二次函数及指对数运算1．已知二次函数()f x 满足(1)()2f x f x x +-=，且(0)1f =. （1）求()f x 的解析式；（2）求函数()y f x =在区间[1,1]-上的值域；（3）当[1,1]x ∈-时，不等式()2f x x m >+恒成立，求实数m 的范围.2．如图，已知二次函数y=x 2+bx+c 过点A （1，0），C （0，﹣3）（1）求此二次函数的解析式；（2）在抛物线上存在一点P 使△ABP 的面积为10，求点P 的坐标．3．已知函数f （x ）=x 2+2ax+2，x ∈[﹣5，5]． （1）当a=﹣1时，求函数的最大值和最小值；（2）求实数a 的取值范围，使y=f （x ）在区间[﹣5，5]上是单调函数．4．计算： 23log 2228273lg 2lg 52lg2lg5log 9log 3238ππ-⎛⎫++⋅+⋅++ ⎪⎝⎭.5．计算：（1）()()1223029279.6 1.548--⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）2021lg 5lg 2()(21)log 83-+--+-+6．已知函数()()2log 3f x x =-． （1）求()()516f f -的值； （2）求()f x 的定义域；（3）若()0f x ≤，求x 的取值集合．7.（Ⅰ）设 ()()()()24142x f x x f x x ⎧+<⎪=⎨⎛⎫≥⎪ ⎪⎝⎭⎩ ，求)3log 1(2+f 的值；（Ⅱ）已知]1)1()1ln[()(22+---=x m x m x g 的定义域为R ，求实数m 的取值范围参考答案1．（1）2()1f x x x =-+（2）3[,3]4-（3）1m <- 【解析】试题分析：（1）求函数解析式采用待定系数法，首先设出函数式2()(0)f x ax bx c a =++≠，将(1)()2f x f x x +-=，且(0)1f =.可得到,,a b c 的值，从而得到函数式；（2）由函数式确定函数单调性，进而求得函数的最值；（3）将不等式变形分离参数，通过求函数最值得到参数m 的取值范围试题解析：（1）令2()(0)f x ax bx c a =++≠，22(1)()(1)(1)22f x f x a x b x c ax bx c ax a b x +-=++++---=++=恒成立.∴11a b ==-，，又(0)1f c == ∴2()1f x x x =-+（2）213()(),[1,1]24f x x x =-+∈- ∴当12x =时，min 13()()24f x f ==， 当12x =时，max ()(1)3f x f =-= ∴ ()f x 的址域为3[,3]4-（3）当[1,1]x ∈-时，()2f x x m >+恒成立，即231x x m -+>恒成立， 令2235()31()[1,1]24g x x x x x =-+=--∈-，，对称轴32x =在[1,1]-的右边，开口向上， ∴()g x 在[1,1]-上递减，∴min ()(1)1g x g ==-， 1m ∴<- 考点：函数求解析式及函数值域；不等式与函数的转化 2．（1）322-+=x x y ；（2）P （﹣4，5）（2，5）.【解析】 试题分析：（1）将二次函数所过的点A 和点C ，代入得到二次函数的解析式；（2）首先根据上一问的结果求点B 的坐标，即求得AB 长，再根据面积公式求解点P 的纵坐标，回代函数解析式求点P 的横坐标.试题解析：解：（1）∵二次函数y=x 2+bx+c 过点A （1，0），C （0，﹣3）， ∴，解得，∴二次函数的解析式为y=x 2+2x ﹣3；（2）∵当y=0时，x 2+2x ﹣3=0，[来源:] 解得：x 1=﹣3，x 2=1； ∴A（1，0），B （﹣3，0）， ∴AB=4， 设P （m ，n ），∵△ABP 的面积为10， ∴AB•|n|=10，解得：n=±5，当n=5时，m 2+2m ﹣3=5， 解得：m=﹣4或2， ∴P（﹣4，5）（2，5）；当n=﹣5时，m 2+2m ﹣3=﹣5， 方程无解， 故P （﹣4，5）（2，5）； 考点：二次函数 3．（1）[f （x ）]max =37，[f （x ）] min =1；（2）a≤﹣5或a ≥5． 【解析】 试题分析：（1）可知函数的对称轴为x=1，所以对称轴处取得最小值，在x=-5处取得最大值。

