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人教版勾股定理单元达标检测试题

人教版勾股定理单元达标检测试题一、解答题1.如图,点A是射线OE:y=x(x≥0)上的一个动点,过点A作x轴的垂线,垂足为B,过点B作OA的平行线交∠AOB的平分线于点C.(1)若OA=52,求点B的坐标;(2)如图2,过点C作CG⊥AB于点G,CH⊥OE于点H,求证:CG=CH.(3)①若点A的坐标为(2,2),射线OC与AB交于点D,在射线BC上是否存在一点P 使得△ACP与△BDC全等,若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.②在(3)①的条件下,在平面内另有三点P1(2,2),P2(2,22),P3(2+2,2﹣2),请你判断也满足△ACP与△BDC全等的点是.(写出你认为正确的点)2.菱形ABCD中,∠BAD=60°,BD是对角线,点E、F分别是边AB、AD上两个点,且满足AE=DF,连接BF与DE相交于点G.(1)如图1,求∠BGD的度数;(2)如图2,作CH⊥BG于H点,求证:2GH=GB+DG;(3)在满足(2)的条件下,且点H在菱形内部,若GB=6,CH=43,求菱形ABCD的面积.3.(已知:如图1,矩形OACB的顶点A,B的坐标分别是(6,0)、(0,10),点D是y轴上一点且坐标为(0,2),点P从点A出发以每秒1个单位长度的速度沿线段AC﹣CB 方向运动,到达点B时运动停止.(1)设点P运动时间为t,△BPD的面积为S,求S与t之间的函数关系式;(2)当点P运动到线段CB上时(如图2),将矩形OACB沿OP折叠,顶点B恰好落在边AC上点B′位置,求此时点P坐标;(3)在点P运动过程中,是否存在△BPD为等腰三角形的情况?若存在,求出点P坐标;4.如图1,在正方形ABCD中,点E,F分别是AC,BC上的点,且满足DE⊥EF,垂足为点E,连接DF.(1)求∠EDF= (填度数);(2)延长DE交AB于点G,连接FG,如图2,猜想AG,GF,FC三者的数量关系,并给出证明;(3)①若AB=6,G是AB的中点,求△BFG的面积;②设AG=a,CF=b,△BFG的面积记为S,试确定S与a,b的关系,并说明理由.5.已知:四边形ABCD是菱形,AB=4,∠ABC=60°,有一足够大的含60°角的直角三角尺的60°角的顶点与菱形ABCD的顶点A重合,两边分别射线CB、DC相交于点E、F,且∠EAP=60°.(1)如图1,当点E是线段CB的中点时,请直接判断△AEF的形状是.(2)如图2,当点E是线段CB上任意一点时(点E不与B、C重合),求证:BE=CF;(3)如图3,当点E在线段CB的延长线上,且∠EAB=15°时,求点F到BC的距离.6.已知n组正整数:第一组:3,4,5;第二组:8,6,10;第三组:15,8,17;第四组:24,10,26;第五组:35,12,37;第六组:48,14,50;…(1)是否存在一组数,既符合上述规律,且其中一个数为71?若存在,请写出这组数;(2)以任意一个大于2的偶数为一条直角边的长,是否一定可以画出一个直角三角形,使得该直角三角形的另两条边的长都是正整数?若可以,请说明理由;若不可以,请举出反例.7.如图,在平面直角坐标系中,点O 是坐标原点,ABC ∆,ADE ∆,AFO ∆均为等边三角形,A 在y 轴正半轴上,点0()6,B -,点(6,0)C ,点D 在ABC ∆内部,点E 在ABC ∆的外部,32=AD ,30DOE ∠=︒,OF 与AB 交于点G ,连接DF ,DG ,DO ,OE .(1)求点A 的坐标;(2)判断DF 与OE 的数量关系,并说明理由; (3)直接写出ADG ∆的周长.8.在ABC ∆中,90ACB ∠=︒,6AC BC ==,点D 是AC 的中点,点E 是射线DC 上一点,DF DE ⊥于点D ,且DE DF =,连接CF ,作FH CF ⊥于点F ,交直线AB 于点H .(1)如图(1),当点E 在线段DC 上时,判断CF 和FH 的数量关系,并加以证明; (2)如图(2),当点E 在线段DC 的延长线上时,问题(1)中的结论是否依然成立?如果成立,请求出当ABC △和CFH △面积相等时,点E 与点C 之间的距离;如果不成立,请说明理由.9.(发现)小慧和小雯用一个平面去截正方体,得到一个三角形截面(截出的面),发现截面一定是锐角三角形.为什么呢?她们带着这个疑问请教许老师.(体验)(1)从特殊入手 许老师用1个铆钉把长度分别为4和3的两根窄木棒的一端连在一起(如图,),保持不动,让从重合位置开始绕点转动,在转动的过程,观测的大小和的形状,并列出下表:的大小的形状…直角三角形…直角三角形…请仔细体会其中的道理,并填空:_____,_____;(2)猜想一般结论在中,设,,(),①若为直角三角形,则满足;②若为锐角三角形,则满足____________;③若为钝角三角形,则满足_____________.(探索)在许老师的启发下,小慧用小刀在一个长方体橡皮上切出一个三角形截面(如图1),设,,,请帮助小慧说明为锐角三角形的道理.(应用)在小慧的基础上,小雯又切掉一块“角”,得到一个新的三角形截面(如图2),那么的形状是( )A .一定是锐角三角形B .可能是锐角三角形或直角三角形,但不可能是钝角三角形C .可能是锐角三角形或直角三角形或钝角三角形10.