数学试卷考试时间：120分钟 试卷总分：150分注意事项：本试卷由第I 卷和第II 卷组成。
第I 卷为选择题部分，一律用2B 铅笔按题号依次填涂在答题卡上：第II 卷为非选择题，按要求答在答题卡相应位置上。
第I 卷(选择题60分)一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1.若角600°的终边上有一点(－4，a)，则a 的值是 A.4 B.－43 C.43 D.－432.已知向量a ＝(x －5，3)，b ＝(2，x)，且a ⊥b ，则由x 的值构成的集合是 A.{2，3} B.{－1，6} C.{2} D.{6}3.如图，正方形O'A'C'B'的边长为1cm ，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则它的原图形面积2 B.24C.2(13D.6 4.已知0<α<π，2sin2α＝sin α，则sin(α－2π)＝ A.15 B.－14 15 D.145.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cosA ＝12，a ＝3，则a b csinA sinB sinC++++＝A.12B.32 3 D.26.在200米高的山顶上，测得山下一塔的塔顶与塔底的俯角分别是30°，60°，则塔高为 A.2003 B.100m C.4003D.90m 7.在直角三角形ABC 中，角C 为直角，且AC ＝BC ＝2，点P 是斜边上的一个三等分点，则CP CB CP CA ⋅+⋅=A.0B.4C.94 D.－948.若将函数f(x)＝2sin(x ＋6π)图象上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再向下平移一个单位得到的函数g(x)的图象，函数g(x)A.图象关于点(－12π，0)对称 B.最小正周期是2πC.在(0，6π)上递增D.在(0，6π)上最大值是19.已知m ，l 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列各组条件中能推出m ⊥l 的所有序号是①m ⊥α，l ⊥β，α⊥β； ②m ⊥α，l //β，α//β； ③m ⊂α，l ⊥β，α//β； ④m ⊂α，l //β，α⊥β A.①②③ B.①② C.②③④ D.③④10.△ABC 中，若sin(A ＋B －C)＝sin(A －B ＋C)，则△ABC 必是A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形 11.已知函数f(x)＝sin(ωx ＋3π)(ω>0)，若f(x)在[0，23π]上恰有两个零点，则ω的取值范围是 A.(1，52) B.[1，52) C.(52，4) D.[52，4) 12.在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝CC 1＝2，点P 是线段BC 1上的动点，则CP ＋PA 1的最小值为26 2 37＋1 D.62第II 卷(非选择题90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分。
) 13.已知单位向量a 与b 的夹角为120°，则|a －3b |＝ 。
14.在钝角△ABC 中，已知a ＝2，b ＝4，则最大边c 的取值范围是 。
15.已知2π<α<π，0<β<2π，tanα＝－34，cos(β－α)＝513，则sinβ的值 。
16.已知△ABC 是等腰直角三角形，斜边AB ＝2，P 是平面ABC 外的一点，且满足PA ＝PB ＝PC ，∠APB ＝120°，则三棱锥P －ABC 外接球的表面积为 。
三、解答题(本大题共6个小题，共70分。
解答题写出文字说明，证明过程或演算步骤。
) 17.(本题10分)已知角θ的终边与单位圆x 2＋y 2＝1在第一象限交于点P ，且点P 的坐标为(35，y)。
(1)求ta nθ的值；(2)求()()22sin 2cos 4sin cos πθπθθθ+-+的值。
18.(本题12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，B ＝30°，且2asinA －(2b ＋c)sinB ＝(2c ＋b)sinC 。
(1)求sin(A －C)的大小；(2)若△ABC 的面积为33，求△ABC 的周长。
19.(本题12分)如图，在三棱锥A －BCD 中，ABCD ，△ABD 均为边长为2的正三角形。
(1)若AC 6，求证：平面ABD ⊥平面BCD ； (2)若AC ＝2，求三棱锥A －BCD 的体积。
20.(本题12分)已知函数。
f(x)＝3sinxcosx －2cos(x ＋4π)cos(x －4π)。
(I)求函数f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程； (II)求函数f(x)在区间[－12π，2π]上的值域。
21.(本题12分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对(a ＋b ＋c)(a ＋b －c)＝3ab 。
