2017年上海市高三二模数学填选难题解析2017-4-251. 虹口11. 在直角△ABC 中，2A π∠=，1AB =，2AC =，M 是△ABC 内一点，且12AM =，若AM AB AC λμ=+，则2λμ+的最大值为【解析】将直角三角形放入直角坐标系中，问题可以 简化，(0,0)A 、(0,1)B 、(2,0)C 、(cos ,sin )M θθ(0,)2πθ∈，11(cos ,sin )22AM θθ=，AB AC λμ+(0,1)(2,0)(2,)λμμλ=+=，112sin cos )22242πλμθθθ+=+=+≤. 12. 无穷数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对任意的正整数n 都有12310{,,,,}n S k k k k ∈，10a 的可能取值最多．．有_____ 个【解析】若910S S =，100a =；若910S S ≠，在12310{,,,,}k k k k 中有序任取2个作为9S 和10S ，10109a S S =-，有21090P =种取法；所以综上最多有91个16. 已知点(,)M a b 与点(0,1)N -在直线3450x y -+=的两侧，给出以下结论：①3450x y -+>；② 当0a >时，a b +有最小值，无最大值；③ 221a b +>；④ 当0a >且1a ≠时，11b a +-的取值范围是93(,)(,)44-∞-+∞.正确的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【解析】① ∵将(0,1)N -代入304(1)50⨯-⨯-+>，∴将(,)M a b 代入3450x y -+<；② ∵(,)M a b 取不到点5(0,)4，∴没有最小值；③ ||MO 大于点O 到直线3450x y -+=的距离1d =，∴221a b +>； ④ 可看作点(,)M a b 与点(1,1)-连线的斜率，数形结合可知斜率范围 为93(,)(,)44-∞-+∞；③④正确，选B 2. 黄浦11. 三棱锥P ABC -满足：AB AC ⊥，AB AP ⊥，2AB =，4AP AC +=，则该三棱锥的体积V 的取值范围是【解析】1233APC APC V S AB S ∆∆=⋅⋅=，12APC S AC AP ∆≤⋅⋅∵4AP AC +=≥，∴4AC AP ⋅≤，122APC S AC AP ∆≤⋅⋅≤，∴4(0,]3V ∈12. 对于数列{}n a ，若存在正整数T ，对于任意正整数n 都有n T n a a +=成立，则称数列{}n a 是以T 为周期的周期数列，设1b m =(01)m <<，对任意正整数n 有11,11,01n n n n nb b b b b +->⎧⎪=⎨<≤⎪⎩，若数列{}n b 是以5为周期的周期数列，则m 的值可以是 （只要求填写满足条件的一个m 值即可）【解析】1b m =，21b m =，311b m =-. 观察可得12m =不符（1）当1(0,)2m ∈，412b m =-；（2）当1(,1)2m ∈，41m b m =-；① 1(0,)3m ∈，513b m =-； ② 11[,)32m ∈，512m b m =-；③ 1(,1)2m ∈，5211m b m -=-；a. 当1(0,)4m ∈，614b m =-；614b m m =-=，解得2m =，舍去负值b. 当11[,)43m ∈，613mb m m==-，解得0m =，舍去c. 当11[,)32m ∈，63112m b m m-==-，解得m =d. 当12(,]23m ∈，6121m b m m -==-，解得2m =，舍去 e. 当2(,1)3m ∈，6321m b m m-==-，解得1m =，舍去负值综上，2m =或m =1m = 16. 如图所示，23BAC π∠=，圆M 与AB 、AC 分别相切于点D 、E ，1AD =，点P 是圆M 及其内部任意一点，且AP x AD y AE =+(,)x y R ∈，则x y +取值范围是（ ）A. [1,4+B. [4-+C. [1,2+D. [2-+【解析】如图所示，当P 点位于右图位置时，x y +最大，此时2MA =，MD MP ==2AP AH AG ===，∴2x y ==+，4x y +=+P 位于线段MA 与M 的交点时，可得最小值4x y +=- B.3. 杨浦11. 