中考数学“折叠”问题分析平顶山市第二十七中学高国普2019年4月中考数学“折叠”问题分析一、近年来河南中考数学题中“折叠”考查内容①直接考查折叠的性质（全等变换）；与点坐标、角度结合，借助折叠（轴对称）的性质转移边、角，一般作为选择、填空题中的简单题、中等题进行考查。
②在考查折叠的性质同时，对折叠作图提出了要求；结合起来考查，以特殊△、正方形、矩形的折叠为背景，考查学生分类作图、分析转化、设计方案求解的能力，一般作为填空题中的小压轴出现。
③将折叠作为背景放在综合问题中进行考查，侧重考查折叠特征的理解以及常见相关的常见组合搭配、套路等二、轴对称（折叠）的思考层次（1）全等变换：对应边相等、对应角相等．（2）对称轴性质：①对应点所连线段被对称轴垂直平分；②对称轴上的点到对应点的距离相等。
（3）组合搭配：矩形背景下常出现等腰三角形、两次折叠常出现直角，60°角；折叠会出现圆弧等．（4）作图：关注对称轴和对应点，有时需要依据不变特征分析转化，补全图形。
三、15题基本解题步骤：1．研究背景图形：求解边、角；表达式、坐标（尤其注意特殊角）2．组合特征、辨识结构：先考虑折叠，根据折叠的思考层次尝试分析；然后从存在性问题出发，考虑不变特征以及需要满足的条件因素；两者组合进行分析.3．依据特征分类，作图4．求解、验证应用举例如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的B'处，点A的对应点为A'，且B'C=3，则BN=______，AM=______ ，MN=______.四、直角思考层次：1.边：勾股定理2.角：互余（常多个直角配合进行角的传递）3.面积：看作高（考虑等积公式）4.常见组合搭配①直角+中点（直角三角形斜边中线等于斜边一半)②直角+特殊角（由特殊角构造直角三角形）③直角+角平分线（等腰三角形三线合一）④直角三角形斜边上的高（母子型相似）⑤弦图结构⑥三等角模型⑦斜直角放正⑧十字模型5.函数背景下：6.圆背景下：90°圆周角——直径注：常由顶点移动的90°直角考虑该顶点所在的圆应用举例直角结构——固定用法“斜直角放正”①一线三等角如图，面积为24的正方形ABCD 中，有一个小正方形EFGH ，其中E ，F ，G 分别在AB ，BC ，FD 上．若BF= ，则小正方形的周长为 。
应用举例【2016年第15题】如图，已知AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AB=3．点E 为射线BC 上一个动点，连接AE ，将△ABE 沿AE 折叠，点B 落在点B ′处，过点B ′作AD 的垂线，分别交AD ，BC 于点M ，N ．当点B ′为线段MN 的三等分点时，BE 的长为_______．(2016郑州二模)已知一个矩形纸片OABC ，OA=6，点P 为AB 边上一点，AP=2，将△OAP 沿OP 折叠，点A 落在点A ′处，延长PA ′交边OC 与点D ，经过点P 再次折叠纸片，使点B 落在边OC 上的点D 处，则AB 的长为____________．【2017年第15题】如图，在Rt △ABC 中，∠A=90°，AB=AC ，BC= ，点M ，N 分别是边BC ，AB 上的动点，沿MN 所在的直线折叠∠B ，使点B 的对应点B ′始终落在边AC 上．若△MB ′C 为直角三角形，则BM 的长为__________．【2018·T15】如图，∠MAN=90°，点C 在边AM 上，AC=4，点B 为边AN 上一动点，连接BC ，△A ′BC 与△ABC 关于BC 所在直线对称．D ，E 分别为AC ，BC 的中点，连接DE 并延长交A ′B 所在直线于点F ，连接A ′E ．当△A ′EF 为直角三角形时，AB 的长为____________．五、折叠作图1、对称轴确定：直接作点的对称点、连线即可2、对称轴不确定：分析对应点、作对应点连线的垂直平分线①对称轴过定点、常作弧找交点 ②对称轴不过定点、从分析定点开始12 26应用举例：【2014·河南】如图，在矩形ABCD中，AD=5，AB=7，点E为DC上一个动点，把△ADE 沿AE折叠，当点D的对应点D′落在∠ABC的平分线上时，DE的长为__________．【2016许昌一模、2015绥化、说明与检测】如图，在矩形ABCD中，BC=6，CD=8，点P在线段AB上任意一点(不含端点A，B) ．若将△PBC沿PC折叠，使点B的对应点B′落在矩形ABCD对角线上时，BP的长为_______．课标指向、全国中考出题趋势作图：关注对称轴和对应点，有时需要依据不变特征,分析转化，补全图形．折叠作图涉及的几种类型1.最值问题和最小、差最大、天桥问题、折叠求最值问题等2.依据性质和不变特征，分析转化作图①题目中给出已知的对应点，直接作垂直平分线，找折痕；②题目中没有直接给出的对应点，而是给出对应点满足的条件；此时往往“折痕过定点”，题目往往会产生圆（圆弧），通过作圆弧找到对应点的位置，再作垂直平分线找折痕．折叠求最值结构特征：折痕过定点，线段BA′长度不变思路：求A′C最小，转化为BA′+A′C最小应用举例如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是_______．【2016鄂州、2017说明与检测模拟试题六】如图，菱形ABCD的边AB=8，∠B=60°，P是AB上一点，BP=3，Q是CD边上一动点，将梯形APQD沿直线PQ折叠，A的对应点为A′，当CA′的长度最小时，CQ的长为_________．折叠问题常见的计算方案折叠问题的难点一般不在于几何推理证明，而在于数形结合、量化计算；设未知数、转移表达、列方程——这一套连续动作往往是解决问题突破口和方向；折叠问题是初中数学训练量化计算非常重要的载体，因为折叠过程中产生了各种各样的等量关系、不变特征、组合搭配，挖掘这些隐含条件是几何的魅力所在。
