高三一轮复习 6.2 简单的线性规划（检测教师版）
时间:50分钟 总分：70分 班级： 姓名：
一、 选择题（共6小题，每题5分，共30分）
1．在坐标平面上，不等式组1
31
y x y x ≥-⎧⎪⎨
≤-+⎪⎩所表示的平面区域内整数点个数为（ ）
A ．1
B ． 2
C ． 3
D ．4 【答案】D
【解析】整数点为(1,2),(0,1),(0,0),(0,1)---．
2．【大兴区2016届高三第二学期期中】已知变量 x y ,满足约束条件230,
330,10,x y x y y -+≥⎧⎪
-+≤⎨⎪-≤⎩
若目标函数z y ax =-
仅．
在点(3,0)-处取到最大值，则实数a 的取值范围为 A ．(3,5)
B ．1
(,)2
+∞ C ．(1,2) -
D ．1(,1)3
【答案】B
【解析】如图：只需使12
AC a k >=
． 3．不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧y ≤－x ＋2，y ≤x －1，y ≥0所表示的平面区域的面积为 ( )
A ．1
B.1
2
C.13
D.14
【答案】D
【解析】作出不等式组对应的区域为△BCD ，由题意知x B ＝1，x C ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋2，y ＝x －1，
得y D ＝1
2，
所以S △BCD ＝12×(x C －x B )×12＝1
4
.
4． (北京市海淀区2016届高三第一学期期末数学)若,x y 满足+20,40,0,x y x y y -≥⎧⎪
+-≤⎨⎪≥⎩
则2||z y x =-的最大值为
( )
A.8-
B.4-
C.1
D.2 【答案】D
【解析】作可行域：
A(-2，0)，B(4，0)，C(1，3)，D （0，2）
由图知：目标函数过点D 时，目标函数值最大，为
5． (北京市丰台区2016届高三第一学期期中)在平面直角坐标系 xOy 中，P 为不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧y ≤1，x ＋y －2≥0，x －y －1≤0所
表示的平面区域上一动点，则直线OP 斜率的最大值为
( )
A ．2
B.1
C.1
2
D.13
【答案】B
【解析】 作出可行域如图所示，
当点P 位于⎩
⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，
y ＝1的交点(1，1)时，(k OP )max ＝1，故选B.
6．已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1，平面区域Ω：⎩⎪⎨⎪
⎧x ＋y －7≤0，x －y ＋3≥0，y ≥0.若圆心C ∈Ω，且圆C 与x 轴相切，
则a 2＋b 2的最大值为
( )
A ．5
B ．29
C ．37
D ．49
【答案】 C
【解析】 由已知得平面区域Ω为△MNP 内部及边界．∵圆C 与x 轴相切，∴b ＝1.显然当圆心C 位于直线y ＝1与x ＋y －7＝0的交点(6，1)处时，a max ＝6.∴a 2＋b 2的最大值为62＋12＝37.故选C.
二、填空题（共4小题，每题5分，共20分）
7． (通州区2016届高三第二学期期末)已知实数x y 、满足2
330220y x y x y ≤⎧⎪
--≤⎨⎪+-≥⎩
，则目标函数3z x y =+的最大
值为________________. 【答案】7
【解析】作出可行域如图所示：
作直线0:l 30x y +=，再作一组平行于0l 的直线:l 3x y z +=，当直线l 经过点M 时，3z x y =+取得最
大值，由3302x y y --=⎧⎨=⎩得：532x y ⎧
=⎪⎨⎪=⎩
，所以点M 的坐标为5,23⎛⎫
⎪⎝⎭，所以max 53273z =⨯+=．
8．【海淀区2016届高三第一学期期末】若A 为不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧x ≤0，y ≥0，y －x ≤2表示的平面区域，则当a 从－2连续变化
到1时，动直线x ＋y ＝a 扫过A 中的那部分区域的面积为________． 【答案】 7
4
【解析】 平面区域A 如图所示，
所求面积为S ＝12×2×2－12×22×22＝2－14＝7
4
.
9．（2016北京怀柔二模）已知不等式组2
21x y x y y +≤⎧⎪
-≥-⎨⎪>⎩
表示的平面区域为M ，若直线31y kx k =-+与平面区
域M 有公共点，则k 的取值范围是 ． 【答案】1[,0)3
-
【解析】∵直线(3)1y k x =-+恒过定点(3,1)P ，如图：
(1,1),(1,1),(0,2)A B C -，∴PC PA k k k ≤<，即1
03
k -≤<．
10.在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧2x ＋3y －6≤0，x ＋y －2≥0，y ≥0所表示的区域上一动点，则|OM
的最小值是________．
解析 如图所示阴影部分为可行域，
数形结合可知，原点O 到直线x ＋y －2＝0的垂线段长是|OM |的最小值， ∴|OM |min ＝
|－2|
12＋12
＝ 2.
三、 解答题（共2小题，每题10分，共20分）
11．（2016北京东城二模）若直线1+=kx y 与圆042
2=-+++my kx y x 相交于P 、Q 两点，且点P 、
Q 关于直线0=+y x 对称，求不等式组10
00kx y kx my y -+≥⎧⎪
-≤⎨⎪≥⎩
表示的平面区域的面积.
【解析】依题意直线0=+y x 必经过圆心，∴022
k m
-
-=，∴0m k +=， ∵直线1+=kx y 和直线0=+y x 垂直，∴1,1k m ==-．
∴不等式组10
00
kx y kx my y -+≥⎧⎪
-≤⎨⎪≥⎩
，即为1000x y x y y -+≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，
如图平面区域为三角形ABO ，
在10x y -+=中，令0y =，得1x =-，
由100
x y x y -+=⎧⎨
+=⎩，得1
2y =，∴平面区域的面积为1111224S =⨯⨯=．
12．制订投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．某投资人打 算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能 的最大亏损率分别为30%和10%.若投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资 金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？ 【解析】 设投资人分别用x 万元，y 万元投资甲、乙两个项目，由题意知 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤10，
0.3x ＋0.1y ≤1.8，
x ≥0，
y ≥0，
目标函数z ＝x ＋0.5y . 上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分(含边界)即为可行域．
将z ＝x ＋0.5y 变形为y ＝－2x ＋2z ，这是斜率为－2随z 变化的一组平行线，当直线y ＝－2x ＋2z 经过可行域内的点M 时，直线y ＝－2x ＋2z 在y 轴上的截距2z 最大，z 也最大． 这里M 点是直线x ＋y ＝10和0.3x ＋0.1y ＝1.8的交点．
解方程组⎩
⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝10，
0.3x ＋0.1y ＝1.8，得x ＝4，y ＝6，
此时z ＝4＋0.5×6＝7(万元)．∴当x ＝4，y ＝6时，z 取得最大值，
所以投资人用4万元投资甲项目、6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大．。