已知0a >，0b >，当21(4)a b ab++取到最小值时，b = 【解析】2221111(4)16888168a b a b ab ab ab ab ab ab ab ab ++=+++≥++=+≥，当1164ab ab==且4a b =时等号成立，即1a =，14b =12. 设函数()||||a f x x x a =+-，当a 在实数范围内变化时，在圆盘221x y +≤内，且不在任一()a f x 的图像上的点的全体组成的图形的面积为【解析】根据题意，()||||||a f a a a a a =+-=，即 当a 在实数范围内变化时，图像一个分段点为(,||)a a ， 该点轨迹为||y x =，∴结合图像可得图像面积为34π 16. 对于定义在R 上的函数()f x ，若存在正常数a 、b ，使得()()f x a f x b +≤+对一切x R ∈均成立，则称()f x是“控制增长函数”，在以下四个函数中：① 2()1f x x x =++；② ()f x = 2()sin()f x x =；④()sin f x x x =⋅.是“控制增长函数”的有（ ）A. ②③B. ③④C. ②③④D. ①②④ 【解析】① 2()()2f x a f x ax a a R +-=++∈，不成立；② 存在1a =，1b =， 使得不等式(1)()1f x f x +-≤恒成立；③ 存在2b =，使得()()2f x a f x +-≤恒成立；③ 存在2a π=，2b π=，使得(2)()(2)sin(2)sin 2sin 2f x f x x x x x x πππππ+-=++-=≤恒成立；故选C.4. 奉贤11. 已知实数x 、y 满足方程22(1)(1)1x a y -++-=，当0y b ≤≤()b R ∈时，由此方程可以确定一个偶函数()y f x =，则抛物线212y x =-的焦点F 到点(,)a b 的轨迹上点的距离最大值为【解析】根据题意，∵偶函数，∴1a =，∵是一个函数，∴[0,1]b ∈，即点(,)a b 的轨迹是一条线段，抛物线的焦点1(0,)2F -，数形结合可知，焦点F 到(1,1)12. 设1x 、2x 、3x 、4x 为自然数1、2、3、4的一个全排列，且满足1234|1||2||3||4|6x x x x -+-+-+-=，则这样的排列有 个【解析】若11x =，2x 、3x 、4x 共有6种排列，一一代入，没有符合的情况； 若12x =，2x 、3x 、4x 有6种排列，符合情况的有2431、2413、2341三种排列； 若13x =，2x 、3x 、4x 有6种排列，符合情况的有3142、3241两种排列；若14x =，2x 、3x 、4x 有6种排列，符合情况的有4123、4132、4213、4231四种排列； 综上，符合条件的排列共有9个16. 如图，在△ABC 中，BC a =，AC b =，AB c =，O 是△ABC 的外心，OD BC ⊥于D ，OE AC ⊥于E ，OF AB ⊥于F ，则::OD OE OF 等于（ ） A. ::a b c B.111::a b cC. sin :sin :sin A B CD. cos :cos :cos A B C【解析】如右图所示，::::cos 1:cos 2:cos 3OD OE OFOD OE OF OB OC OA==∠∠∠，根据圆的性质， 112BOC A ∠=∠=∠，同理2B ∠=∠，3C ∠=∠，故选D5. 长宁金山青浦11. 已知函数()||f x x x a =-，若对任意1[2,3]x ∈，2[2,3]x ∈，12x x ≠，恒有1212()()()22x x f x f x f ++>，则实数a 的取值范围为【解析】根据题意，()||f x x x a =-在[2,3]上为上凸函数（图像上表现为在[2,3]上的函数图象在两区间端点连线的上方），数形结合可得3a ≥ 12. 对于给定的实数0k >，函数()kf x x=的图像上总存在点C ，使得以C 为圆心，1为半径的圆上有两个不同的点到原点O 的距离为1，则k 的取值范围是【解析】根据题意，即函数图像上至少有一点到原点的距离小于2，∵2222k x k x+≥，2<，解得(0,2)k ∈. 或者数形结合，这个距离原点最近的点在y x =上，代入2<，解得(0,2)k ∈.16. 