定义:在△ABC 中,若BC =a ,AC =b ,AB =c ,若a ,b ,c 满足ac +a 2=b 2,则称这个三角形为“类勾股三角形”,请根据以上定义解决下列问题:(1)命题“直角三角形都是类勾股三角形”是 命题(填“真”或“假”);(2)如图1,若等腰三角形ABC 是“类勾股三角形”,其中AB =BC ,AC >AB ,请求∠A 的度数;(3)如图2,在△ABC 中,∠B =2∠A ,且∠C >∠A .①当∠A =32°时,你能把这个三角形分成两个等腰三角形吗?若能,请在图2中画出分割线,并标注被分割后的两个等腰三角形的顶角的度数;若不能,请说明理由; ②请证明△ABC 为“类勾股三角形”.11.如图,,90,8,6,,ABC B AB cm BC cm P Q ︒∆∠===是边上的两点,点P 从点A 开始沿A B →方向运动,且速度为每秒1cm ,点Q 从点B 沿B C A →→运动,且速度为每秒2cm ,它们同时出发,设出发的时间为t 秒. (1)出发2秒后,求线段PQ 的长;(2)求点Q 在BC 上运动时,出发几秒后,PQB 是等腰三角形; (3)点Q 在边CA 上运动时,求能使BCQ ∆成为等腰三角形的运动时间.12.如图,在四边形ABCD 中,=AB AD ,=BC DC ,=60A ∠︒,点E 为AD 边上一点,连接CE ,BD . CE 与BD 交于点F ,且CE ∥AB .(1)求证:CED ADB ∠=∠; (2)若=8AB ,=6CE . 求BC 的长 .13.(1)如图1,在Rt ABC ∆中,90ACB ∠=︒,60A ∠=︒,CD 平分ACB ∠. 求证:CA AD BC +=.小明为解决上面的问题作了如下思考:作ADC ∆关于直线CD 的对称图形A DC '∆,∵CD 平分ACB ∠,∴A '点落在CB 上,且CA CA '=,A D AD '=.因此,要证的问题转化为只要证出A D A B ''=即可. 请根据小明的思考,写出该问题完整的证明过程.(2)参照(1)中小明的思考方法,解答下列问题:如图3,在四边形ABCD 中,AC 平分BAD ∠,10BC CD ==,17AC =,9AD =,求AB 的长.14.如图,在ABC ∆中,90ACB ∠=︒,2BC AC =.(1)如图1,点D 在边BC 上,1CD =,5AD =,求ABD ∆的面积.(2)如图2,点F 在边AC 上,过点B 作BE BC ⊥,BE BC =,连结EF 交BC 于点M ,过点C 作CG EF ⊥,垂足为G ,连结BG .求证:2EG BG CG =+.15.如图,△ABC 中AC =BC ,点D ,E 在AB 边上,连接CD ,CE .(1)如图1,如果∠ACB =90°,把线段CD 逆时针旋转90°,得到线段CF ,连接BF , ①求证:△ACD ≌△BCF ;②若∠DCE =45°, 求证:DE 2=AD 2+BE 2;(2)如图2,如果∠ACB =60°,∠DCE =30°,用等式表示AD ,DE ,BE 三条线段的数量关系,说明理由.16.如图,△ABC 中,∠ACB =90°,AB =5cm ,BC =3cm ,若点P 从点A 出发,以每秒2cm 的速度沿折线A ﹣C ﹣B ﹣A 运动,设运动时间为t 秒(t >0). (1)若点P 在AC 上,且满足PA =PB 时,求出此时t 的值; (2)若点P 恰好在∠BAC 的角平分线上,求t 的值;(3)在运动过程中,直接写出当t 为何值时,△BCP 为等腰三角形.17.如图,在ABC 中,90BAC ∠=︒,AB AC =,点D 是BC 上一动点、连接AD ,过点A 作AE AD ⊥,并且始终保持AE AD =,连接CE , (1)求证:ABD ACE ≅; (2)若AF 平分DAE ∠交BC 于F ,①探究线段BD ,DF ,FC 之间的数量关系,并证明; ②若3BD =,4CF =,求AD 的长,18.如图1, △ABC 和△CDE 均为等腰三角形,AC=BC, CD=CE, AC>CD, ∠ACB=∠DCE=a ,且点A 、D 、E 在同一直线上,连结BE.(1)求证: AD=BE.(2)如图2,若a=90°,CM ⊥AE 于E.若CM=7, BE=10, 试求AB 的长.(3)如图3,若a=120°, CM ⊥AE 于E, BN ⊥AE 于N, BN=a, CM=b,直接写出AE 的值(用a, b 的代数式表示).19.我们规定,三角形任意两边的“广益值”等于第三边上的中线和这边一半的平方差.如图1,在ABC ∆中,AO 是BC 边上的中线,AB 与AC 的“广益值”就等于22AO BO -的值,可记为22AB AC OA BO ∇=-(1)在ABC ∆中,若90ACB ∠=︒,81AB AC ∇=,求AC 的值.(2)如图2,在ABC ∆中,12AB AC ==,120BAC ∠=︒,求AB AC ∇,BA BC ∇的值.(3)如图3,在ABC ∆中,AO 是BC 边上的中线,24ABC S ∆=,8AC =,64AB AC ∇=-,求BC 和AB 的长.20.如图,ABC ∆是等边三角形,,D E 为AC 上两点,且AE CD =,延长BC 至点F ,使CF CD =,连接BD .(1)如图1,当,D E 两点重合时,求证:BD DF =; (2)延长BD 与EF 交于点G . ①如图2,求证:60BGE ∠=︒;②如图3,连接,BE CG ,若30,4EBD BG ∠=︒=,则BCG ∆的面积为______________.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、解答题1.(1)(5,0);(2)见解析;(3)①P (4,2),②满足△ACP 与△BDC 全等的点是P 1、P 2,P 3. 