1
ln li[(m 1x)x]lne1. x 0
例2 求limex 1. x0 x
解 令 ex1y, 则 xln 1 (y),
当 x 0 时 ,y 0 .
原式 lim y y0ln1(y)
lim 1
y0
ln(1
1
y) y
1.
同理可得
ax 1 lim lna.
x0 x
例如, limsinx 1 x0 x
y sin x x
limnsin11,
n
n
limnsin1 1,
n
n
ln i m nn21sin nn211
函数极限与数列极限的关系
函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极 限都存在,且相等.
dhanyavaad
达尼阿瓦德
limx[1]1 x0 x
(二)极限的运算法则
性质2.9
设limf(x) A,limg(x) B,则
xX
xX
(1) lim[f(x) g(x)] limf(x) limg(x) AB;
xX
xX
xX
(2) limcf(x) climf(x)
xX
xX
(3) lim[f(x)g(x)] limf(x) limg(x) AB;
消除0因子
(5) lim( 1x x) 根式有理化 x
(6) lx i1m (1 1x1 3x2) 先通分
(7) limx8 x643 x4
1
变量替 :x6换 t
性质2.10(复合函数的极限法则)
若 lig m (x )A (或 )y ,g (x )A ,lifm (y)B ,
x X
y A
则 lifm (g (x ) )lifm (y)B
x X
y A
性2.质 1中 0 条 g(x) 件 A ,不能 ,否 省则 去结论 .
意义 1.极限符号可以与函数符号互换; 2.变量(u 代 (换 x)的 ) 理论 . 依据
例1 求lim ln1(x).
x0
x
1
解 原 l式 ilm n 1x ()x x 0
xX
xX
xX
(4)
limf
(x)
Байду номын сангаас
limf
xX
(x)
A,
其中B 0.
xXg(x) limg(x) B
xX
结:论 如l果 im f(x)存,在 而 n是正,则 整数 x X
lim [f(x)n ][lim f(x)n ].
x X
x X
例1 求下列极限
(1)lx i2m x2x33x15.
解 li(m x23x5)lix m 2li3 m xli5 m
例1 求lx im 0x1x
解:1 x11 x1 x ( 如 : 2 . 5 2 , 2 . 5 1 2 . 5 2 . 5 , )
当 x 0 ,有 1 x x 1 x 1 x l 0 i x [ m 1 x ] 1 当 x 0 ,有 1 x 1 x 1 x x l 0 i x [ m 1 x ] 1
x 2
x 2
x 2
x 2
(lix m )23 lix m li5 m
x 2
x 2 x 2
2 232530,
lx im 2x2x33x15lilxmi(m2xx233lxxim 215)
23 1 3
7 3
.
x2
(2) limxex x2
(3)
lxim 82xx22
6x 3 4x 7
(4) limxn 1 x1 x1