∠BAC＝（ ）
（2）商数关系：
tan A sin A cos A
cot A cos A sin A
（3）倒数关系：
tan Acot A1
3.互为余角的三角函数关系
sin(90A)cos A ， cos(90A)sin A
tan(90A)cot A ， cot(90A)tan A
或者：若∠A+∠B=90°，则 sinA=cosB，cosA=sinB，tanA=cotB，cotA=tanB 4. 特殊角的三角函数值
∴sin∠BAC
． t
【例题 2】如图，在菱形 ABCD 中，DE⊥AB， cos A 3 ，BE=2，则 tan∠DBE 的值是（ ） 5
1
A．
2
5
B．2
C．
2
5
D．
5
【答案】B
【解析】将∠A 和∠DBE 分别置身于 Rt△AED 和 Rt△EDB 中．
∵DE⊥AB，∴∠AED=∠DEB=
90°．在 Rt△AED 中，cosA=
一直角边 a，斜边 c
(2)由 sin A a 求出∠A； c
(3)∠B=90−∠A.
(1)∠B=90−∠A；
一直角边 a，锐角 A
(2) b a ； tan A
(3) c a . sin A(1)∠B=90−∠A；
斜边 c，锐角 A
(2)a=c·sin A；
(3)b=c·cos A.
二、解直角三角形需要注意的问题
1.正确理解锐三角函数的概念，能准确表达各三角函数，并能说出常用特殊角的三角函数值。 2.在完成锐角三角函数的填空、选择题时，要能根据题意画出相关图形，结合图形解题更具直观性。 3.能将实际问题转化为相关的直角三角形问题，即把实际问题抽象为几何问题，研究图形，利用数形结合 思想、方程思想等解决生活问题。 4.注重基础，不断创新，掌握解直角三角形的基本技能，能灵活应对在测量、航海、定位等现代生活中常
【例题 3】（2020•重庆）如图，垂直于水平面的 5G 信号塔 AB 建在垂直于水平面的悬崖边 B 点处，某测量 员从山脚 C 点出发沿水平方向前行 78 米到 D 点（点 A，B，C 在同一直线上），再沿斜坡 DE 方向前行 78 米到 E 点（点 A，B，C，D，E 在同一平面内），在点 E 处测得 5G 信号塔顶端 A 的仰角为 43°，悬崖 BC 的高为 144.5 米，斜坡 DE 的坡度（或坡比）i＝1：2.4，则信号塔 AB 的高度约为（ ）
（3）坡角：坡面与水平面的夹角； （4）坡度与坡角（用 表示）的关系：i=tan .坡角越大，坡度越大，坡面越陡。 （5）方位角：指南或指北的方向线与目标方向线所成的小于 90°角的为方位角．
每年中考的考查热点，主要要求能够正确地应用 sinA、cosA、tgA、cotA 表示直角三角形两边的比， 并且要熟记 0°、30°、45°、60°、90°角的各个三角函数值．理解直角三角形中的边、角之间的关系， 会用勾股定理及锐角三角函数解直角三角形，并会用相关的知识解决一些简单的实际问题，尤其是在计算 距离、高度和角度等方面． 一、解直角三角形问题的依据与类型 （1）解直角三角形的的定义：已知边和角(其中必有一条边)，求所有未知的边和角. （2）解直角三角形的依据：
AE
3
．设 AE=3k，则 AD=5k，由勾股定理，得
AD 5
DE=4k．∵四边形 ABCD 为菱形，∴AB=AD，即 3k+2=5k．解得 k=1，∴DE=4．在 Rt△EDB 中，tan∠DBE= DE =2．即 BE
选 B．
【点拨】在将锐角三角函数表示成“比”的形式时，常借助参数法，即把“比”的每一份用一个字母来表 示，从而建立方程，实现所求．
α 0° 30° 45° 60° 90°
sinα
0
1 2
Cosα 1
3 2
2
2
2
2
3
1
2
2
1
0
tanα 0
3 3
1
3
不存在
cotα 不存在
3
1
3 3 0
5.锐角三角函数的增减性(0°--90°) （1）锐角的正弦值（或正切值）随着角度的增大而增大，随着角度的减小而减小。 （2）锐角的余弦值（或余切值）随着角度的增大而减小，随着角度的减小而增大。 6.锐角三角函数的取值范围 0≤sinα≤1，0≤cosα≤1，tanα≥0，cotα≥0. 知识点二：解直角三角形 1.直角三角形中边角关系 在直角三角形 ABC 中，如果∠C=90°，∠A，∠B，∠C 所对的边分别为 a，b，c，那么
A．
B．
【答案】B
C． t
t D．
t
【分析】作 BD⊥AC 于 D，根据勾股定理求出 AB、AC，利用三角形的面积求出 BD，最后在直角△ABD 中根据三角函数的意义求解．
【解析】如图，作 BD⊥AC 于 D，
由勾股定理得，AB t
t，AC t t 3 ，
∵S△ABC AC•BD
3 •BD
1×3，
∴BD ，
角的关系：两个锐角互余； 边的关系：勾股定理；
边角关系：锐角三角函数； （3）解直角三角形的常见类型及一般解法
Rt△ABC 中的已知条件
一般解法
两边 一边一锐角
两直角边 a，b
(1) c a2 b2 ； (2)由 tan A a 求出∠A；
b (3)∠B=90−∠A.
(1) b c2 a2 ；