理由见解析 【分析】(1)由题意可以假设A (a ,a )(a >0),根据AB 2+OB 2=OA 2,构建方程即可解决问题; (2)由角平分线的性质定理证明CH=CF ,CG=CF 即可解决问题;(3)①如图3中,在BC 的延长线上取点P ,使得CP=DB ,连接AP .只要证明△ACP ≌△CDB (SAS ),△ABP 是等腰直角三角形即可解决问题; ②根据SAS 即可判断满足△ACP 与△BDC 全等的点是P 1、P 2,P 3; 【详解】解:(1)∵点A 在射线y =x (x ≥0)上,故可以假设A (a ,a )(a >0),∵AB⊥x轴,∴AB=OB=a,即△ABO是等腰直角三角形,∴AB2+OB2=OA2,∴a2+a2=(52)2,解得a=5,∴点B坐标为(5,0).(2)如图2中,作CF⊥x轴于F.∵OC平分∠AOB,CH⊥OE,∴CH=CF,∵△AOB是等腰直角三角形,∴∠AOB=45°,∵BC∥OE,∴∠CBG=∠AOB=45°,得到BC平分∠ABF,∵CG⊥BA,CF⊥BF,∴CG=CF,∴CG=CH.(3)①如图3中,在BC的延长线上取点P,使得CP=DB,连接AP.由(2)可知AC平分∠DAE,∴∠DAC=12∠DAE=12(180°﹣45°)=67.5°,由OC平分∠AOB得到∠DOB=12∠AOB=22.5°,∴∠ADC=∠ODB=90°﹣22.5°=67.5°,∴∠ADC=∠DAC=67.5°,∴AC=DC,∠BDC=∠OBD+∠DOB=90°+22.5°=112.5°,∠ACD=180°﹣∠CAD﹣∠ADC=180°﹣67.5°﹣67.5°=45°,∠OCB=45°﹣22.5°=22.5°,∠ACP=180°﹣∠ACD﹣∠OCB=180°﹣45°﹣22.5°=112.5°,在△ACP和△CDB中,AC ADACP DB CP DB=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ACP≌△CDB(SAS),∴∠CAP=∠DCB=22.5°,∴∠BAP=∠CAP+∠DAC=22.5°+67.5°=90°,∴△ABP是等腰直角三角形,∴AP=AB=OB=2,∴P(4,2).②满足△ACP与△BDC全等的点是P1、P2,P3.理由:如图4中,由题意:AP1=BD,AC=CD,∠CAP1=∠CDB,根据SAS可得△CAP1≌△CDB;AP2=BD,AC=CD,∠CAP2=∠CDB,根据SAS可得△CAP2≌△CDB;AC=CD,∠ACP3=∠BDC,BD=CP3根据SAS可得△CAP3≌△DCB;故答案为P1、P2,P3.【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理、角平分线的性质定理等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题,属于中考压轴题.2.(1)∠BGD=120°;(2)见解析;(3)S四边形ABCD=263.【解析】【分析】(1)只要证明△DAE≌△BDF,推出∠ADE=∠DBF,由∠EGB=∠GDB+∠GBD=∠GDB+∠ADE=60°,推出∠BGD=180°-∠BGE=120°;(2)如图3中,延长GE到M,使得GM=GB,连接BD、CG.由△MBD≌△GBC,推出DM=GC,∠M=∠CGB=60°,由CH⊥BG,推出∠GCH=30°,推出CG=2GH,由CG=DM=DG+GM=DG+GB,即可证明2GH=DG+GB;(3)解直角三角形求出BC即可解决问题;【详解】(1)解:如图1﹣1中,∵四边形ABCD是菱形,∴AD=AB,∵∠A=60°,∴△ABD是等边三角形,∴AB=DB,∠A=∠FDB=60°,在△DAE和△BDF中,AD BDA BDFAE DF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△DAE≌△BDF,∴∠ADE=∠DBF,∵∠EGB=∠GDB+∠GBD=∠GDB+∠ADE=60°,∴∠BGD=180°﹣∠BGE=120°.(2)证明:如图1﹣2中,延长GE到M,使得GM=GB,连接CG.∵∠MGB =60°,GM =GB ,∴△GMB 是等边三角形,∴∠MBG =∠DBC =60°,∴∠MBD =∠GBC ,在△MBD 和△GBC 中,MB GB MBD GBC BD BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△MBD ≌△GBC ,∴DM =GC ,∠M =∠CGB =60°,∵CH ⊥BG ,∴∠GCH =30°,∴CG =2GH ,∵CG =DM =DG+GM =DG+GB ,∴2GH =DG+GB .(3)如图1﹣2中,由(2)可知,在Rt △CGH 中,CH =GCH =30°,∴tan30°=GH CH, ∴GH =4,∵BG =6,∴BH =2, 在Rt △BCH 中,BC=∵△ABD ,△BDC 都是等边三角形,∴S 四边形ABCD =2•S △BCD =2×4×(2=. 【点睛】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质,直角三角形30度角性质等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题,属于中考常考题型. 3.