设1x 、2x 、…、10x 为1、2、…、10的一个排列，则满足对任意正整数m 、n ，且110m n ≤<≤，都有m n x m x n +≤+成立的不同排列的个数为（ ）A. 512B. 256C. 255D. 64【解析】直接思考这个问题会有难度，我们可以改变一些条件，试着从简单开始① 比如前9个数字固定排列为1、2、3、4、5、6、7、8、9，那么最后一个数字只能是10，这时候符合条件的排列个数为1；② 放宽条件，比如前8个数字固定排列为1、2、3、4、5、6、7、8，那么最后2个数字可以是9、10，也可以是10、9，符合条件的排列个数为2；③ 再放宽条件，比如前7个数字固定排列为1、2、3、4、5、6、7，那么最后3个数字可以是8、9、10，或8、10、9，或9、8、10，或10、9、8，符合条件的排列个数为4； ……，继续放宽条件，当前6个数字固定排列为1、2、3、4、5、6时，符合的有8个； 规律出来了，以此类推下去，……，当前2个数字固定为1、2时，符合的有72个， 当第一个数字固定为1时，符合的有82个，当这列数全排列时，符合的有92个.6. 浦东11. 已知各项均为正数的数列{}n a 满足11(2)(1)0n n n n a a a a ++--=*()n N ∈，且110a a =，则首项1a 所有可能取值中最大值为 【解析】根据题意，112n n a a +=或11n n a a +=，取极端情况，1982a a =，81019112a a a a ===∴2812a =，41216a ==. 12. 已知平面上三个不同的单位向量a 、b 、c 满足12a b b c ⋅=⋅=，若e 为平面内的任意单位向量，则 ||2||3||a e b e c e ⋅+⋅+⋅的最大值为【解析】如图构造，31(,)22a =-，(0,1)b =，31(,)22c =， 设(cos ,sin )e θθ=，根据题意，||2||3||a e b e c e ⋅+⋅+⋅=11sin |2|sin |3|sin |22θθθθθ-+++，要取 得最大，∴||2||3||23cos 3sin a e b e c e θθ⋅+⋅+⋅=+≤16. 已知等比数列1a 、2a 、3a 、4a 满足)1,0(1∈a ，)2,1(2∈a ，)4,2(3∈a ，则4a 的取值范围是（ ） A.(3,8) B. (2,16) C. (4,8) D. 【解析】33221(1,4)a q a aa ==⋅∈，233111(2,)a q a a a ==⋅∈+∞，综上，q ∈，∴43a a q =⋅∈，故选D.7. 闵行11. 已知定点(1,1)A ，动点P 在圆221x y +=上，点P 关于直线y x =的对称点为P '，向量AQ OP '=，O 是坐标原点，则||PQ 的取值范围是【解析】设(cos ,sin )P θθ'，∵OQ OA AQ OA OP '=+=+， ∴Q 坐标为(cos 1,sin 1)θθ++，∵(sin ,cos )P θθ，∴222||(cos 1sin )(sin 1cos )PQ θθθθ=+-++-22(sin cos)242sin 2[2,6]θθθ=-+=-∈∴||PQ 的取值范围是.12. 已知递增数列{}n a 共有2017项，且各项均不为零，20171a =，如果从{}n a 中任取两项i a 、j a ，当i j <时，j i a a -仍是数列{}n a 中的项，则数列{}n a 的各项和2017S =【解析】∵递增，∴1232017a a a a <<<⋅⋅⋅<，∵当i j <时，j i a a -仍是数列{}n a 中的项， ∴213141201710a a a a a a a a <-<-<-<⋅⋅⋅<-，且1j a a -都是数列{}n a 中的项， ∴201712016a a a -=、201612015a a a -=、…、211a a a -=，∴{}n a 是首项为1a ，公差为1a 的等差数列，根据201711201620171a a d a =+==，可得112017a d ==，∴20171009S =. 16. 设函数()y f x =的定义域是R ，对于以下四个命题： ① 若()y f x =是奇函数，则(())y f f x =也是奇函数； ② 若()y f x =是周期函数，则(())y f f x =也是周期函数； ③ 若()y f x =是单调递减函数，则(())y f f x =也是单调递减函数；④ 若函数()y f x =存在反函数1()y f x -=，且函数1()()y f x f x -=-有零点，则函数()y f x x =-也有零点. 