12Lnyt= (1+1 L) (1+1 L12) ut
● 这种模型也称作航线模型（air line model） ，首次被 Box 采用。 【例】(1-1.20L+0.66 L2) (1-0.33L4) 4 yt = (1-1.16L+ 0.97 L2) (1-0.95L4)vt
(14.4) (-8.8) (2.8) (55.9) (86.1) (-32.9)
季节时间序列SARIMA模型
1.9 季节时间序列模型 在某些时间序列中，存在明显的周期性变化。这种周期是由于季节性变化（包 括季度、月度、周度等变化）或其他一些固有因素引起的。这类序列称为季节性序 列。经济领域中，季节性时间序列更是常见。如季度时间序列、月度时间序列、周 度时间序列等。这里主要研究的是季度和月度时间序列。 中国季度 GDP 序列（yt，亿元人民币，1992:1~2009:1）见图。序列明显存在 以 4 个季度为周期的变化。在每年的第 4 季度，由于受接近年终的影响，GDP 额 比其他季度要增加很多。 描述这类序列的模型称作季节时间序列模型 (seasonal ARIMA model) ，用 SARIMA 表示。季节时间序列模型也称作乘积季节模型（ multiplicative seasonal model） 。因为模型的最终形式是用因子相乘的形式表示。 ● SARIMA 方法可以为任何周期的经济时间序列建模。
syt = (1-Ls)yt = yt - yt- s
● 对于非平稳季节性时间序列，进行有限次的季节差分和非季节差分，总可以转 换成一个平稳的序列。 ● 若原序列长度用 T 表示， 经过一次季节差分和一次非季节差分， 序列将丢失 s+1 个观测值，序列长度变为 T- s-1。
周期为 s 的季节时间序列模型的一般表达式如下： (1- 1L -…-pLp)(1-1Ls - …-PLPs )(dsDyt) = (1+1L+…+qLq)(1+ 1 Ls+…+Q LQs )ut 或
80,000
GDP
70,000 60,000 50,000 40,000 30,000 20,000 10,000 92 93 94 95 96 97 98 99 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09
1.9.1 季节时间序列模型定义 季节性序列的变化周期用 s 表示。对于月度序列，s=12；对于季度序列，s=4。 首先用季节差分（seasonal deference）的方法消除周期性变化。季节差分算子定义 为， s =1-Ls 若季节性时间序列用 yt 表示，则一次季节差分表示为
SARIMA 模型：
p(L)P(Ls) (dsDyt) = q(L)Q(Ls) ut
序列 (dsDyt)具有平稳性的条件是p(L)P(Ls) = 0 的根必须在单位圆以外。序列 (dsDyt) 具有可逆性的条件是q(L)Q(Ls) = 0 的根都必须在单位圆以外。 【例】对于 SARIMA (1, 1, 1) (1, 1, 1)12 模型 (1-1 L) (1-1 L12)12yt = (1+1 L)(1+1 L12) ut
这是一个 SARIMA (2, 1, 2) (1, 1, 1)4 模型。
● SARIMA 模型
p(L)P(Ls) (dsDyt) = q(L)Q(Ls) ut
熟悉 SARIMA 模型表达式的写法。 【例】对于 SARIMA (1, 1, 1) (1, 1, 1)12 模型，表达式是， (1-1 L)(1-1 L12)12yt = (1+1 L)(1+1 L12) ut 【例】对于 SARIMA (2, 1, 0) (1, 1, 1)4 模型，表达式是， (1-1 L-2 L2)(1-1 L4 )4 yt = (1+1 L4) ut ● 1、 2、 1 前的符号用负号表示； 1 前的符号用正号表示。 【例】SARIMA (0, 1, 1) (0, 1, 1)12 模型表达式为，
p(L)P(Ls) (dsDyt) = q(L)Q(Ls) ut
（注意： i 前的符号用负号表示） （注意： i 前的符号用负号表示） （注意： i 前的符号用正号表示）
其中 p(L) = (1- 1L - 2 L2 - …- p Lp)
P(Ls) = (1-1 Ls-2 L2s - …-PLPs ) q(L) = (1 + 1L + 2L2+ … +qLq)
12yt 具有平稳性的条件是(1-1 L)(1-1 L12) = 0 的根在单位圆外。 12yt 具有可逆性 的条件是(1& 的根在单位圆外。
● 在实际建模过程中，d, D, p, P, q, Q 的值都不会很大。 ● 在实际研究中，通常是先对经济序列取对数，以消除可能存在的异方差。非季 节和季节性差分次数 d 和 D 通常取 0 和 1 即可满足要求。
季节与季节移动平均算子或移动平均特征多项式。下标 p, P, q, Q,分别表示非季节， 季节，自回归，移动平均算子的最大滞后阶数。上述模型用 SARIMA (p, d, q) (P, D, Q)s 表示。对于季度序列，s=4；对于月度序列，s=12。 ● 因为p(L)和P(Ls)，q(L)和Q(Ls)分别是相乘关系，所以此季节时间序列模型 也称作乘积季节模型（模型两侧或单侧的特征多项式是相乘关系） 。
Q(Ls) = (1+1 Ls+2 L2s + …+ Q LQs ) （注意： i 前的符号用正号表示） ， s 分别表示非季节和 s 期季节性差分。 d, D 分别表示非季节和季节性差分次数， 用以保证把 yt 转换为一个平稳的时间序列。ut~IID(0,2) 是白噪声。p(L)和P(Ls) 分别称作非季节与季节自回归算子或自回归特征多项式。q(L)和Q(Ls)分别称作非