(1)S=24(06)464(616)t t t <⎧⎨-+<<⎩(2)10,103⎛⎫ ⎪⎝⎭ (3)存在,(6,6)或(6,10-,(6,2)【解析】【分析】(1)当P 在AC 段时,△BPD 的底BD 与高为固定值,求出此时面积;当P 在BC 段时,底边BD 为固定值,用t 表示出高,即可列出S 与t 的关系式;(2)当点B 的对应点B ′恰好落在AC 边上时,设P (m ,10),则PB=PB ′=m ,由勾股定理得m2=22+(6-m)2,即可求出此时P坐标;(3)存在,分别以BD,DP,BP为底边三种情况考虑,利用勾股定理及图形与坐标性质求出P坐标即可.【详解】解:(1)∵A,B的坐标分别是(6,0)、(0,10),∴OA=6,OB=10,当点P在线段AC上时,OD=2,BD=OB-OD=10-2=8,高为6,∴S=12×8×6=24;当点P在线段BC上时,BD=8,高为6+10-t=16-t,∴S=12×8×(16-t)=-4t+64;∴S与t之间的函数关系式为:240t6S4t64(6t16)<≤⎧=⎨-+<<⎩();(2)设P(m,10),则PB=PB′=m,如图1,∵OB′=OB=10,OA=6,∴AB′=22OB OA-'=8,∴B′C=10-8=2,∵PC=6-m,∴m2=22+(6-m)2,解得m=103则此时点P的坐标是(103,10);(3)存在,理由为:若△BDP为等腰三角形,分三种情况考虑:如图2,①当BD=BP1=OB-OD=10-2=8,在Rt△BCP1中,BP1=8,BC=6,根据勾股定理得:CP1=22-=,8627∴AP1=10−27,即P1(6,10-27),②当BP2=DP2时,此时P2(6,6);③当DB=DP3=8时,在Rt△DEP3中,DE=6,根据勾股定理得:P3E=22-=,8627∴AP3=AE+EP3=27+2,即P3(6,27+2),综上,满足题意的P坐标为(6,6)或(6,10-27),(6,27+2).【点睛】本题是四边形综合题,考查了矩形的性质,坐标与图形性质,等腰三角形的性质,勾股定理等知识,注意分类讨论思想和方程思想的运用.=,理由见解析.4.(1)45°;(2)GF=AG+CF,证明见解析;(3)①6;②s ab【解析】【分析】(1)如图1中,连接BE.利用全等三角形的性质证明EB=ED,再利用等角对等边证明EB=EF即可解决问题.(2)猜想:GF=AG+CF.如图2中,将△CDF绕点D旋转90°,得△ADH,证明△GDH≌△GDF(SAS)即可解决问题.(3)①设CF=x,则AH=x,BF=6-x,GF=3+x,利用勾股定理构建方程求出x即可.②设正方形边长为x,利用勾股定理构建关系式,利用整体代入的思想解决问题即可.【详解】解:(1)如图1中,连接BE.∵四边形ABCD是正方形,∴CD=CB,∠ECD=∠ECB=45°,∵EC=EC,∴△ECB≌△ECD(SAS),∴EB=ED,∠EBC=∠EDC,∵∠DEF=∠DCF=90°,∴∠EFC+∠EDC=180°,∵∠EFB+∠EFC=180°,∴∠EFB=∠EDC,∴∠EBF=∠EFB,∴EB=EF,∴DE=EF,∵∠DEF=90°,∴∠EDF=45°故答案为45°.(2)猜想:GF=AG+CF.如图2中,将△CDF绕点D旋转90°,得△ADH,∴∠CDF=∠ADH,DF=DH,CF=AH,∠DAH=∠DCF=90°,∵∠DAC=90°,∴∠DAC+∠DAH=180°,∴H、A、G三点共线,∴GH=AG+AH=AG+CF,∵∠EDF=45°,∴∠CDF+∠ADG=45°,∴∠ADH+∠ADG=45°∴∠GDH=∠EDF=45°又∵DG=DG∴△GDH≌△GDF(SAS)∴GH=GF,∴GF=AG+CF.(3)①设CF=x,则AH=x,BF=6-x,GF=3+x,则有(3+x)2=(6-x)2+32,解得x=2∴S△BFG=1•BF•BG=6.2②设正方形边长为x,∵AG=a,CF=b,∴BF=x-b,BG=x-a,GF=a+b,则有(x-a)2+(x-b)2=(a+b)2,化简得到:x2-ax-bx=ab,∴S=12(x-a)(x-b)=12(x2-ax-bx+ab)=12×2ab=ab.【点睛】本题属于四边形综合题,考查了正方形的性质,全等三角形的判定和性质,勾股定理等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题,学会利用参数构建方程解决问题,属于中考常考题型.5.(1)△AEF是等边三角形,理由见解析;(2)见解析;(3)点F到BC的距离为3﹣.【解析】【分析】(1)连接AC,证明△ABC是等边三角形,得出AC=AB,再证明△BAE≌△DAF,得出AE =AF,即可得出结论;(2)连接AC,同(1)得:△ABC是等边三角形,得出∠BAC=∠ACB=60°,AB=AC,再证明△BAE≌△CAF,即可得出结论;(3)同(1)得:△ABC和△ACD是等边三角形,得出AB=AC,∠BAC=∠ACB=∠ACD=60°,证明△BAE≌△CAF,得出BE=CF,AE=AF,证出△AEF是等边三角形,得出∠AEF =60°,证出∠AEB=45°,得出∠CEF=∠AEF﹣∠AEB=15°,作FH⊥BC于H,在△CEF 内部作∠EFG=∠CEF=15°,则GE=GF,∠FGH=30°,由直角三角形的性质得出FG=2FH,GH=FH,CF=2CH,FH=CH,设CH=x,则BE=CF=2x,FH=x,GE=GF=2FH=2x,GH=FH=3x,得出EH=4+x=2x+3x,解得:x=﹣1,求出FH=x =3﹣即可.