( t t0 ) f ( t )dt f ( t0 )
证明：
（t）f ( t )dt
0
f ( 0 ) ( t )dt f ( 0 )

0
(2) (t)是偶函数(证明参看p22)
( t ) ( t )
( t t0 ) ( t t0 )
四、单位阶跃函数
0 (t 0) 1.定义 ( t ) 1 ( t 0 ) 此函数在t=0处不连续，函数值未定义。
(t) 1
0
t
2. (t) 可代替电路中的开关，故又称为开关函数

U s 1V
2
S(t 0)
1
P

(t)V
P

(a)
(b)
3. (t) 给函数的表示带来方
n
f (t) f (t) f (0) (t) fk (t kt) k 1
f k

f (kt)
f (kt t) [
f (kt) f (kt t)] t t

[ f (t t
) ]t kt

t
fa (t)
f (0)
k 0
t
lim
t 0
f (t)

f (t)
0
f ( ) (t )d

f (t) (t)
2.3 连续时间系统的数学模型
一、线性时不变系统的分析方法 第一步：建立数学模型 第二步：运用数学工具去处理 第三步：对所得的数学解给出物理解释，赋予物理意义。
例一：对图示电路列写电流 的微分方程。
一．实指数信号
函数表示式为： f (t) Aet
f(t)
0
A
0
t
f(t) 0
A
0
t
图2.1实指数信号的波形
f(t)
A
0
0
t
二．复指数信号
函数表示式为:
f (t) Ae( j0 )t
由欧拉公式，可得 f (t) Aet[cos(0t) j sin(0t)]
0 t (k 1)t kt t
0 t
kt t
f (t ) f (t ) f (0)Pt (t) t f (t) tPt (t t) ....
f (kt) tPt (t kt) ......
n
f (kt) tPt (t kt)
1、定义
( t ) 0




(
t
)
dt
(t 1

0)
(t)
（1） 在t 0处奇异
(t t0 )
(1)
0
t
0 t0
t
K (t)
(K)
K称为冲激强度
0t
或
（ （tt） ）
0
(t 0) (t 0)




(
t
)dt
1
或（t）
第二章 连续时间信号与系统时域分析
连续系统的时域分析研究的主要内容是基于信号时域分 解的思想，利用线性时不变系统的特性，得到线性时不变连 续系统在任意激励作用条件下的零状态响应等于系统的冲激 响应和激励信号的卷积积分。
本章重点和难点
重点：
1）熟练掌握典型信号的定义与性质，微分方程的建立与求解； 2）深刻理解系统的特征多项式、特征方程、特征根的意义及求解 3）单位冲激响应与单位阶跃响应的意义及求解； 4）零输入响应和零状态响应； 5）自由响应和强迫响应，瞬态响应和稳态响应

0
1
t

六、符号函数Sgn(t)
1.定义
1 Sgn( t ) 1
(t 0) (t 0)
2. Sgn( t )可用（t）来表示
Sgn(t)
1
0
1
2 (t)

t
0
故Sgn( t ) 2 ( t ) 1
Sgn(t)
1
0
t
1
1
t
0t
七、单位斜变函数R(t)
R(t)
1.定义
(t)
n k 1
[
f (t t
)
]t
kt
t (t kt)
t
lim
t 0
f (t)

f (t)
f (0) (t)
f ( ) (t )d
0
F 例3.任意函数表示为冲激函数的积分.(例2.3)
f (t)
fa (t)
fa (t) f (0)
F动画演示
a
a
故（at） 1 (t)
a
a0 a0
九、 冲激偶函数 '(t)
1、定义

'(t)

d (t)
dt

d
2 (t )
dt 2
或
'
(t
im
0
)
d
1


(t


2
)


(t


2
)

dt
im0 1


(t


2
)
f(t)
0
A
f(t)
0
A
f(t)
A
0
0
t
-A
0
t
-A
0
t
-A
图2.2 复指数信号实部和虚部的波形
f (t ) Ae( j0 )t
根据 、 0 的不同取值，复指数信号可表示为下列几种特殊信号：
1．当 0 0 时， f (t) A 为直流信号；
2．当 0 0 而 0 时， f (t ) et 为实指数信号；
1、定义
0( t 0 )
P ( t
)
1


(0

t


)
0( t )
P (t)
1
面积为 1

0

t
2. P ( t )可用（t）来表示
P (t)
1

0

t=
故P
(
t
)

1

(
t
)

(
t


)
1 (t) 1
0
t+
1 (t )
难点：
掌握卷积积分的定义、运算规律及主要性质，并会应用卷积积 分法求线性时不变系统的零状态响应。
第二章 连续时间信号与系统的时域分析
本章教学内容
F 常用典型信号 F 连续时间信号的分解 F 连续时间系统的数学模型 F 连续时间系统的时域模拟 F 连续时间系统的响应 F 单位冲激响应 F 卷积
2.1 常用典型信号
q(0 )
0
0_ ic ( )d
0

(t
பைடு நூலகம்
)dt

1库仑
0_
2.2 连续时间信号分解
分解——将时间函数用若干个奇异函数之和来表示。 例1.有始周期锯齿波的分解
f (t)
A 0T
f (t) 0,t 0
2T 3T
t
f1(t) f2(t)
A
T
0
2T

t
f1(t)
A
0


(t


2
)
1
(1)



2
0
2
t
(1)
矩形脉冲的导数
t 从负 0
' (t)
(1)
0
t t 从正 0
2、 '(t)的基本性质
①. ' (t t0 ) '(t t0 ) 奇函数
②.

f (t ) '(t t0 )dt f '(t0 )
T
f2(t) A(t T)
A
t 0
A
T
t
A(t T)
f1(t)
f2 (t)
A T
R(t)

A (t
T)
故
A
f (t) R(t) A (t T ) A (t 2T ) .........
T

A
R(t) A T
(t n T)
n 1
③.

'(t)dt 0

④. f (t) '(t) f (0) '(t) f '(0) (t)
引入广义函数后，瞬息物理现象则可由奇异函数来描述，例如：
K (t 0)

ic
1_V
U c _ C 1F
Uc (0 ) 0V Uc (0 ) 1V
q(0 ) CUc (0 ) 1C
lim
0
P (
t
)

lim
0
(
t
)

(
t


)

d( t
dt
)
(4)、 (at) 1 (t )
a
1
证明：

(at )dt

a

1
(at)d(at) 1

( )d

a

(at)d(at)
1

( )d