（2）二次函数在闭区间上是单调函数说明对称轴在区间外．试题解析：解：（1）当a=﹣1时，函数表达式是f （x ）=x 2﹣2x+2，∴函数图象的对称轴为x=1，∴函数的最小值为[f （x ）]min =f （1）=1， [f （x ）]max =f （﹣5）=37综上所述，得 [f （x ）]min =f （1）=1， [f （x ）]max =f （﹣5）=37（2）∵二次函数f （x ）图象关于直线x=﹣a 对称，开口向上﹣a≥5时，f （x ）在[﹣5，5]上单调减，解之得a≤﹣5．﹣a ≤-5时，f （x ）在[﹣5，5]上单调增，解之得a ≥5．所以a≤﹣5或a ≥5考点：1、二次函数在闭区间上的最值问题；2、函数的单调性． 【易错点晴】本题考查的是二次函数在闭区间上的最值问题和函数的单调性问题．在参数的讨论过程中易错． 4．419【解析】试题分析：根据对数的换底公式和其运算法则即可化简求值 试题解析：解：原式()232lg9lg3227lg2lg5lg8lg278-⎛⎫=++⋅+ ⎪⎝⎭22lg35lg23104411233lg23lg32999-⎛⎫=+⋅++=++= ⎪⎝⎭.5．（1）12；（2）8.【解析】试题分析：在进行指数和对数的运算时，要注意公式使用的准确性，先将合数化为质数，小数化为分数，对数的底数进行统一，然后借助对数的运算法则即可求得结果 试题解析：（1）原式2333341229-⎡⎤⎛⎫=--+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦14412992=-+= （2）原式2232232log log 33=++ 322232log log 323=⋅++ 232log 333⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭538=+= 6．1. 【解析】试题分析：现将指数式化为对数式4log 100a =，5log 100b =，利用换底公式求得1001log 4a =，1002log 25b=，两式相加求得值为1. 试题解析：由45100ab==,得4log 100a =，5log 100b =，…………3分所以1001log 4a =，1001log 5b =，1002log 25b =.……………………8分 所以10010012log 4log 251a b+=+=.………………10分考点：指数与对数运算.7．（1）4；（2）{}3x x >；（3）(]3 4，． 【解析】试题分析：（1）由()()2log 3f x x =-，分别令51,6x x ==，即可求解()()516f f -的值；（2）由对数函数的性质，可得30x ->，即可求解函数()f x 的定义域；（3）由()()2log 30f x x =-≤，得到3031x x ->⎧⎨-≤⎩，即可求解实数x 的取值集合． 试题解析：（1）∵()()2log 3f x x =-，∴()()222516log 48log 3log 164f f -=-==．…………4分（2）∵()()2log 3f x x =-，∴30x ->，解得3x >， ∴()f x 的定义域为{}3x x >．………………8分 （3）∵()()2log 30f x x =-≤， ∴3031x x ->⎧⎨-≤⎩，解得34x <≤，∴x 的取值集合是(]3 4，．………………12分 考点：对数函数的图象与性质及其应用． 8．（1）12（2）4- 【解析】 试题分析：（1）指数式化简时首先将底数转化为幂指数形式；（2）对数式的化简首先将真数转化为幂指数形式后在化简试题解析：（1）()()1223213344129.63 1.51482992--⎛⎫⎛⎫---+=--+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）()()221lg5lg 221log 8lg 5291343-⎛⎫+--+-+=⨯-++=- ⎪⎝⎭考点：指数式对数式运算 9．（Ⅰ）124（Ⅱ）),1[)35,(+∞--∞ 【解析】试题分析：（Ⅰ）分段函数求值时需结合定义域的取值范围将自变量的值代入相应的解析式；（Ⅱ）由定义域为R 得到不等式01)1()1(22>+---x m x m 恒成立，结合二次函数性质求解m 的取值范围 试题解析：（1）2413181281212121)3log 3()3log 1(312log 32log 332log 322=⨯=⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=++f f ； （2）由题设得：01)1()1(22>+---x m x m （*）在R x ∈时恒成立， 若1012±=⇒=-m m ，当1=m 时，（*）为：01>恒成立，当1-=m 时，（*）为：012>+-x 不恒成立，∴1=m ；若012≠-m ，则1 351 351 10)1(42)1( 0122>-<⇒⎪⎩⎪⎨⎧>-<>-<⇒⎪⎩⎪⎨⎧<---=∆>-m m m m m m m m m 或或或….综上，实数m 的取值范围是实数),1[)35,(+∞--∞ 考点：分段函数求值与二次函数性质。