其中正确的命题共有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【解析】① ∵()y f x =是奇函数，∴()()f x f x -=-， ∴(())(())(())f f x f f x f f x -=-=-，∴①正确； ②()()f x T f x +=，(())(())f f x T f f x +=，②正确； ③ 当x 增大，()f x 减小，(())f f x 增大，∴③错误； ④ 反例如图所示，④错误；故①②正确，选B.8. 普陀11. 设0a <，若不等式22sin (1)cos 10x a x a +-+-≥对于任意的R x ∈恒成立，则a 的取值范围是 【解析】由22sin (1)cos 10x a x a +-+-≥得22cos (1)cos 0x a x a -+-+≥，设cos t x =， 即22()(1)0f t t a t a =+--≤对[1,1]t ∈-恒成立，∴22(1)40a a ∆=-+>，2(1)110f a a -=+--≤，2(1)110f a a =+--≤，0a <，综上解得2a ≤-.12. 在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，M 是直线DE 上的动点. 若△ABC 的面积为1，则2MB MC BC ⋅+的最小值为【解析】取BC 中点F ，12MB MF FB MF BC =+=-， 12MC MF FC MF BC=+=+，∴2MB MC BC ⋅+=22222133||||44MF BC BC MF BC MF BC -+=+≥⋅∵11||||22MBC MF BC S ∆⋅≥=，即||||1MF BC ⋅≥，∴23MB MC BC ⋅+≥16. 关于函数2sin y x =的判断，正确的是（ ） A. 最小正周期为2π，值域为[1,1]-，在区间[,]22ππ-上是单调减函数 B. 最小正周期为π，值域为[1,1]-，在区间[0,]2π上是单调减函数C. 最小正周期为π，值域为[0,1]，在区间[0,]2π上是单调增函数D. 最小正周期为2π，值域为[0,1]，在区间[,]22ππ-上是单调增函数 【解析】21cos2sin 2xy x -==，T π=，排除A 、D ，2sin 0y x =≥，排除B ，故选C. 9. 徐汇11. 如图：在△ABC 中，M 为BC 上不同于B 、C 的任意一点，点N 满足2AN NM =，若AN xAB y AC =+， 则229x y +的最小值为【解析】23AN xAB y AC AM =+=，∴3322AM xAB y AC =+，∵B 、M 、C 三点共线，∴33122x y +=，即23x y +=，∴222222299()1012435x y x x x x +=+-=-+≥.12. 设单调函数()y p x =的定义域为D ，值域为A ，如果单调函数()y q x =使得函数(())y p q x =的值域也是A ，则称函数()y q x =是函数()y p x =的一个“保值域函数”，已知定义域为[,]a b 的函数2()|3|h x x =-，函数()f x 与()g x 互为反函数，且()h x 是()f x 的一个“保值域函数”， ()g x 是()h x 的一个“保值域函数”，则b a -= 【解析】∵()f x 、()g x 、()h x 都是单调函数，且根据题意，(())f h x 与()f x 值域相同，(())h g x 与()h x 值域相同，∴()[,]g x a b ∈，∵()f x 与()g x 互为反函数，∴()f x 定义域为[,]a b ，∴()[,]h x a b ∈，∴()h x 的定义域和值域均为[,]a b ，根据数形结合，a 、b 为23x x=-两解，∴1a =，2b =，1b a -=. 16. 过椭圆2214x y m m +=-(4)m >右焦点F 的圆与圆22:1O x y +=外切，则该圆直径FQ 的端点Q 的轨迹是（ ）A. 一条射线B. 两条射线C. 双曲线的一支D. 抛物线【解析】数形结合，设椭圆左焦点为F '，FQ 中点为P ，联结OP 、F Q '，∴OP 是中位线，∴2()2()2F Q FQ PO PF PO PA '-=-=-=，这符合双曲线的定义，故选C.10. 