一、多目标优化及数学模型 设计车床齿轮变速箱时，要求：

各齿轮体积总和 f1 (X) 尽可能小
降低成本
各传动轴间的中心距总和
f 2 ( X) 尽可能小
使变速箱结构紧凑。

合理选用材料
使总成本 f3 ( X) 尽可能小。
传动效率尽可能高
机械耗损率 f 4 ( X) 尽可能小。
在优化设计中同时要求几项指标达到最优值的 问题称为多目标优化设计问题。兼顾多方面的要求 ，则称为多目标优化问题。
7.2 统一目标函数法（续）
二、统一目标函数的构造方法（续） 3、平方和加权法 基本思想：在理想点法的基础上引入权数 i 构造评价函数。
目标函数：
X ( x1 , x2 ,..., xn )T min f ( X ) i [ fi ( X ) fi * ]2
i 1 L
s.t.
7.2 统一目标函数法（续）
二、统一目标函数的构造方法 1、线性加权和法（线性加权组合法）
根据各子目标的重要程度给予相应的权数，然后 用各子目标分别乘以他们各自的权数，再相加即构成 统一目标函数。
即评价函数为： f ( X ) i fi ( X )
i 1 L
f1 ( X ), f 2 ( X ),..., f L ( X )
求：
X [ x1 , x2 ,..., xn )T
n维欧氏空间的一个向量 向量形式的目标函数 设计变量应满足的所 有约束条件
min F ( X ) [ f1 ( X ), f 2 ( X ),..., f L ( X )]T s.t. gi ( X ) 0, (i 1, 2,..., m) h j ( X ) 0, ( j 1, 2,..., k )
附加参数 设臵优化选项参数 目标函数文件名 初始点 无定义时以空矩阵 符号“[ ]”代替 非线性约束条件的函数名 设计变量的下界和上界 线性等式约束的常数向量 线性等式约束的系数矩
线性不等式约束的常数向 量 线性不等式约束的系数矩
三、例题
已知直径为1单位长度的圆柱梁，要求将它制成矩形截面梁，满足重量最轻 和强度最大的条件，试确定矩形截面尺寸。
X ( x1 , x2 ,..., xn )T min f 2 ( X ) s.t. gi ( X ) 0 (i 1, 2,..., m) h j ( X ) 0 ( j 1, 2,..., k ) ft ( X ) f t 0 (t 1, 2,..., L)
ft 0 (t 1, 2,..., L) ——原问题第t个目标函数的上限值。
],[
function f1f2=fun_obj(x,ww) f1f2=ww(1)*(5*x(1)+3*x(2))-ww(2)*(x(1)+x(2));
(1)取权系数w1=0.5 ,w2=0.5 时最优解为
X*=[5 10],
f 1 ( x ) 55元
f 2 ( x ) 15kg
（2)取权系数w1=0.2 ,w2=0.8时最优解为 X*=[5 15]
为该目标函数的容限
2
这时权数可取为：i 1 fi ( X ) , i 1, 2,..., L 目的：在目标函数中使各子目标在数量级上达到 统一平衡。
7.2 统一目标函数法（续）
二、统一目标函数的构造方法（续） 2、理想点法 基本思想：使各个目标尽可能接近各自的最优值， 从而求出多目标函数的较好的非劣解。 步骤：先用单目标优化方法求得各子目标的约束最 优值和相应的最优点，然后构造目标函数。 目标函数：
min f1 ( x) 5x1 3x2 x R
2
s.t. 5 x1 3x2 70
x1 x2 15
max f 2 ( x) x1 x2
x R2
x1 5
x2 0
(1)如果只考虑目标函数 min f1 ( x) 5 x1 3x2 则应用Matlab求解的程序为：
注意： 1、建立这样的评价函数时，各子目标的单位已经脱 离了通常的概念。 2、权数（加权因子）的大小代表相应目标函数在优 化模型中的重要程度，目标越重要，权数越大。
例： 现有现金70元，可用来可用来购买菠萝和苹果 。菠萝 5 元 /kg ，苹果 3 元 /kg ，要求总斤数不少于 15kg，菠萝不少于5kg。 问： (1) 购买菠萝和苹果各多少斤，才能在满足要 求的条件下花钱最少？ (2) 购买菠萝和苹果各多少 斤，才能在满足要求的条件下所买的菠萝和苹果最 多？ 解：通俗地说，这是一个如何安排资金，少花钱多 办事的问题。设购买菠萝x1 kg，苹果x2 kg。可以 列出如下的优化数学模型：
性 能 约 束 等式约束
g1 ( X) x1 0
g 3 ( X) x 2 0
பைடு நூலகம்
边 界 约 束 g ( X) x 1 0
4 2
g 2 ( X ) x1 1 0
变量x1的上下限 变量x2的上下限
(2)编制优化设计的M文件
(3)运行结果
Optimization terminated successfully: xopt = 0.7071 0.7071 fopt = 0.5000 -0.0589
(2)如果只考虑目标函数 max f 2 ( x) x1 x2 则应用Matlab求解的程序为： f=-[1 1]; A=[5 3;-1 -1;-1 0]; b=[70;-15;-5]; xl=[0;0]; [x,f,exitflag]=linprog(f,A,b,[ ],[ ],xl)
x R2
解:(1)建立优化设计的数学模型 ①设计变量： 矩形截面的宽和高 x2 X=[x1,x2]T ②目标函数： x1 重量→截面积： minf1(X)=x1x2 弯曲强度→ 矩形截面矩量: min f 2 ( X) x1x 2 2 /6
③约束条件:含性能约束和边界约束
2 h( X) x1 x2 2 1
x R2
%li9_1 f=[5 3]; A=[5 3;-1 -1;-1 0]; b=[70;-15;-5]; xl=[0;0]; [x,f,exitflag]=linprog(f,A,b,[ ],[ ],xl) 最优解为：
X*=[5 10],
f ( x ) 55元
1
f 2 ( x ) 15kg
二、多目标优化问题的特点及解法（续)
2、解法： 将多目标优化问题转化为单目标优化问题 （统一目标函数法）
解法
将多目标优化问题转化为一系列单目标优化问题
7.2 统一目标函数法（综合目标法） 一、基本思想 统一目标函数法就是设法将各分目标函数
f1(X),f2(X),…,fl(X) 统一到一个新构成的总的目标函数
(1) 专家评判法（老手法）
凭经验评估，并结合统计处理来确定权数的方法。 特点：方法实用，但要求专家人数不能太少。
（2）容限法 若已知子目标函数fi(X)的变动范围为：
i fi ( X ) i , i 1, 2,..., L
则称
fi ( X )
i i
2
(i 1, 2,..., L)
gi ( X ) 0 (i 1, 2,..., m) h j ( X ) 0 ( j 1, 2,..., k )
i 满足归一性和非负性条件