【详解】(1)解:△AEF是等边三角形,理由如下:连接AC,如图1所示:∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC=AD,∠B=∠D,∵∠ABC=60°,∴∠BAD=120°,△ABC是等边三角形,∴AC=AB,∵点E是线段CB的中点,∴AE⊥BC,∴∠BAE=30°,∵∠EAF=60°,∴∠DAF=120°﹣30°﹣60°=30°=∠BAE,在△BAE和△DAF中,,∴△BAE≌△DAF(ASA),∴AE=AF,又∵∠EAF=60°,∴△AEF是等边三角形;故答案为:等边三角形;(2)证明:连接AC,如图2所示:同(1)得:△ABC是等边三角形,∴∠BAC=∠ACB=60°,AB=AC,∵∠EAF=60°,∴∠BAE=∠CAF,∵∠BCD=∠BAD=120°,∴∠ACF=60°=∠B,在△BAE和△CAF中,,∴△BAE≌△CAF(ASA),∴BE=CF;(3)解:同(1)得:△ABC和△ACD是等边三角形,∴AB=AC,∠BAC=∠ACB=∠ACD=60°,∴∠ACF=120°,∵∠ABC=60°,∴∠ABE=120°=∠ACF,∵∠EAF=60°,∴∠BAE=∠CAF,在△BAE和△CAF中,,∴△BAE≌△CAF(ASA),∴BE=CF,AE=AF,∵∠EAF=60°,∴△AEF是等边三角形,∴∠AEF=60°,∵∠EAB=15°,∠ABC=∠AEB+∠EAB=60°,∴∠AEB=45°,∴∠CEF=∠AEF﹣∠AEB=15°,作FH⊥BC于H,在△CEF内部作∠EFG=∠CEF=15°,如图3所示:则GE =GF ,∠FGH =30°,∴FG =2FH ,GH =FH , ∵∠FCH =∠ACF ﹣∠ACB =60°, ∴∠CFH =30°,∴CF =2CH ,FH =CH , 设CH =x ,则BE =CF =2x ,FH =x ,GE =GF =2FH =2x ,GH =FH =3x , ∵BC =AB =4,∴CE =BC +BE =4+2x ,∴EH =4+x =2x +3x , 解得:x =﹣1, ∴FH =x =3﹣,即点F 到BC 的距离为3﹣.【点睛】本题是四边形综合题目,考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质等知识;本题综合性强,熟练掌握等边三角形的判定与性质,证明三角形全等是解题的关键.6.(1)不存在,见解析;(2)以任意一个大于2的偶数为一条直角边的长,一定可以画出一个直角三角形,使得该直角三角形的另两条边的长都是正整数,见解析.【分析】(1)根据题意可知,这n 组正整数符合规律m 2-1,2m ,m 2+1(m≥2,且m 为整数).分三种情况:m 2-1=71;2m=71;m 2+1=71;进行讨论即可求解;(2)由于(m 2-1) 2+(2m ) 2=m 4+2m 2+1=(m 2+1) 2,根据勾股定理的逆定理即可求解.【详解】(1)不存在一组数,既符合上述规律,且其中一个数为71.理由如下:根据题意可知,这n 组正整数符合规律21m -,2m ,21m +(2m ≥,且m 为整数). 若2171m -=,则272m =,此时m 不符合题意;若271m =,则35.5,m =,此时m 不符合题意;若2171m +=,则270m =,此时m 不符合题意,所以不存在一组数,既符合上述规律,且其中一个数为71.(2)以任意一个大于2的偶数为一条直角边的长,一定可以画出一个直角三角形,使得该直角三角形的另两条边的长都是正整数.理由如下:对于一组数:21m -,2m ,21m +(2m ≥,且m 为整数).因为2224222(1)(2)21(1)m m m m m -+=++=+所以若一个三角形三边长分别为21m -,2m ,21m +(2m ≥,且m 为整数),则该三角形为直角三角形.因为当2m ≥,且m 为整数时,2m 表示任意一个大于2的偶数,21m -,21m +均为正整数,所以以任意一个大于2的偶数为一条直角边的长,一定可以画出一个直角三角形,使得该直角三角形的另两条边的长都是正整数.【点睛】考查了勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长a ,b ,c 满足a 2+b 2=c 2,那么这个三角形就是直角三角形.注意分类思想的应用7.(1)(0,;(2)DF OE =;(3)9+【分析】(1)由等边三角形的性质得出6OB =,12AB AC BC ===,由勾股定理得出OA ==A 的坐标;(2)由等边三角形的性质得出AD AE =,AF AO =,60FAO DAE ∠=∠=︒,证出FAD OAE ∠=∠,由SAS 证明FAD OAE ∆≅∆,即可得出DF OE =;(3)证出90AGO ∠=︒,求出9AG =,由全等三角形的性质得出AOE AFD ∠=∠,证出6090FDO AFD AOD ∠=∠+︒+∠=︒,由等边三角形的性质得12DG OF ==即可得出答案.【详解】解:(1)ABC ∆是等边三角形,点0()6,B -,点(6,0)C ,6OB ∴=,12AB AC BC ===,OA === ∴点A 的坐标为(0,;(2)DF OE =;理由如下:ADE ∆,AFO ∆均为等边三角形,AD AE ∴=,AF AO =,60FAO DAE ∠=∠=︒,FAD OAE ∴∠=∠,在FAD ∆和OAE ∆中,AF AO FAD OAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,()FAD OAE SAS ∴∆≅∆,DF OE ∴=;(3)60AOF ∠=︒,30FOB ∴∠=︒,60ABO ∠=︒,90AGO ∴∠=︒,AFO ∆是等边三角形,AO =·sin 6092AG OA ∴=︒==, FAD OAE ∆≅∆,AOE AFD ∴∠=∠,30DOE AOD AOE ∠=︒=∠+∠,30AOD AFD ∴∠+∠=︒,FDO AFD FAO AOD ∠=∠+∠+∠,60603090FDO AFD AOD ∴∠=∠+︒+∠=︒+︒=︒,AG OF ⊥,AOF ∆为等边三角形,G ∴为斜边OF 的中点,1122DG OF ∴==⨯=ADG ∴∆的周长9AG AD DG =++=+【点睛】本题是三角形综合题目,考查了等边三角形的性质、勾股定理、坐标与图形性质、全等三角形的判定与性质、三角函数等知识;本题综合性强,有一定难度,熟练掌握等边三角形的性质,证明三角形全等是解题的关键.8.