静安10. 若适合不等式2|4||3|5x x k x -++-≤的x 最大值为3，则实数k 的值为 【解析】当3x =时，2|4||3|5x x k x -++-=，即|3|5k -=，∴8k =，2k =-. ① 当8k =，2|48||3|5x x x -++-≤，即243|3|0x x x -++-≤，若3x >， 则230x x -≤，得03x ≤≤，不符，若3x ≤，2560x x -+≤，解得23x ≤≤， ∴8k =时，不等式的解为23x ≤≤，符合题意.② 当2k =-，2|42||3|5x x x --+-≤，找个反例即可，4x =符合不等式，但大于3，∴2k =-不符，综上，8k =.11. 已知1()1x f x x -=+，数列{}n a 满足112a =，对于任意*n N ∈都满足2()n n a f a +=，且0n a >，若2018a a =，则20162017a a +=【解析】∵2018a a =，∴18181811a a a -=+，解得20181a a ==，同理22242016a a a ==⋅⋅⋅=1=. 根据112a =，∴313a =，∴512a =，713a =，…，可归纳出4112k a +=，4313k a +=∴20174504112a a ⨯+==，∴20162017a a +=11122-+=15. 曲线C 为：到两定点(2,0)M -、(2,0)N 的距离乘积为常数16的动点P 的轨迹，以下结论： ① 曲线C 经过原点；② 曲线C 关于x 轴对称，但不关于y 轴对称；③ △MPN 的面积不大于8；④ 曲线C 在一个面积为60的矩形范围内. 其中正确的个数为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【解析】① 设原点为O ，22416OM ON ⋅=⨯=≠，∴不经过原点；②列出轨迹的表达式，16=，可知若点(,)P x y 在曲线上，代入1(,)P x y -、 2(,)P x y -、3(,)P x y --，方程均成立，∴既关于x 轴对称，也关于y 轴对称，关于原点对称；③ 11sin 822S PM PN P PM PN =⋅⋅∠≤⋅=；④ 当0x =时，y =±0y =时，x =±，由点(±±构成的矩形面积为60>；∴只有③正确，故选B.【附】16=的精确图像11. 崇明11. 已知函数22sin(),0()3cos(),0x x x f x x x x πα⎧++>⎪=⎨⎪-++<⎩，[0,2)απ∈是奇函数，则α=【解析】当0x >，则0x -<，∵()()f x f x -=-，∴2()cos()f x x x α-=-+-+，2()sin()3f x x x π-=--+，∴5cos()sin()sin()cos()336x x x x πππα-+=-+=--=+，即5cos()cos()6x x πα-=+在定义域上恒成立，∴526k παπ=-+，∴76πα=.PM MQ ⋅的最大值是【解析】()()PM MQ PO OM MO OQ ⋅=+⋅+22()()PO OM PO OM PO OM =+⋅-=-，∵边长为O 半径为2，即24PM MQ OM ⋅=-，OM 最小值为1 即PM MQ ⋅的最大值是316. 设函数()x x x f x a b c =+-，其中0c a >>，0c b >>，若a 、b 、c 是△ABC 的三条边长，则下列结论：① 对于一切(,1)x ∈-∞都有()0f x >；② 存在0x >使x xa 、x b 、x c 不能构成一个三角形的三边长；③ 若△ABC 为钝角三角形，存在(1,2)x ∈，使()0f x =. 其中正确的个数为（ ） A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个【解析】① ()[()()1]x x x a b f x c c c =+-，设()()()1x x a b g x c c =+-，可知(0,1)a c ∈，(0,1)bc ∈，∴()g x 单调递减，当1x <，()(1)10a bg x g c c>=+->，∴()0f x >，正确；② 举反例，令2a =，3b =，4c =，存在3x =，3333234⋅+<，不能构成三角形；③ △ABC 为钝角三角形，∴2220a b c +-<，即(2)0f <，∵0a b c +->，即(1)0f >，∴()f x 在(1,2)上必有零点，正确. 