12…n=detA
定理6.2 设1, 2,…, s是方阵A 的互异特征值, 1,
2,…, s是分别属于它们的特征向量, 那么1, 2,…, s线性
无关. 证明 设x11+x22+…+xss=0 则, A(x11+x22+…+xss)=0, 即 1x11+2x22+…+sxss=0 类似地有: 1kx11+2kx22+…+skxss=0 (k=0,1,…,s-1), 即
值, 则
0E - A=-A=0 , 这与A可逆矛盾, 故λ≠0. 再设是A对应特征值λ的特征向量 , 则 A=λ

A-1 =1/λ
所以1/λ是A-1的特征值, 而且与A有相同的特征向量. 类似地, 若λ是A的特征值, 则λk是Ak的特征值. 一般地, 若λ是A的特征值,则(λ)=a0+a1+…+amm
所以k1(k≠0)是属于1=2=1的全部特征向量.
对3=3, 解方程(3E-A)x=0, 由于
1 3E A 1 1 x1 x3 得同解方程: x 2 x3 0 1 0 1 1 0 ~ 0 1 1 0 0 0 3 2 1
x1 x3 得同解方程: , 基础解系为3=(1, -1, 1)T. x 2 x3
1 1 0
所以k3(k≠0)是属于3=3的全部特征向量.
例3 设方阵A可逆, 且λ是A的特征值, 证明1/λ是A-1 的特征值. 证 首先证明λ≠0. 用反证法: 假设λ=0是A的特征
2
3
所以A的特征值为1=2=1, 3=3. 对1=2=1, 解方程(E-A)x=0, 由于
1 1 0 1 0 0 E A 1 1 0 ~ 0 1 0 1 3 0 0 0 0
x1 0 得同解方程: , 基础解系为1=(0,0,1)T. x2 0
基础解系为1=(1,1,0)T, 2=(0,0,1)T.
所以属于1=2=1的全部特征向量为 K11+k22 (k1,k2 不同时为0)
对3=3, 解方程(A-3E)x=0, 由于
1 1 0 1 0 ~ 0 1 3E A 1 1 0 1 1 2 0 0
A的属于特征值i的特征向量就是齐次线性方程组 (E A)x=0 的所有非零解.
例1 求矩阵
2 1 0 A 1 2 0 1 3 1
的特征值和特征向量. 解 A的特征多项式为
2
1 1
1
0 0 =(-1)[(-2)2-1]=(-1)2(-3) 1
则称0为A的特征值, 为A的属于0的一个特征向量.
如果A是奇异矩阵(|A|=0), 则齐次线性方程组Ax=0 有非零解, 若记为Ax=0的非零解, 则有 A=0=0 可见, 0=0为奇异矩阵A的特征值, 方程组Ax=0的非零解 都是A的属于特征值0=0的特征向量. 一般地, 由A=0 可得 (0E A)=0 可见, 是n元齐次线性方程组 (0E A)x=0 的非零解. 所以有|0E A|=0.
2
1
所以A的特征值为1=2=1, 3=3.
对1=2=1, 解方程(E-A)x=0, 由于
1 EA 1 1 得同解方程: x1 x2 ,
0 1 1 0 1 0 ~ 0 0 0 0 0 0 1 0 1
, 基础解系为2=(-1, 1, 1)T.
所以k2(k≠0)是属于3=3的全部特征向量.
例2 求矩阵
2 1 0 A 1 2 0 1 1 1
的特征值和特征向量. 解 A的特征多项式为
2
Hale Waihona Puke 1 110 0 =(-1)[(-2)2-1]=(-1)2(-3) 1
定义6.2 设A是n阶方阵, 是参数, 则行列式
a11
det( E - A) a21 an1
征方程.
a12
a1n a2 n
a22
an 2
ann
称为方阵A的特征多项式. 称det(E A)=0为方阵A的特 A的特征值就是特征方程的解, n阶方阵A有n个特征值.
是(A)=a0E+a1A+…+amAm的特征值.
二. 特征值和特征向量的性质 由于
a11
det( E - A) a21 an1
a12
a1n a2 n
a22
an 2
ann
=n-(a11+a22+…+ann)n-1+…+(-1)n|A| 利用多项式方程根与系数的关系可得: 定理6.1 设1,2,…,n是n阶方阵A 的全部特征值, 则 1+2+…+n=a11+a22+…+ann
第六章
矩阵的特征值和特值向量
矩阵的特征值和特征向量是矩阵理论中重要个概念之 一, 它有着广泛的应用. 本章将引进特征值和特征向量的 概念及其计算. 并给出将矩阵对角化的方法.
§1 矩阵的特征值和特征向量
一. 定义和求法 定义6.1 设A是n阶方阵, 如果数0和n维非零列向量 满足关系式 A=0
所以向量组1, 2,…,s线性无关.
定理6.3 设1, 2是A 的两个互异特征值, 1, 2,…, s
1 1 1 2 ( x1ξ1 , x2ξ 2 ,..., xs ξ s ) 1 s
s 1 s
1s 1 s 1 2
(0, 0,
, 0)
所以有
(x11, x22,…, xss)=(0, 0, …, 0)
即, xjj=0, 但j0, 故xj=0, (j=1,2,…,s)