(1)CF FH =,证明见解析;(2)依然成立,点E 与点C 之间的距离为3.理由见解析.【分析】(1)做辅助线,通过已知条件证得ADG 与DEF 是等腰直角三角形.证出CEF FGH ≌,利用全等的性质即可得到CF FH =.(2)设AH ,DF 交于点G ,可根据ASA 证明△FCE ≌△HFG ,从而得到CF FH =,当ABC △和CFH △均为等腰直角三角形当他们面积相等时,6CF AC ==.利用勾股定理可以求DE 、CE 的长,即可求出CE 的长,即可求得点E 与点C 之间的距离.【详解】(1)CF FH =证明:延长DF 交AB 于点G∵在ABC △中,90ACB ∠=︒,6AC BC ==,∴45A B ∠=∠=︒∵DF DE ⊥于点D ,且DE DF =,∴90EDF ∠=︒,ADG 与DEF 是等腰直角三角形.∴45AGD DEF ∠=∠=︒,AD DG =,90DCF CFD ∠+∠=︒,∴135CEF FGH ∠=∠=︒,∵点D 是AC 的中点,∴132CD AD AC ===,∴CD DG = ∴CE FG = ∵FH CF ⊥于点F ,∴90CFG ∠=︒,∴90GFH CFD ∠+∠=︒∴DCF GFH ∠=∠∴CEF FGH ≌∴CF FH =;(2)依然成立理由:设AH ,DF 交于点G ,由题意可得出:DF=DE ,∴∠DFE=∠DEF=45°,∵AC=BC ,∴∠A=∠CBA=45°,∵DF ∥BC ,∴∠CBA=∠FGB=45°,∴∠FGH=∠CEF=45°,∵点D 为AC 的中点,DF ∥BC ,∴DG=12BC,DC=12AC , ∴DG=DC ,∴EC=GF ,∵∠DFC=∠FCB ,∴∠GFH=∠FCE ,在△FCE 和△HFG 中 CEF FGH EC GFECF GFH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩, ∴△FCE ≌△HFG(ASA),∴HF=FC.由(1)可知ABC △和CFH △均为等腰直角三角形当他们面积相等时,6CF AC ==. ∴2233DE DF CF CD ==-= ∴333CE DE DC =-=-∴点E 与点C 之间的距离为333-.【点睛】 本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理,学会利用全等和等腰三角形的性质,借助勾股定理解决问题.9.【体验】 (1),5;(2)②;③;【探索】为锐角三角形;道理见解析;【应用】.【解析】【分析】本题从各个角度证明了勾股定理,运用图形与证明结合,依次证明即可,具体见详解.【详解】体验: (1)如上图,(2)根据大角对大边,若为直角三角形,则满足,那么锐角、钝角如下;②; ③. 【探索】在中,,在中,,在中,,∴,∴为锐角同理,和都为锐角.∴为锐角三角形.【应用】根据【探索】中的方法,进行探究可以发现,可能是锐角三角形或直角三角形或钝角三角形,故答案选C【点睛】本题考查了勾股定理的证明及应用,以及三角形的边与边的关系,能利用数形结合是解答此题的关键.10.(1)假;(2)∠A=45°;(3)①不能,理由见解析,②见解析【分析】(1)先由直角三角形是类勾股三角形得出ab+a2=c2,再由勾股定理得a2+b2=c2,即可判断出此直角三角形是等腰直角三角形;(2)由类勾股三角形的定义判断出此三角形是等腰直角三角形,即可得出结论;(3)①分三种情况,利用等腰三角形的性质即可得出结论;②先求出CD=CB=a,AD=CD=a,DB=AB-AD=c-a,DG=BG=12(c-a),AG=12(a+c),两个直角三角形中利用勾股定理建立方程即可得出结论.【详解】解:(1)如图1,假设Rt△ABC是类勾股三角形,∴ab+a2=c2,在Rt△ABC中,∠C=90°,根据勾股定理得,a2+b2=c2,∴ab+b2=a2+b2,∴ab=a2,∴a=b,∴△ABC是等腰直角三角形,∴等腰直角三角形是类勾股三角形,即:原命题是假命题,故答案为:假;(2)∵AB=BC,AC>AB,∴a=c,b>c,∵△ABC是类勾股三角形,∴ac+a2=b2,∴c2+a2=b2,∴△ABC是等腰直角三角形,∴∠A=45°,(3)①在△ABC中,∠ABC=2∠BAC,∠BAC=32°,∴∠ABC=64°,根据三角形的内角和定理得,∠ACB=180°﹣∠BAC﹣∠ABC=84°,∵把这个三角形分成两个等腰三角形,∴(Ⅰ)、当∠BCD=∠BDC时,∵∠ABC=64°,∴∠BCD=∠BDC=58°,∴∠ACD=∠ACB﹣∠BCD=84°﹣58°=26°,∠ADC=∠ABC+∠BCD=122°∴△ACD不是等腰三角形,此种情况不成立;(Ⅱ)、当∠BCD=∠ABC=64°时,∴∠BDC=52°,∴∠ACD=20°,∠ADC=128°,∴△ACD是等腰三角形,此种情况不成立;(Ⅲ)、当∠BDC=∠ABC=64°时,∴∠BCD=52°,∴∠ACD=∠ACB﹣BCD=32°=∠BAC,∴△ACD是等腰三角形,即:分割线和顶角标注如图2所示,Ⅱ、分∠ABC,同(Ⅰ)的方法,判断此种情况不成立;Ⅲ、分∠BAC,同(Ⅱ)的方法,判断此种情况不成立;②如图3,在AB边上取点D,连接CD,使∠ACD=∠A图3作CG⊥AB于G,∴∠CDB=∠ACD+∠A=2∠A,∵∠B=2∠A,∴∠CDB=∠B,∴CD=CB=a,∵∠ACD=∠A,∴AD=CD=a,∴DB=AB﹣AD=c﹣a,∵CG⊥AB,∴DG=BG=12(c﹣a),∴AG=AD+DG=a+12(c﹣a)=12(a+c),在Rt△ACG中,CG2=AC2﹣AG2=b2﹣[12(c+a)]2,在Rt△BCG中,CG2=BC2﹣BG2=a2﹣[12(c﹣a)]2,∴b2﹣[12(a+c)]2=a2﹣[12(c﹣a)]2,∴b2=ac+a2,∴△ABC是“类勾股三角形”.