第二章 连续系统的时域分析
§2.1 引言
LTI连续系统的时域分析，归结为： 建立并求解线性微分方程 由于在其分析过程涉及的函数变量均为时 间t，故称为时域分析法。这种方法比较直观， 物理概念清楚，是学习各种变换域分析法的基 础。
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§2.2、系统数学模型微分方程的建立
复习：R，L，C的电压，电流关系
• 特解的函数形式由激励确定，称为强迫响应。
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特解举例
例2-4：给定微分方程式 2 d r t d r t d e t 2 3r t e t 2 dt dt dt 2 t 1 e t t ; 2 e t e , 分别求两种情况下此 如果已知： 方程的特解。 解: (1)由于e(t)=t2，故特解函数式为
2
rp t B1t B2t B3
将此式代入方程得到
2
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这里，B1， B2， B3，待定系数
2
3B1t 4 B1 3B2 t 2 B1 2 B2 3B3 t 2t
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等式两端各对应幂次的系数应相等，于是有
联解得到
3B1 1 4 B1 3B2 2 2 B 2 B 3B 0 2 3 1
激励f(t) 响应y
t
p
B1t p B2t p 1
B p t B p 1
e
t
Be
t
cos t sin t
B1 cos t B2 sin t
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3. 全解
完全解 = 齐次解 + 特解 由初始值定出齐次解中的待定常数Ci。 • 齐次解的函数形式仅与系统本身的特性有关，而 与激励f(t)的函数形式无关，称为系统的固有响应或 自由响应；
对式(1)两端积分有

0
0
y ''(t ) dt 3 y '(t )dt 2 y (t )dt 2 (t )dt 6 u (t )dt
0 0 0 0
0
0
0
0
由于积分在无穷小区间[0-，0+]进行的，且y(t)在t=0连续， 故 0 0

0
d r (t ) d r (t ) dr (t ) C0 C1 Cn 1 Cn r (t ) n n 1 dt dt dt d m e(t ) d m 1e(t ) de(t ) E0 E1 Em 1 Em e(t ) m m 1 dt dt dt
微分方程的经典解：完全解 = 齐次解 + 特解。
例题
给定如图所示电路， t 0开关S处于1的位置而且已经 达到稳态。当t 0时S由1转向2。建立电流i ( t )的微分 方程并求解i ( t )在 t 0时的变化。
2 S R1 1 1
e t 4 V
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iC t i t C 1F
i L t
1 L H 4 3 R2 2
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§2.2、系统数学模型微分方程的建立
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举例：
• RLC并联电路，给定激励信号为电流源iS(t),求并 联电路的端电压v(t).建立描述系统的微分方程式
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§2.3、用时域经典法求解微分方程
系统的激励信号为e(t)，响应为r(t)。系统的数学 模型用高阶微分方程表示
i L t
1 L H 4 3 R2 2
e t 2 V
d i t C v C t i L t dt 先消去变量v C t ,再消去变量 i L t , 把电路参数代入整理得
d2 d d2 d (1) i t 7 i t 10 i t e t 6 e t 4 e t dt2 dt dt2 dt
2 4 i 0 i L 0 A R1 R2 5
d i 0 0 dt
4 3 6 vC 0 V V 5 2 5
X
d 换路后的 i 0 和 i 0 : dt
1
e t 4 V
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2 S R1 1
1 2 B1 , B 2 , 3 9 10 B3 27
所以，特解为
1 2 2 10 rp t t t 3 9 27
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(2)当e(t)= et 时
特解为rp(t)=B et ，这里，B是待定系数。 代入方程后有：
Be 2 Be 3 Be e e
X
(2)求系统的完全响应
