h
j
(x)

0,
j

1,2,, l
或者记作:min f (x)
D= x E p | g(x) 0, h(x) 0
其中: f (x)=( f1(x), f p ()x)
g(x) (g1(x)
h(x) (h1(x)
gm ( x))
hm ( x))
x D
可以看到：
当P=1时,(VP)就是非线性规划, 称为单目标规划。
第二部分 多目标优化方法
Multi-Objective Optimization 第一节 概述 第二节 多目标优化设计理论 第三节 多目标优化的第一类方法 第四节 多目标优化的第二类方法 第五节 多目标优化的第三类方法
第一节 概述
国际上通常认为多目标最优化问题最早是在1886年由法国经 济学家Pareto从政治经济学的角度提出的。多目标规划的真 正发达时期，并正式作为一个数学分支进行系统的研究，是 上世纪七十年代以后的事。

xij
i 1

xij 0, i

bj, j 1,2,3; j
1,2,3,4 1,2,3,4
由于求最大都可以转化为求最小,所以多目标最优化问 题的一般形式为:
min( f (x1), f (x2 ), , f p (x))
S.t.
gi (x) 0,i 1,2., m
a1, a2, a3 (单位:t);现要将这些物资运往四个销售
点 B1, B2 , B3, B4 。其需要量分别为 b1,b2 ,b3,b4
且
3
4
ai bj
i
j
运价分别为 dij
，已知 Ai 到 B j 的距离和单位 (km)和 cij (元),现要决定如何
调运多少,才能使总的吨,公里数和总运费都尽量少?
于是总吨公里数为 dij xij ,总运费为cij xi,j问题
优化为求解
i1 j1
i1 j1


34
min
dij * xij

i1 j1


34
min
cij * xij


s.t.
i1 j1 4
xij ai , i 1,2,3

i 1 3

。
min
x1 * x2
因此,容易列出 梁的数学模型:
max
1 6
*
x1
*
x2
2
s.t. x12 x22 1

x1, x2 0
例7.2 物资调运问题:
某种物资寸放三个仓库 A1, A2, A3里, ,存放量分别
为 a1, a2, a3 (单位:t);现要将这些物资运往四个
大多数情况下，F ( X (1) )的某几个分量小于F ( X (2) )的 对应分量，
f j ( X (1) ) f j ( X (2) ) 但另外几个分量大于F ( X (2) )的对应分量
fl ( X (1) ) fl ( X (2) ) 则显然，X (1)与X (2)无法比较优劣。
示例1
max F(X )＝4x1 5x2，x1T
s.t. g1( X ) 200 x1 x2 0 g2 ( X ) 200 1.25x1 0.75x2 0 g3( X ) 150 x2 0 g4 ( X ) x1 0 g5 ( X ) x2 0
1. 多目标优化设计示例
示例1：某工厂生产两种产品A和B,每件产品A需制造工时 和装配工时分别为1时和1.25时，每件产品B需制造工时和 装配工时分别为1时和0.75时，每月制造车间和装配车间 能够提供的最多工时为200时，另外，每月市场对产品A需 求量很大，而对产品B的最大需求量为150件，产品A和产 品B的售价分别为4元和5元，问如何安排每月的生产，最 大限度的满足市场需求，并产值最大？
cij * xij


s.t.
i1 j1 4
xij ai , i 1,2,3

i 1 3


xij
i 1

xij 0, i

bj, j 1,2,3; j
1,2,3,4 1,2,3,4
示例4：如图所示，设计一苦空心阶梯悬臂梁，根据结构要
求，已确定梁的总长为1000mm，第一段外径为80mm， 第二段外经为100mm，梁的端部受有集中力F＝12000N， 梁的内径不得小于40mm，梁的许用弯曲应力为180MPa，
F ( X (1) ) f1( X (1) ), f2 ( X (1) ), , fm ( X (1) )T F ( X (2) ) f1( X (2) ), f2 ( X (2) ), , fm ( X (2) )T 若对于每一个分量，都有
fl ( X (1) ) fl ( X (1) ) (l 1, 2, , m) 则显然，X (1)优于X (2)，记为X (1) X (2)
D= x En | g(x) 0, h(x) 0
其中: f (x) =( f1(x),
fm(x) )
g(x) (g1(x) gp (x))
h(x) (h1(x) hq (x))
多目标优化设计几何描述
注意，这里以及 之后的所有讲述 同时适合于线性 和非线性的多目 标优化
为满足所有目标G
在目标空间内，以单目标最小值为分量而形成的点， 称为多目标问题的理想解。
F0
[
f10 ,
f
0 2
,
,
f
0 m
]T
其中
f
0 j