(1)求角C的值；(2)若c＝2，且△ABC为锐角三角形，求2a－b的范围。
22.(本题12分)如图所示，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，DB＝BC，DB⊥AC，点M是棱BB1上一点。
(1)求证：B1D1//面A1BD；(2)求证：MD⊥AC；(3)试确定点M的位置，使得平面DMC1⊥平面CC1D1D。
数学答案选择题： BCABD CBCAC DB填空题： 13. 14. 15. 6365 16. 163π解答题：17. 解：（1）由题得2235)1(=y +,点P 在第一象限所以45y = ……2分所以4tan =3θ ……4分 （2）22sin (2)cos (4)sin cos πθπθθθ+-+22sin cos =sin cos θθθθ- ……6分2tan 1=tan θθ- ……8分712=…… 10分 18.解：（1）因为()()2sin 2sin 2sin a A b c B c b C -+=+，由正弦定理可得：()()2222a b b c c c b -+=+，整理得222b c a bc +-=-， …… 2分∴2221cos 22b c a A bc +-==- 解得120A =︒ ……4分 又30B =︒，所以1801203030C =︒-︒-︒=︒，即30C B ==︒， ∴()()sin sin 120301A C -=︒-︒=. ……6分 （2）由（1）知b c =，120A =︒，∴21sin1202b ︒=解得b c == …… 8分由余弦定理，得22212cos 1212212362a b c bc A ⎛⎫=+-=+-⨯⨯-= ⎪⎝⎭即6a =. ……10分∴ABC ∆的周长为6. ……12分 19.解：（1）取BD 边中点O ，连接,AO CO ∵BCD ∆，ABD ∆为边长为2的正三角形，∴BD OA ⊥, OC OA ==∵2226OC OA AC +== ……2分 ∴ ,,OA OC OCBD O OC BD BCD ，面⊥=⊂∴OA ⊥平面BCD ， ……4分 ∵OA ⊂平面ABD ，∴平面ABD ⊥平面BCD . ……6分 （2）∵,BD OC BD OA ⊥⊥，且,OA OC O =,OA OC AOC 面⊂∴BD ⊥平面AOC ， ……8分在AOC ∆中，OA OC AC ===∴12AOC S ∆=⨯= ……10分112333A BCD AOC V S BD -∆⨯⨯=== ……12分20.解：：22()22(cos )()22f x x x x ⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦222(cos sin )x x x =-- ……2分2cos 2x x =-2sin(2)6x π=- ……4分 ⑴函数()f x 的最小正周期22T ππ== ……5分 由262x k πππ-=+，得对称轴方程为,32k x k Z ππ=+∈ ……7分⑵∵122x ππ-≤≤，∴52366x πππ-≤-≤由正弦函数的图象知sin(2)16x π≤-≤ ……10分 ∴()f x的值域是⎡⎤⎣⎦ ……12分21.解：（1）由题意()()3a b c a b c ab +++-=，∴222a b c ab +-=， ……1分由余弦定理可知，222cos 122a b c C ab +-==， ……3分又∵(0,)C π∈，∴3C π=. ……5分（2）由正弦定理可知，2sin sin sin 3a b A Bπ===，即,a A b B ==，∴2a b A B -=-2sin()3A A π=-2cos A A =-， 4sin()6A π=- ……8分又∵ABC ∆为锐角三角形，∴022032A B A πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<=-<⎪⎩，则62A ππ<< ……10分04sin(-)6A π<<，综上2a b -的取值范围为(0,. ……12分22.解：（1）证明：由直四棱柱，得BB1∥DD1且BB1=DD1，所以BB1D1D是平行四边形，所以B1D1∥BD．BD⊂平面A1BD，B1D1⊄平面A1BD，所以B1D1∥平面A1BD．……3分（2）证明：BB 1⊥面ABCD，AC⊂面ABCD，∴BB1⊥AC，又BD⊥AC，且BD∩BB 1=B，BD，BB1⊂面BB1D∴AC⊥面BB1D而MD⊂面BB1D，∴MD⊥AC．……6分（3）当点M为棱BB1的中点时，平面DMC1⊥平面CC1D1D ……7分取DC的中点N，D1C1的中点N1，连接NN1交DC1于O，连接OM．N是DC中点，BD=BC，∴BN⊥DC；又面ABCD面DCC1D1 =DC，而面ABCD⊥面DCC1D1，BN⊂面ABCD ∴BN⊥面DCC1D1．……9分又可证得，O是NN1的中点，∴BM∥ON且BM=ON，即BMON是平行四边形，∴BN∥OM，……10分∴OM⊥平面CC1D1D，……11分OM⊂面DMC1，∴平面DMC1⊥平面CC1D1D．……12分。