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2020年安徽省“江南十校”综合素质检测
理科数学
考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分。
满分150分，考试时间120分钟。
2.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名和座位号填写在答题卡上。
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。
选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区
域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数z＝(1－a)＋(a2－1)i(i为虚数单位，a>1)，则z在复平面内的对应点所在的象限为
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
2.已知集合A＝{x|3x<x＋4}，B＝{x|x2－8x＋7<0}，则A∩B＝
A.(－1，2)
B.(2，7)
C.(2，＋∞)
D.(1，2)
3.某装饰公司制作一种扇形板状装饰品，其圆心角为120°，并在扇形弧上正面等距安装7个发彩色光的小灯泡且在背面用导线相连(弧的两端各一个，导线接头忽略不计)，已知扇形的半径为30厘米，则连接导线最小大致需要的长度为
A.58厘米
B.63厘米
C.69厘米
D.76厘米
4.函数f(x)＝
cos
22
x x
x x
-
+
在[－
2
π
，
2
π
]上的图象大致为
5.若(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2，x3的系数之和为－10，则实数a的值为
A.－3
B.－2
C.－1
D.1
6.已知a＝log2，b＝ln3，c＝2－0.99，则a，b，c的大小关系为
A.b>c>a
B.a>b>c
C.c>a>b
D.c>b>a
7.执行下面的程序框图，则输出S的值为
A.112-
B.2360
C.1120
D.43
60
8.“哥德巴赫猜想”是近代三大数学难题之一，其内容是：一个大于2的偶数都可以写成两个质数(素数)之和，也就是我们所谓的“1＋1”问题。
它是1742年由数学家哥德巴赫提出的，我国数学家潘承洞、王元、陈景润等在哥德巴赫猜想的证明中做出相当好的成绩。
若将6拆成两个正整数的和，则拆成的和式中，加数全部为质数的概率为 A.
15 B.13 C.35 D.2
3
9.已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S 2＝
19，S 3＝7
27
，则a 1a 2…a n 的最小值为 A.2
427⎛⎫ ⎪⎝⎭ B.3
427⎛⎫ ⎪⎝⎭ C.4
427⎛⎫ ⎪⎝⎭ D.5
427⎛⎫
⎪⎝⎭
10.已知点P 是双曲线C ：2222
221(0,0,)x y a b c a b a b
-=>>=+上一点，若点P 到双曲线C
的两条渐近线的距离之积为
2
14
c ，则双曲线C 的离心率为 2 5
3 D.2 11.已知f(x)＝1－2cos 2(ωx ＋
3
π
)(ω>0)。
给出下列判断： ①若f(x 1)＝1，f(x 2)＝－1，且|x 1－x 2|min ＝π，则ω＝2；
②存在ω∈(0，2)，使得f(x)的图象右移6
π
个单位长度后得到的图象关于y 轴对称； ③若f(x)在[0，2π]上恰有7个零点，则ω的取值范围为[4124，47
24)；
④若f(x)在[－6π，4
π
]上单调递增，则ω的取值范围为(0，23]。
其中，判断正确的个数为 A.1 B.2 C.3 D.4
12.如图，在平面四边形ABCD 中，满足AB ＝BC ，CD ＝AD ，且AB ＋AD ＝10，BD ＝8，沿着BD 把ABD 折起，使点A 到达点P 的位置，且使PC ＝2，则三棱锥P －BCD 体积的最大值为
A.12
B.122
C.
1623 D.16
3
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知函数f(x)＝lnx ＋x 2，则曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为 。
14.若∃x 0∈R ，x 02－a 2
01x +＋5<0为假，则实数a 的取值范围为 。
15.在直角坐标系xOy 中，已知点A(0，1)和点B(－3，4)，若点C 在∠AOB 的平分线上，且|OC u u u r
|
＝310，则向量OC u u u r
的坐标为 。
16.已知抛物线C ：y 2＝4x ，点P 为抛物线C 上一动点，过点P 作圆M ：(x －3)2＋y 2＝4的切线，切点分别为A ，B ，则线段AB 长度的取值范围为 。
三解答题：共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
(一)必考题：共60分。
17.(本小题满分12分)
在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且csinB ＝bsin(3
π
－C)＋3b 。
(1)求角C 的大小；
(2)若c ＝7，a ＋b ＝3，求AB 边上的高。
18.(本小题满分12分)
如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为等腰梯形，AB//CD ，CD ＝2AB ＝4，AD ＝2，△PAB 为等腰直角三角形，PA ＝PB ，平面PAB ⊥底面ABCD ，E 为PD 的中点。
(1)求证：AE//平面PBC ；
(2)若平面EBC 与平面PAD 的交线为l ，求二面角P －l －B 的正弦值。
19.(本小题满分12分)
一种游戏的规则为抛掷一枚硬币，每次正面向上得2分，反面向上得1分。
(1)设抛掷4次的得分为X ，求变量X 的分布列和数学期望。
(2)当游戏得分为n(n ∈N *)时，游戏停止，记得n 分的概率和为Q n ，Q 1＝12。
①求Q 2；
②当n ∈N *时，记A n ＝Q n ＋1＋1
2
Q n ，B n ＝Q n ＋1－Q n ，证明：数列{A n }为常数列，数列{B n }为等比数列。
20.(本小题满分12分)
已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b
+=>>的离心率为3
2，且过点(
73,24)，点P 在第一象限，A 为左顶点，B 为下顶点，PA 交y 轴于点C ，PB 交x 轴于点D 。
(1)求椭圆E 的标准方程； (2)若CD//AB ，求点P 的坐标。
21.(本小题满分12分)
已知函数f(x)＝lnx －x 2＋ax(a ∈R)。
(1)若f(x)≤0恒成立，求a 的取值范围；
(2)设函数f(x)的极值点为x 0，当a 变化时，点(x 0，f(x 0)构成曲线M 。
证明：过原点的任意直线y ＝kx 与曲线M 有且仅有一个公共点。
(二)选考题：共10分。
请考生在第22、23两题中任选一题作答。
如果多做，则按所做的第一题计分。
22.(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为()
11x m
y k m ⎧=-=-⎪⎨
⎪⎩(m 为参数)，直线l 2的参数方程
2x n n y k =⎧⎪
⎨
=+⎪⎩
(n 为参数)。
若直线l 1，l 2的交点为P ，当k 变化时，点P 的轨迹是曲线C 。
(1)求曲线C 的普通方程；
(2)以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，设射线l 3的极坐标方程为θ＝α(ρ≥0)，tan α＝
43(0<α<2
π
)，点Q 为射线l 3与曲线C 的交点，求点Q 的极径。
23.(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 已知函数f(x)＝|x －1|＋|x ＋2|。
(1)求不等式f(x)<x ＋3的解集；
(2)若不等式m －x 2－2x ≤f(x)在R 上恒成立，求实数m 的取值范围。