2.1设有如下函数f ( t )，试分别画出它们的波形。

(a) f ( t ) = 2ε( t -1 ) - 2ε( t -2 ) (b) f ( t ) = sin πt [ε( t ) - ε( t -6 )]2-2 试用阶跃函数的组合表示题2-4图所示信号。

解(a) f ( t ) = ε( t ) - 2ε( t -1 ) + ε( t -2 ) (b) f ( t ) = ε( t ) + 2ε( t -T ) + 3ε( t -2T )2-5 设有题2-6图示信号f ( t )，对(a)写出f ' ( t )的表达式，对(b)写出f " ( t )的表达式，并分别画出它们的波形。

解 (a)20,21≤≤tf ' ( t ) = δ( t - 2 )， t = 2 -2δ( t - 4 )， t = 4 (b) f " ( t ) = 2δ( t ) - 2δ( t - 1 ) - 2δ( t - 3 ) + 2δ( t - 4 )()()()()2()()(3)(3)(3);()()sin ()()()22;()cos t a f t t f t b t t t t c e t t d t t t δδδδδδδδδ--=-+•==•=2.6.化简下列信号：2-7 试计算下列结果。

(1) t δ( t - 1 ) (2) ⎰∞--0d )()3πcos(t t t δω (3)⎰+---003d )(e t t t δ (4)⎰∞∞--t t t d )1(δ (5)∞-∞⎰t δ( t - 1 )dt (6)()()2213t t t dt δ-+-⎰(7) ()2td δττ-∞⎰解 (1) t δ( t - 1 ) = δ( t - 1 ) (2)21d )()3πcos(d )()3πcos(00=-=-⎰⎰∞∞--t t t t t δδω (3)1d )(d )(e d )(e 00003003===-⎰⎰⎰+-+-+---t t t t t t tt δδδ (4) 1d )1(d )1(=-=-⎰⎰∞∞-∞∞-t t t t t δδ(5)∞-∞⎰t δ( t - 1 )dt=∞-∞⎰δ( t - 1 )dt=1 (6)=0 (7)=2()t ε3-1 如图2-1所示系统，试以u C ( t )为输出列出其微分方程。

解 由图示，有tu C R u i d d C C L +=又⎰-=tt u u L i 0C S L d )(1故CC C S )(1u C Ru u u L ''+'=-从而得 )(1)(1)(1)(S C C C t u LC t u LC t u RC t u =+'+''3-3 设有二阶系统方程0)(4)(4)(=+'+''t y t y t y 在某起始状态下的0+起始值为2)0(,1)0(='=++y y 试求零输入响应。

解 由特征方程λ2 + 4λ + 4 =0得 λ1 = λ2 = -2则零输入响应形式为te t A A t y 221zi )()(-+=由于y zi ( 0+ ) = A 1 = 1 -2A 1 + A 2 = 2所以A 2 = 4故有0,)41()(2zi ≥+=-t et t y t3-4 如题2-7图一阶系统，对(a)求冲激响应i 和u L ，对(b)求冲激响应u C 和i C ，并画出它们的波形。

解 由图(a)有Ri t u t i L-=)(d d S 即)(1d d S t u Li L R t i =+当u S ( t ) = δ( t )，则冲激响应 )(e 1)()(t L t i t h t L R ε⋅==-则电压冲激响应)(e )(d d )()(L t L R t t i L t u t h tL R εδ⋅-===-对于图(b)RC 电路，有方程R u i t u CC S C d d -=即S C C 11i Cu RC u =+'当i S = δ( t )时，则)(e 1)()(C t Ct u t h RC t ε⋅==-同时，电流)(e 1)(d d C C t RC t t u C i RCtεδ⋅-==-3-5 设有一阶系统方程)()()(3)(t f t f t y t y +'=+'试求其冲激响应h ( t )和阶跃响应s ( t )。

解 因方程的特征根λ = -3，故有)(e)(31t t x tε⋅=-当h ( t ) = δ( t )时，则冲激响应)(e 2)()]()([)()(31t t t t t x t h t εδδδ⋅-=+'*=-阶跃响应)()e 21(31d )()(30t h t s t t εττ-+==⎰1012121122223.6,()()()()0(0),,(01),(2),(23),(2),(12),11(2),(34),0,(4)0,,12,1222tt t LTI f t y t h t f t t d t d d t d d t d t t t t t ττττττττττττ--=*=<≤≤+-≤≤+-≤≤-≤≤>=-+--+⎰⎰⎰⎰⎰⎰系统的冲激响应如图(a)若输入信号如图（b)所示三角波，求零状态响应？本题用图形扫描计算卷积即2211,84,022t t t t --+()()()()()''''22223.10()()3()2()5()7()()2235p 723(32)()(57)()H(p)p 321223()()()23,0()(21)()(12t t h t y t y t y t f t f t b y t y t y t f t f t p p y t p f t p p p h t t e e t b p p y t p p δ--''''++=+++=++++=+==+++++=+=+≥++=++算子法求下列系统的冲激响应。

