指数函数和对数函数
1、指数函数：
定义：函数()
y a a a x =>≠01且叫指数函数。
定义域为R ，底数是常数，指数是自变量。
为什么要求函数y a
x
=中的a 必须a a >≠01且。
因为若a <0时，()y x
=-4，当x =
1
4
时，函数值不存在。
a =0，y x =0，当x ≤0，函数值不存在。
a =1时，y x
=1对一切x 虽有意义，函数值恒
为1，但y x
=1的反函数不存在， 因为要求函数y a x =中的a a >≠01且。
1、对三个指数函数y y y x
x
x
==⎛⎝ ⎫
⎭
⎪=21210，，的图象的认识。
图象特征与函数性质：
图象特征
函数性质
（1）图象都位于x 轴上方； （1）x 取任何实数值时，都有a x >0； （2）图象都经过点（0，1）；
（2）无论a 取任何正数，x =0时，y =1；
（3）y y x
x
==210，在第一象限内的纵坐
标都大于1，在第二象限内的纵坐标都小于1，y x
=⎛⎝ ⎫⎭⎪12的图象正好相反； （3）当a >1时，x a x a x
x
>><<⎧⎨⎪⎩⎪01
01
，则，则 当01<<a 时，x a x a x x
><<>⎧⎨⎪⎩⎪0101
，则，则
（4）y y x
x
==210，的图象自左到右逐渐上升，y x
=⎛⎝ ⎫
⎭
⎪12的图象逐渐下降。
（4）当a >1时，y a x
=是增函数，
当01<<a 时，y a x
=是减函数。
对图象的进一步认识，（通过三个函数相互关系的比较）：
①所有指数函数的图象交叉相交于点（0，1），如y x
=2和y x
=10相交于()01，，
当x >0时，y x
=10的图象在y x
=2的图象的上方，当x <0，刚好相反，故有102
22
>及1022
2--<。
②y x
=2与y x
=⎛⎝ ⎫⎭
⎪12的图象关于y 轴对称。
③通过y x
=2，y x
=10，y x
=⎛⎝ ⎫⎭
⎪12三个函数图象，可以画出任意一个函数y a
x
=（a a >≠01且）的示意图，如y x
=3的图象，一定位于y x
=2和y x
=10两个图象的中
间，且过点()01，，从而y x =⎛⎝ ⎫⎭⎪13也由关于y 轴的对称性，可得y x
=⎛⎝ ⎫
⎭
⎪13的示意图，即
通过有限个函数的图象进一步认识无限个函数的图象。
2、对数：
定义：如果a N a a b
=>≠()01且，那么数b 就叫做以a 为底的对数，记作b N a =log （a 是底数，N 是真数，log a N 是对数式。
）
由于N a b =>0故log a N 中N 必须大于0。
当N 为零的负数时对数不存在。
（1）对数式与指数式的互化。
由于对数是新学的，常常把不熟悉的对数式转化为指数式解决问题，如：
求log .032524⎛⎝
⎫
⎭
⎪
分析：对于初学者来说，对上述问题一般是束手无策，若将它写成log .032524⎛⎝
⎫
⎭
⎪=x 再改写为指数式就比较好办。
解：设log .032524⎛⎝ ⎫⎭
⎪=x
则即∴即03252
4
8258251
2
5241
212
032.log .x x
x =
⎛⎝ ⎫⎭⎪=⎛⎝ ⎫⎭⎪=-
⎛⎝ ⎫⎭
⎪=-
-
评述：由对数式化为指数式可以解决问题，反之由指数式化为对数式也能解决问题，因此必须因题而异。
如求35x
=中的x ，化为对数式x =log 35即成。
（2）对数恒等式： 由a N
b N b
a ==()log ()12
将（2）代入（1）得a N a N
log =
运用对数恒等式时要注意此式的特点，不能乱用，特别是注意转化时必须幂的底数和
对数的底数相同。
计算：
()
3
13
2
-log
解：原式==⎛⎝ ⎫⎭
⎪-=3
131
2
222
13
1
3
log log 。
（3）对数的性质：
①负数和零没有对数； ②1的对数是零； ③底数的对数等于1。
（4）对数的运算法则：
①()()log log log a a a MN M N
M N R =+∈+
，
②()log log log a
a
a
M
N
M N M N R =-∈+
，
③()()log log a n a
N n N N R =∈+
④()log log a n a
N n
N N R =∈+
1
3、对数函数：
定义：指数函数y a a a x
=>≠()01且的反函数y x a =log x ∈+∞(,)0叫做对数函数。
1、对三个对数函数y x y x ==log log 212
，，
y x =lg 的图象的认识。
图象特征与函数性质：
图象特征
函数性质
（1）图象都位于 y 轴右侧； （1）定义域：R +
，值或：R ；
（2）图象都过点（1，0）；
（2）x =1时，y =0。
即log a 10=；
（3）y x =log 2，y x =lg 当x >1时，图象在x 轴上方，当00<<x 时，图象在x 轴下方，y x =log 12
与上述情况刚好相反； （3）当a >1时，若x >1，则y >0，若01<<x ，则y <0； 当01<<a 时，若x >0，则y <0，若
01<<x 时，则y >0；
（4）y x y x ==log lg 2，从左向右图象是上升，而y x =log 12
从左向右图象是下降。
（4）a >1时，y x a =log 是增函数； 01<<a 时，y x a =log 是减函数。
对图象的进一步的认识（通过三个函数图象的相互关系的比较）：
（1）所有对数函数的图象都过点（1,0），但是y x =log 2与y x =lg 在点（1,0）曲线是交叉的，即当x >0时，y x =log 2的图象在y x =lg 的图象上方；而01<<x 时，
y x =log 2的图象在y x =lg 的图象的下方，故有：log .lg .21515>；log .lg .20101<。
（2）y x =log 2的图象与y x =log 12
的图象关于x 轴对称。
（3）通过y x =log 2，y x =lg ，y x =log 12
三个函数图象，可以作出任意一个对数
函数的示意图，如作y x =log 3的图象，它一定位于y x =log 2和y x =lg 两个图象的中间，且过点（1,0），x >0时，在y x =lg 的上方，而位于y x =log 2的下方，01<<x 时，刚好相反，则对称性，可知y x =log 13
的示意图。
因而通过课本上的三个函数的图象进一步认识无限个函数的图象。
4、对数换底公式：
log log log log (.)log b a a n e g N N b
L N N e N L N N =
===其中…称为的自然对数称为常数对数
27182810 由换底公式可得：
L N N e N
N n =
==lg lg lg ..lg 04343
2303 由换底公式推出一些常用的结论：
（1）log log log log a b a b b a b a ==1
1或·
（2）log log a m
a n
b m n
b =
（3）log log a n a n b b =
（4）log a m
n a
m n
=
5、指数方程与对数方程*
定义：在指数里含有未知数的方程称指数方程。
在对数符号后面含有未知数的方程称对数方程。
由于指数运算及对数运算不是一般的代数运算，故指数方程对数方程不是代数方程而
属于超越方程。