综上所述，正确个数为3个，选A.12. 松江11. 如图同心圆中，大、小圆的半径分别为2和1，点P 在大圆上，PA 与小圆相切于点A ，Q 为小圆上的点，则PA PQ ⋅的取值范围是【解析】结合向量数量积的几何意义，PA PQ ⋅等于||PA 乘以PQ 在PA 方向上的投影，∵2OP =，1OA =，∴||3PA =，如中图所示，投影最大，PA PQ PA PB ⋅=⋅=1)3+=+，如右图，投影最小，1)3PA PQ PA PC ⋅=⋅==-[3+.12题、16题同闵行12题、16题13. 嘉定11. 设等差数列{}n a 的各项都是正数，前n 项和为n S ，公差为d . 若数列也是公差为d 的等差数列，则}{n a 的通项公式为n a =【解析】1(1)2n n n S na d -=+，也是等差数列，∴22n dS n =2=，公差相同，∴2d =，∴12d =或0（舍），1124d a ==，∴124n n a =-.12. 设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数（如[2.32]2=，[ 4.76]5-=-），对于给定的*n ∈N ，定义(1)([]1)(1)([]1)x n n n n x C x x x x --+=--+，其中[1,)x ∈+∞，则当3[,3)2x ∈时，函数xC x f 10)(=的值域是【解析】当3[,2)2x ∈，[]1x =，101020(5,]3xC x =∈；当[2,3)x ∈，[]2x =，1090(1)xC x x =-，(1)[2,6)x x -∈， ∴90(15,45](1)x x ∈-；综上，值域为20(5,](15,45]3. 16. 已知()f x 是偶函数，且()f x 在[0,)+∞上是增函数，若(1)(2)f ax f x +≤-在1[,1]2x ∈上恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A. [2,1]-B. [2,0]-C. [1,1]-D. [1,0]- 【解析】由题得，|1|2ax x +≤-在1[,1]2x ∈时恒成立，设()|1|g x ax =+，()2h x x =-，()g x 恒过定点(0,1)，数形结合可知，只需满足(1)(1)g h ≤，即|1|1a +≤，∴[2,0]a ∈-，故选B.14. 宝山11. 设向量(,)m x y =，(,)n x y =-，P 为曲线1m n ⋅=(0)x >上的一个动点，若点P 到直线10x y -+=的距离大于λ恒成立，则实数λ的最大值为【解析】1m n ⋅=即221x y -=(0)x >，根据题意，实数λ的最大值即直线1y x =+与一条渐近线y x =之间的距离，∴d ==λ最大值为212题同长宁16题15. 如图，在同一平面内，点P 位于两平行直线1l 、2l 两侧，且P 到1l 、2l 距离分别为1、3，点M 、N 分别在1l 、2l 上，||8PM PN +=，则PM PN ⋅的最大值为（ ）A. 15B. 12C. 10D. 9【解析】取MN 中点O ，222()()16PM PN PO OM PO ON PO OM OM ⋅=+⋅+=-=-，∵1l 、2l 之间距离为2，∴2OM 最小值为1，即PM PN ⋅的最大值为15，选A.1116. 若存在t R ∈与正数m ，使()()F t m F t m -=+成立，则称“函数()F x 在x t =处存在距离为2m 的对称点”，设2()x f x xλ+=(0)x >，若对于任意t ∈，总存在正数m ，使得“函数()f x 在x t =处存在距离为2m 的对称点”，则实数λ取值范围是（ ）A. (0,2]B. (1,2]C. [1,2]D. [1,4]【解析】()()f t m f t m +=-，∴t m t m t m t m λλ++=-++-，2m t m t m λλ=--+，化简得：22t m λ=-，即220m t λ=->恒成立，2t λ<，∴02λ<≤，选A.本题如果理解了题意，可以从图像角度秒解如图所示，A 、B 为两对称点，满足()()f t m f t m +=-， 线段AB 中垂线为x t =t <即2t λ<，∴02λ<≤。