(a)解：(a)系统的算子方程从而从而22223)()2p 31212H(p)()()2,0p 211111t tp f t h t t te e t p p p p p δ--++==+=+=+≥++++++，从而【】（）（）3-11 试求下列卷积。

(a) ε( t + 3 ) * ε( t - 5 ) (b) δ( t ) * 2 (c) t e -t ⋅ε( t ) * δ' ( t ) 解 (a) 按定义ε( t + 3 ) * ε( t - 5 ) =⎰∞∞---+ττετεd )5()3(t 考虑到τ < -3时，ε( τ + 3 ) = 0；τ > t -5时，ε( t -τ - 5 ) = 0，故ε( t + 3 ) * ε( t - 5 ) =2,2d 53>-=⎰--t t t τ(b) 由δ( t )的特点，故δ( t ) * 2 = 2 (c) t e -t ⋅ε( t ) * δ' ( t ) = [t e -t ε( t )]' = ( e -t - t e -t )ε( t ) 3-12 对图示信号，求f 1( t ) * f 2( t )。

解 (a)先借用阶跃信号表示f 1( t )和f 2( t )， 即f 1( t ) = 2ε( t ) - 2ε( t - 1 ) f 2( t ) = ε( t ) - ε( t - 2 ) 故f 1( t ) * f 2( t ) = [2ε( t ) - 2ε( t - 1 )] * [ε( t ) - ε( t - 2 )] 因为ε( t ) * ε( t ) =⎰td 1τ= t ε( t )故有f 1( t ) * f 2( t ) = 2t ε( t ) - 2( t - 1 )ε( t - 1 ) -2( t - 2 )ε( t - 2 ) + 2( t - 3 )ε( t - 3 )(b)根据δ ( t )的特点，则f 1( t ) * f 2( t ) = f 1( t ) *[δ ( t ) + δ ( t - 2 ) + δ ( t + 2 )]= f 1( t ) + f 1( t - 2 ) + f 1( t + 2 )3-13 试求下列卷积。

(a) )()()()e 1(2t t t tεδε*'*--(b) )](e [d d )(e3t tt ttδε--*解(a)因为)()()()(t t t t δεεδ='=*'，故 )()e 1()()()e 1()()()()e 1(222t t t t t t t t t εδεεδε----=*-=*'*-(b)因为)()(e t t tδδ=-，故333d e ()[e ()]e ()()()3e d t tt t t t t t t tεδεδδ----'*=*=- 3-14 设有二阶系统方程)(4)(2)(3)(t t y t y t y δ'=+'+''试求零状态响应 解 因系统的特征方程为λ2 + 3λ + 2 =0解得特征根λ1 = -1， λ2 = -2 故特征函数)()e e (e e)(2221t t x t t t tελλ--*=*=零状态响应)()e e ()(4)()(4)(22t t t x t t y t tεδδ--**'=*'== )()4e e 8(2t t t ε---3-15 如图系统，已知)()(),1()(21t t h t t h εδ=-=试求系统的冲激响应h ( t )。

解 由图关系，有1()()()()()()(1)()(1)x t f t f t h t t t t t t δδδδδ=-*=-*-=--所以冲激响应)1()()()]1()([)()()()(2--=*--=*==t t t t t t h t x t y t h εεεδδ 即该系统输出一个方波。

3-16 如图系统，已知R 1 = R 2 =1Ω，L = 1H ，C = 1F 。

试求冲激响应u C ( t )。

解 由KCL 和KVL ，可得电路方程为222CCC 1111111()()()()R C R R Cu u u t t R L L R L R R Lδδ''''++++=+ 代入数据得)()(22C C Ct t u u u δδ+'=+'+'' 特征根λ1,2 = -1 ± j1故冲激响应u C ( t )为)]()([*)e e()(11C t t t u t λtλδδ+'*=)(sin e )()sin (cos e t t t t t t t εε⋅+⋅-=--e cos ()V t t t ε-=⋅3-19 一线性时不变系统，在某起始状态下，已知当输入f ( t ) = ε( t )时，全响应y 1( t ) = 3e -3t ⋅ε( t )；当输入f ( t ) = -ε( t )时，全响应y 2( t ) = e -3t ⋅ε( t )，试求该系统的冲激响应h ( t )。