2ex2y
注意:此处 2 z 2 z , 但这一结论并不总成立. xy yx
4/30
例如,
f (x, y)
xy
x2 x2

y2 y2
,
0,
x2 y2 0 x2 y2 0
fx (x, y)
y
x4
4x2y2 (x2 y2)2
y4
,
0,
x2 y2 0 x2 y2 0
本定理对 n 元函数的高阶混合导数也成立. 例如, 对三元函数 u = f (x , y , z) , 当三阶混合偏导数 在点 (x , y , z) 连续时, 有
说明: 因为初等函数的偏导数仍为初等函数 , 而初等 函数在其定义区域内是连续的 , 故求初等函数的高阶导 数可以选择方便的求导顺序. (与求导次序无关. )
l
l
arccos 6
130
f l M
grad f M
26/30
备用题 1. 函数
处的梯度
2 (1, 2, 2) 9
在点
( 具有轮换对称性
2 (1, 2, 2) 9
27/30
2. 函数u ln(x y2 z2 )在点A( 1 , 0 , 1) 处沿点A
f y (x, y)
x
x4
4x2y2 (x2 y2)2
y4
,
0,
x2 y2 0 x2 y2 0
f xy (0,0)
lim
y 0
f x (0,
y) y
f x (0, 0)

lim y y0 y

1
二 者
f yx (0,0)

lim
x0
第2.2节 高阶偏导数、方向导数与梯度
一、高阶偏导数 二、方向导数 三、梯度
作业 习题5.2(A) 15, 16, 17, 18, 19, 21, 22, 25
一、高阶偏导数
设 z = f (x , y)在域 D 内存在连续的偏导数
z x

fx (x,
y) ,
z y

f y (x,
y)
若这两个偏导数仍存在偏导数，则称它们是z = f ( x , y )
( f x , f y ) P grad f P
同样, 对应函数 有等值面(等量面)
y
f c3
f c2
P f c1
当各偏导数不同时为零时, 其上
点P处的法向量为 grad f P .
o
x
(设c1 c2 c3)
16/30
函数在一点的梯度垂直于等值面(或等值线) 在该点的切线(或梯度与等值线在相应点的法线 平行),指向函数增大的方向.
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4. 几个概念之间的关系
• 可微
方向导数存在
偏导数存在
• f grad f l 0 梯度在方向 l 上的投影. l
5. 方向导数的几何意义(P26)
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思考与练习
1. 设函数 (1) 求函数在点 M ( 1, 1, 1 ) 处沿曲线
在该点切线方向的方向导数; (2) 求函数在 M( 1, 1, 1 ) 处的梯度与(1)中切线方向
15/30
对函数
z

f
(x,
y) ,曲线
z
f (x, zC
y) 在
xoy
面上的投
影L* : f (x, y) C 称为函数 f 的等值线(P5) .
（等值线实质就是曲面 z=f(x,y）与平面z=C
的交线在xoy坐标平面上的投影.）
设 f x , f y 不同时为零 , 则L*上点P 处的法向量为
y
z
9/30
对于二元函数 f (x, y), 在点P(x, y)处沿方向 l (方向角
为, ) 的方向导数为
f lim f (x x, y y) f (x, y)
l 0

y lP
l
fx (x, y) cos f y (x, y) cos
o
x
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1. 定义
向量 G 称为函数 f (P) 在点 P 处的梯度 (gradient), 记作grad f , 即
f (P)
f , x
f, y
f z

同样可定义二元函数
在点P(x, y) 处的梯度
说明: 函数的方向导数为梯度在该方向上的投影. 2. 梯度的几何意义
f y (x,
0) x
f y (0, 0)

lim
x0
x x
1
不 等
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例2. 证明函数
满足拉普拉斯
方程
u

2u x2


2u y2

2u z2

0
（偏微分方程）
证：
r2
2u x2

1 r3

3 r
x
4

r x


1 r3

3x2 r5
利用对称性
,
证明: 由函数 f (x, y, z) 在点 P 可微 , 得
P(x, y, z)
f f x f y f z o( )
x y z

o( )
故 f lim f f cos f cos f cos
l 0 x
的二阶偏导数 . 按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导
数:
(z) x x
2 x
z
2

f xx (x, y);
(z) y x
2z
yx
f x y (x,
y)
(z) x y
2z x y

f y x (x, y)
f21(x, y);
(z) y y
处所产生的电位为 u q ( r x2 y2 z2 ), 试证
4 r
gradu E
(场强
E

4π
q ε
r2
r
0
)
证: 利用例4的结果 grad f (r) f (r) r 0
grad u

q
4 r
r
0


4

q

r
2
r
0 E
这说明场强: 垂直于等位面, 且指向电位减少的方向.
第14周（5月27号）主B-304上数学实验理论课
第15周上机实验，地点:理科楼－226 1.核工程01,建环01,土木01 时间: （6月1号）星期三3-4节10:00-12:00 2.核工程02,03, 地环01 时间:(6月3号)星期五3-4节10:00-12:00;
14
14
14
而
u
x P z
6x 6x2 8y2

P
6 14
同理得
u 1 6 2 8 3 141 11
n P 14
7
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三、梯度
方向导数公式 f f cos f cos f cos
l x
y
z
令向量
g


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内容小结
1. 高阶偏导数
• 混合偏导数连续
与求导顺序无关
• 求高阶偏导数的方法
逐次求导法
(与求导顺序无关时, 应选择方便的求导顺序)
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2. 方向导数
• 三元函数
在点
为, , ) 的方向导数为
沿方向 l (方向角
f f cos f cos f cos
f x
,
f y
,
f z

l 0 (cos , cos , cos )
f

g
l 0

g

c
os
(g
,
l
0
)
l 0 1
g与l0l方向一致时，方向导数取最大值：
这说明 g
max(f ) g l
方向：f 的值增长最快的那个方向;
模 : f 的最大方向导数的值.
r
f (r) f (r) z
z
r

grad
f
(r)


f
(r)
i

f
(r)
j


f
(r)
k
z
x
y
z
P

f (r) 1 (x
i y
jz
k)
r
r
o
y
f (r) 1 r f (r) r0
x
r
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例7. 已知位于坐标原点的点电荷 q 在任意点
17
17
yP o 1 2 x
60 17
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例5. 设n 是曲面
在点 P(1, 1, 1 )处
指向外侧的法向量, 求函数
在点P 处沿
方向 n 的方向导数.
解: n (4x , 6 y , 2z) P 2(2 , 3 , 1)
方向余弦为 cos 2 , cos 3 , cos 1
指向 B( 3, －2 , 2) 方向的方向导数是
1 2
. (96考研)
提示:
则
{cos , cos , cos }
ln(x 1)
ln(1 y2 1)
1 2
28/30