量化计算必备的几个工具：1.设未知数、转移表达、列方程当遇到题目中有多个等量关系，而所求目标不易直接求解时，可以考虑这一套连续动作，设小表大，等量关系要么用来表达、转移，要么用在最后建等式。
2.勾股定理3.特殊角、相似、三角函数——在解三角形方面三者等价4.“十字结构”：矩形中两条相互垂直的线，常给图形带来全等或相似，可以传递边长和角度；十字结构的常见图形及结论．总结：初中几何中求线段的一般方法：数据标图上，（边审题边在图上做标记，树形结合）关系细思量，（联想点边、角、图形间的关系）相似全等想一想，（相似三角形、全等三角形图形）三角勾股求线长。
（三角函数、勾股定理求线段的长）近几年河南中考数学题之折叠问题1.[2007T3]如图，ABC △与A B C '''△关于直线l 对称，则B ∠的度数为（ ） A ．30B ．50C ．90D ．1002.[2008T5]如图，阴影部分组成的图案既是关于x 轴成轴对称的图形又是关于坐标原点O 成中心对称的图形．若点A 的坐标是（1，3），则点M 和点N 的坐标分别是【 】A ．）（），，（3-1.-3-1N MB ．）（），，（ 1.3-3-1-N MC ．）（），，（3-1.3-1-N MD ．）（），，（3-1.31-N M 3.[2009T14]动手操作：在矩形纸片ABCD 中，AB =3,AD =5.如图所示， 折叠纸片，使点A 落在BC 边上的A’处，折痕为PQ ，当点 A’在BC 边上移动时，折痕的端点P 、Q 也随之移动.若限定 点P 、Q 分别在AB 、AD 边上移动，则点A’在BC 边上可移 动的最大距离为 .4.[2010T22] （1）操作发现如图，矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，将ABE △沿BE 折叠后得到GBE △，且点G 在矩形ABCD 内部．小明将BG 延长交DC 于点F ，认为GF DF =，你同意吗？说明理由．（2）问题解决保持（1）中的条件不变，若2DC DF =，求ADAB 的值． （3）类比探究保持（1）中的条件不变，若DC n DF =·，求ADAB的值． 5.[2011T9]已知点(,)P a b 在反比例函数2y x =的图象上，若点P 关于y 轴对称的点在反比例函数k y x=的图象上，则k 的值为 .（第5题）ONM AyxB A '50''30第3题6.[2012T15]如图，在Rt ⊿ABC 中，∠ACB=90°, ∠B=30°,BC=3.点D 是BC 边上一动点（不与点B 、C 重合），过点D 作DE ⊥BC 交AB 于点E,将∠B 沿直线DE 翻折，点B 落在射线BC 上点F 处，当⊿AEF 为直角三角形时，BD 的长为__________.7.[2013T15]如图，矩形ABCD 中，AB =3，BC =4，点E 是BC 边上一点，连接AE ，把∠B 沿AE 折叠，使点B 落在点B ′处，当△CEB ′为直角三角形时，BE 的长为_________.8.[2014T15]如图，矩形ABCD 中，AD =5,AB =7.点E 为DC 上一个动点，把△ADE 沿AE 折叠，当点D 的对应点D' 落在∠ABC 的角平分线上时，DE 的长为 .9.[2014T23]如图，抛物线y =－x 2+bx +c 与x 轴交于A (-1，0)，B(5，0）两点，直线y =－34x +3与y 轴交于点C ，与x 轴交于点D . 点P 是x 轴上方的抛物线上一动点，过点P 作PF ⊥x 轴于点F ，交直线CD 于点E .设点P 的横坐标为m . （1）求抛物线的解析式； （2）若PE =5EF ，求m 的值；（3）若点E'是点E 关于直线PC 的对称点、是否存在点P ，使点E' 落在y 轴上？若存在，请直接写出．．．．相应的点P 的坐标；若不存在，请说明理由.10.[2015T15]如图，正方形ABCD 的边长是16，点E 在边AB 上，AE =3，点F 是边BC 上不与点B ，C 重合的一个动点，把△EBF 沿EF 折叠，点B 落在B ′ 处，若△CDB ′ 恰为等腰三角形，则DB ′ 的长为 .E CDBA第15题B′EF ABDCOPyX11.[2016T15]如图，已知AD ∥BC ，AB ⊥BC,AB=3,点E 为射线BC 上的一个动点，连接AE ，将△ABE 沿AE 折叠，点B 落在点B /处，过点B /作AD 的垂线，分别交AD 、BC 于点M 、N,当点B /为线段MN 的三等份点时，BE 的长为 .12.[2017T15]如图，在Rt △ABC 中，∠A=90°，AB=AC ，BC=+1，点M ，N 分别是边BC ，AB 上的动点，沿MN 所在的直线折叠∠B ，使点B 的对应点B′始终落在边AC 上，若△MB′C 为直角三角形，则BM 的长为 ．13.[2018T15]如图，∠MAN =90°，点C 在边AM 上，AC =4，点B 为边AN 上一动点，连接BC ，△A′BC 与△ABC 关于BC 所在直线对称．D ，E 分别为AC ，BC 的中点，连接DE 并延长交A′B 所在直线于点F ，连接A′E ．当△A′EF 为直角三角形时，AB 的长为____________．B /NM DA BCE B /NM DA B CE NM F EAA′BC D。