min
fj(X
)
X D Rn
f
f2
f1
f1(0)
f2(0) X(0)
在多目标优化问题中，
由于各个目标间往往是
x
矛盾的，所以一般不存
在使各目标皆达到各自
最优值的理想解。
销售点B1, B2 , B3, B4 .其需要量分别为b1,b2,b3,b4
且
3
ai

4

b，j 已知
Ai到
B j的距离和单位运价分
别为i dij (jkm)和 cij (元),现要决定如何调运多少,
才能使总的吨,公里数和总运费都尽量少?
解: 设变量 xij ,i 1,2,3; j 1,2,3表,4示由 Ai运往 B j 的货物数,
的
i
参数x组成的参数空间
为根据按照目标函数F映射的
y组成的目标函数空间
3. 多目标优化问题解的特点
在单目标优化问题中，任何两个解都可以比较出其优劣，这是 因为单目标优化问题是完全有序的；而在多目标优化设计中， 任何两个解不一定都可以比较出其优劣，这是因为多目标优化 问题是半有序的。
设X (1) , X (2)为多目标优化问题的两个可行解，其对应的 目标函数为
决策空间 可行域
目标空间 可行域
示例2
min F(X ) f1(X ), f2(
x1 ( D22

x22 )

(L

x1)(D12

x22 )
f2(X )

64
3 E

x13
(
D24
1
x24

D14
1
x24
)

L3 D14 x24

确定梁的内径和各段长度，使梁的体积和静挠度最小。
2
1
F
D1=100 D2=80
x2
x1 L=1000
多目标优化设计模型
设计变量：第一段梁的长度x1，梁的内径x2
min F(X ) f1(X ), f2 (X )T
f1(
X
)


4

x1 ( D22

x22
)

(L

x1)(D12

x22
f1
2
1 3
f2
4. 多目标优化方法分类 第一类：转化法。这类多目标最优化方法的基本思想是将多目标 问题转化为一个或一系列的单目标优化问题，通过求解一个或一 系列单目标优化问题来完成多目标优化问题的求解。
第二类：非劣解集法。这类多目标最优化方法的基本思想是求 得多目标问题的非劣解集，然后在非劣解集中进行协调和选择， 确定出优惠解。
第三类：交互协调法。这类多目标最优化方法的基本思想是通 过在分析者与抉择者间的不断交互，逐渐搞清抉择者的选择意 图，获得多目标问题的优惠解。
第二节 多目标优化设计理论
1. 多目标优化设计模型
min F(X ) f1(X ), f2(X ), , fm(X )T
VOP
s.t. gu (X ) 0 u 1, 2, , p
（2） 非劣解（Noninferior Solution）或 Pareto 解
对于可行点XPD，若不存在另一个可行点XD，使
F(X) F(X p)
成立，则称Xp为多目标问题的非劣解。 向量不等式的含义为
f j (X ) f j (X p ) j 1, 2, , m,但至少有一个 fl (X ) fl (X p)
设计变量：产品A的件数x1，产品B的件数x2
目标函数 max f1(X ) 4x1 5x2 max f2 (X ) x1
示例2. 用直径为1(单位长)的圆木制成截面为矩形 的梁,为使重量最轻,而强度最大,问截面的高与宽 应取何尺寸?
解: 设矩形截面的高与宽分别 x1 为和 x2 , 这时
到现在为止，多目标优化不仅在理论上取得许多重要成果， 而且在应用上其范围也越来越广泛，多目标决策作为一个工 具在解决工程技术、经济、管理、军事和系统工程等众多方 面的问题也越来越显示出它强大的生命力。