【点睛】此题是三角形综合题,主要考查了等腰三角形的性质,勾股定理,新定义“类勾股三角形”,分类讨论的数学思想,解本题的关键是理解新定义.11.(1)出发2秒后,线段PQ的长为2132)当点Q在边BC上运动时,出发83秒后,△PQB是等腰三角形;(3)当t为5.5秒或6秒或6.6秒时,△BCQ为等腰三角形.【分析】(1)由题意可以求出出发2秒后,BQ和PB的长度,再由勾股定理可以求得PQ的长度;(2)设所求时间为t,则可由题意得到关于t的方程,解方程可以得到解答;(3)点Q在边CA上运动时,ΔBCQ为等腰三角形有三种情况存在,对每种情况进行讨论可以得到解答.【详解】(1)BQ=2×2=4cm ,BP=AB−AP=8−2×1=6cm ,∵∠B=90°,由勾股定理得:PQ=22224652213BQ BP +=+==∴出发2秒后,线段PQ 的长为213;(2)BQ=2t ,BP=8−t由题意得:2t=8−t解得:t=83 ∴当点Q 在边BC 上运动时,出发83秒后,△PQB 是等腰三角形; (3) ∵∠ABC=90°,BC=6,AB=8,∴AC=2268+=10.①当CQ=BQ 时(图1),则∠C=∠CBQ ,∵∠ABC=90°,∴∠CBQ+∠ABQ=90°,∠A+∠C=90°,∴∠A=∠ABQ ,∴BQ=AQ ,∴CQ=AQ=5,∴BC+CQ=11,∴t=11÷2=5.5秒;②当CQ=BC 时(如图2),则BC+CQ=12∴t=12÷2=6秒③当BC=BQ 时(如图3),过B 点作BE ⊥AC 于点E ,∴BE=6824105AB BC AC ⋅⨯==, 所以22BC BE -=185=3.6, 故CQ=2CE=7.2,所以BC+CQ=13.2,∴t=13.2÷2=6.6秒.由上可知,当t 为5.5秒或6秒或6.6秒时,△BCQ 为等腰三角形.【点睛】本题考查三角形的动点问题,利用分类讨论思想和方程方法、综合力学的运动知识和三角形边角的有关知识求解是解题关键.12.(1)见解析;(2)27BC =.【分析】(1)由等边三角形的判定定理可得△ABD 为等边三角形,又由平行进行角度间的转化可得出结论.(2)连接AC 交BD 于点O ,由题意可证AC 垂直平分BD ,△ABD 是等边三角形,可得∠BAO=∠DAO=30°,AB=AD=BD=8,BO=OD=4,通过证明△EDF 是等边三角形,可得DE=EF=DF=2,由勾股定理可求OC ,BC 的长.【详解】(1)证明:∵AB AD =,=60A ∠︒,∴△ABD 是等边三角形.∴60ADB ∠=︒.∵CE ∥AB ,∴60CED A ∠=∠=︒.∴CED ADB ∠=∠.(2)解:连接AC 交BD 于点O ,∵AB AD =,BC DC =,∴AC 垂直平分BD .∴30BAO DAO ∠=∠=︒.∵△ABD 是等边三角形,8AB =∴8AD BD AB ===,∴4BO OD ==.∵CE ∥AB ,∴ACE BAO ∠=∠.∴6AE CE ==, 2DE AD AE =-=.∵60CED ADB ∠=∠=︒.∴60EFD ∠=︒.∴△EDF 是等边三角形.∴2EF DF DE ===,∴4CF CE EF =-=,2OF OD DF =-=.在Rt △COF 中, ∴2223OC CF OF =-=.在Rt △BOC 中, ∴22224(23)27BC BO OC =+=+=【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判定,勾股定理,熟练运用等边三角形的判定是本题的关键.13.(1)证明见解析;(2)21.【分析】(1)只需要证明'30A DB B ∠=∠=︒,再根据等角对等边即可证明''A D A B =,再结合小明的分析即可证明;D E=BE.设(2)作△ADC关于AC的对称图形AD'C,过点C作CE⊥AB于点E,则''D E=BE=x.在Rt△CEB和Rt△CEA中,根据勾股定理构建方程即可解决问题.【详解】解:(1)证明:如下图,作△ADC关于CD的对称图形△A′DC,∴A′D=AD,C A′=CA,∠CA′D=∠A=60°,∵CD平分∠ACB,∴A′点落在CB上∵∠ACB=90°,∴∠B=90°-∠A=30°,∴∠A′DB=∠CA′D-∠B=30°,即∠A′DB=∠B,∴A′D=A′B,∴CA+AD=CA′+A′D=CA′+A′B=CB.(2)如图,作△ADC关于AC的对称图形△AD′C.∴D′A=DA=9,D′C=DC=10,∵AC平分∠BAD,∴D′点落在AB上,∵BC=10,∴D′C=BC,过点C作CE⊥AB于点E,则D′E=BE,设D′E=BE=x,在Rt△CEB中,CE2=CB2-BE2=102-x2,在Rt△CEA中,CE2=AC2-AE2=172-(9+x)2.∴102-x2=172-(9+x)2,解得:x=6,∴AB=AD′+D′E+EB=9+6+6=21.