系统的特征方程 2 7 10 0
特征根 齐次解
即 2 5 0
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1 2, 2 5
i h t A1e 2 t A2 e 5 t
e t 4 V
t 0
方程右端自由项为 4 4,因此令特解 ip t B , 代入式(1) 16 8 10 B 4 4 B 10 5 要求系统的完全响应为 8 2t 5t t 0 i t A1e A2e 5 d d2 d d2 i t 7 i t 10i t 2 e t 6 e t 4e t 2 X
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一般情况下，用时域经典法求微分方程的解时用O+ 状态作初始条件。 当系统已经用微分方程表示时，系统的0-状态到0+状态 有无跳变，取决定于微分方程在右端自由项中是否包含 (t)及其各阶导数.若包含有(t)及其各阶导数,说明相应 的变量从0-到0+状态发生了跳变. 当微分方程右端含有冲激函数时，响应r(t)及其各阶导 数中，有些在t=0处将发生跃变。否则不会跃变。
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§2.4．起始点的跳变——从0-到0+状态的转换
“0- 状态”或“起始状态” :0- 表示激励接入之前的瞬时， 激励接入之前的瞬时响应r(t) 及其各阶导数的值。 0+表示激励接入以后的瞬时。 “0+ 状态”或“初始状 态” ：激励接入之后的瞬时响应r(t) 及其各阶导数的值 输入r(t)是在t=0时接入系统，则确定待定系数Ai时用t = 0+时刻的初始值，即r(j)(0+) (j=0,1,2…，n-1)。
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0-和0+初始值举例
例1：描述某系统的微分方程为 y”(t) + 3y’(t) + 2y(t) = 2f’(t) + 6f(t) 已知y(0-)=2，y’(0-)= 0，f(t)=u(t)，求y(0+)和y’(0+)。 解：将输入f(t)=u(t)代入上述微分方程得 y”(t) + 3y’(t) + 2y(t) = 2δ(t) + 6u(t) （ 1） 利用系数匹配法分析：上式对于t=0-也成立，在0-<t<0+ 区间等号两端δ(t)项的系数应相等。 由于等号右端为2δ(t)，故y”(t)应包含冲激函数，从而 y’(t)在t= 0处将发生跃变，即y’(0+)≠y’(0-)。 但y’(t)不含冲激函数，否则y”(t)将含有δ’(t)项。由于 y’(t)中不含δ(t)，故y(t)在t=0处是连续的。 第 19 页 ■ 故 y(0+) = y(0-) = 2
n
n 1
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1. 求齐次解 rh (t )
由特征方程→求出特征根→写出齐次解形式
rh (t ) Ci e
i 1
n
it
注意重根情况处理方法。 1是方程的k阶重根， 则对应于重根部分的解有k项
( Ai t
i 1
k
k i
)e
1t
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齐次解举例
d3 d2 d 求微分方程 3 r t 7 2 r t 16 r t 12r t e t dt dt dt 的齐次解。
i t C 1F
解：系统的特征方程为 特征根
a 7 a 16 a 12 0
3 2
a 2 a 3 0 a1 2 重根 , a 2 3
2
对应的齐次解为
rh t A1t A2 e 2t A3e 3t
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二.求特解
根据微分方程右端函数式形式，设含待定系数的特 解函数式→代入原方程，比较系数定出特解。
y (t ) dt 0, u (t )dt 0
0
于是由上式得 [y’(0+) – y’(0-)] + 3[y(0+) – y(0-)]=2 考虑 y(0+) = y(0-)=2 ，所以 y’(0+) – y’(0-) = 2 ， y’(0+) = y’(0-) + 2 =2
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全解
全解为 y(t)= C1e–2t + C2e–3t + te–2t + P0e–2t = (C1+P0)e–2t +C2e–3t + te–2t 将初始条件代入，得 y(0) = (C1+P0) + C2=1 ，y’(0)= –2(C1+P0) –3C2+1=0 解得 C1 + P0 = 2 ,C2= –1 最后得微分方程的全解为 y(t) = 2e–2t – e–3t + te–2t , t≥0 上式第一项的系数C1+P0= 2，不能区分C1和P0，因而 也不能区分自由响应和强迫响应。