i 1
L
i
1
i 0 (i 1, 2,..., L)
7.3 主要目标函数法 基本思想：从所有 L 个子目标函数中选出一个设 计者认为最重要的作为主要目标函数，而将其余 L-1 个子目标限制在一定的范围内，并转化为新的约束条 件，将多目标优化问题转化为单目标优化问题。 设f2(X)为主要目标函数，则优化的数学模型为：
一、多目标优化问题数学模型
min max {f1,f2,…,f3}
s.t. AX≤b AeqX=beq
7.4极大极小法 MATLAB：函数fminimax
各分目标函数
（线性不等式约束） （线性等式约束）
C(X)≤0
Ceq(X)=0
（非线性不等式约束条件）
（非线性等式约束）
Lb ≤X ≤Ub （边界约束条件）
f(X), 这样就把原来的多目标问题转化为一个具有统 — 目标函数的单目标问题来求解． 即：
minF ( X ) min F ( f ( X ), f ( X ),..., f ( X ))
X D X D 1 2 l
D为可行域，f1(X)， f2(X)， …， fl(X)为各个子目 标函数。
最优解为：
X*=[5 15]
f1 ( x) 70元
f 2 ( x ) 20kg
解：取权系数 (1)w1=0.5 ,w2=0.5 ;(2)w1=0.2 ,w2=0.8 相应的MATLAB计算程序如下：
clc; clear all; A=[5 3;-1 -1;-1 0]; b=[70;-15;-5]; xl=[0,0];x0=[0,0]; w(1,1)=0.5;w(1,2)=0.5; w(2,1)=0.2;w(2,2)=0.8; for i=1:2 [x,f,exitflag]=fmincon(@(x)fun_obj(x,w(i,:)),x0,A,b,[ ],xl) f1=5*x(1)+3*x(2) f2=x(1)+x(2) end
——各子目标函数
L
1 , 2 ,..., L ——权数
i 应满足归一性和非负性条件

i 1
i
1
i 0 (i 1, 2,..., L)
优化的数学模型为 X ( x1 , x2 ,..., xn )T
min f ( X ) i fi ( X )
i 1 L
s.t. gi ( X ) 0 (i 1, 2,..., m) h j ( X ) 0 ( j 1, 2,..., k )