【点睛】本题考查轴对称的性质,勾股定理,等腰三角形的性质,三角形外角的性质.(1)中证明∠A′DB=∠B 不是经常用的等量代换,而是利用角之间的计算求得它们的度数相等,这有点困难,需要多注意;(2)中掌握方程思想是解题关键.14.(1)3;(2)见解析.【分析】(1)根据勾股定理可得AC ,进而可得BC 与BD ,然后根据三角形的面积公式计算即可; (2)过点B 作BH ⊥BG 交EF 于点H ,如图3,则根据余角的性质可得∠CBG =∠EBH ,由已知易得BE ∥AC ,于是∠E =∠EFC ,由于CG EF ⊥,90ACB ∠=︒,则根据余角的性质得∠EFC =∠BCG ,于是可得∠E =∠BCG ,然后根据ASA 可证△BCG ≌△BEH ,可得BG =BH ,CG =EH ,从而△BGH 是等腰直角三角形,进一步即可证得结论.【详解】解:(1)在△ACD 中,∵90ACB ∠=︒,1CD =,5AD =,∴222AC AD CD =-=,∵2BC AC =,∴BC=4,BD =3,∴1132322ABD S BD AC ∆=⋅=⨯⨯=; (2)过点B 作BH ⊥BG 交EF 于点H ,如图3,则∠CBG +∠CBH =90°,∵BE BC ⊥,∴∠EBH +∠CBH =90°,∴∠CBG =∠EBH ,∵BE BC ⊥,90ACB ∠=︒,∴BE ∥AC ,∴∠E =∠EFC ,∵CG EF ⊥,90ACB ∠=︒,∴∠EFC +∠FCG =90°,∠BCG +∠FCG =90°,∴∠EFC =∠BCG ,∴∠E =∠BCG ,在△BCG 和△BEH 中,∵∠CBG =∠EBH ,BC=BE ,∠BCG =∠E ,∴△BCG ≌△BEH (ASA ), ∴BG =BH ,CG =EH ,∴222GH BG BH BG =+=,∴2EG GH EH BG CG =+=+.【点睛】本题考查了直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、余角的性质和勾股定理等知识,属于常考题型,正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键.15.(1)①详见解析;②详见解析;(2)DE 2= EB 2+AD 2+EB ·AD ,证明详见解析【分析】(1)①根据旋转的性质可得CF=CD ,∠DCF=90°,再根据已知条件即可证明△ACD ≌△BCF ;②连接EF,根据①中全等三角形的性质可得∠EBF=90°,再证明△DCE≌△FCE得到EF=DE 即可证明;(2)根据(1)中的思路作出辅助线,通过全等三角形的判定及性质得出相等的边,再由勾股定理得出AD,DE,BE之间的关系.【详解】解:(1)①证明:由旋转可得CF=CD,∠DCF=90°∵∠ACD=90°∴∠ACD=∠BCF又∵AC=BC∴△ACD≌△BCF②证明:连接EF,由①知△ACD≌△BCF∴∠CBF=∠CAD=∠CBA=45°,∠BCF=∠ACD,BF=AD∴∠EBF=90°∴EF2=BE2+BF2,∴EF2=BE2+AD2又∵∠ACB=∠DCF=90°,∠CDE=45°∴∠FCE=∠DCE=45°又∵CD=CF,CE=CE∴△DCE≌△FCE∴EF=DE∴DE2= AD2+BE2⑵DE2=EB2+AD2+EB·AD理由:如图2,将△ADC绕点C逆时针旋转60°,得到△CBF,过点F作FG⊥AB,交AB 的延长线于点G,连接EF,∴∠CBE=∠CAD,∠BCF=∠ACD, BF=AD∵AC=BC,∠ACB=60°∴∠CAB=∠CBA =60°∴∠ABE=120°,∠EBF=60°,∠BFG=30°∴BG=12BF,FG=32BF∵∠ACB=60°,∠DCE=30°,∴∠ACD+∠BCE=30°,∴∠ECF=∠FCB+∠BCE=30°∵CD=CF ,CE=CE∴△ECF ≌△ECD∴EF=ED在Rt △EFG 中,EF 2=FG 2+EG 2又∵EG=EB+BG∴EG=EB+12BF , ∴EF 2=(EB+12BF )2+(3BF )2 ∴DE 2= (EB+12AD )2+(3AD )2 ∴DE 2= EB 2+AD 2+EB ·AD【点睛】本题考查了全等三角形的性质与旋转模型,解题的关键是找出全等三角形,转换线段,并通过勾股定理的计算得出线段之间的关系.16.(1)2516;(2)83t =或6;(3)当153,5,210t =或194时,△BCP 为等腰三角形. 【分析】(1)设存在点P ,使得PA PB =,此时2PA PB t ==,42PC t =-,根据勾股定理列方程即可得到结论;(2)当点P 在CAB ∠的平分线上时,如图1,过点P 作PE AB ⊥于点E ,此时72BP t =-,24PE PC t ==-,541BE =-=,根据勾股定理列方程即可得到结论; (3)在Rt ABC 中,根据勾股定理得到4AC cm =,根据题意得:2AP t =,当P 在AC上时,BCP 为等腰三角形,得到PC BC =,即423t -=,求得12t =,当P 在AB 上时,BCP 为等腰三角形,若CP PB =,点P 在BC 的垂直平分线上,如图2,过P 作PE BC ⊥于E ,求得194t =,若PB BC =,即2343t --=,解得5t =,PC BC =③,如图3,过C 作CF AB ⊥于F ,由射影定理得;2BC BF AB =⋅,列方程2234352t --=⨯,即可得到结论.。

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