P o
N y
x
又 M1P x2 x1 , PN y2 y1 , NM 2 z2 z1 ,
所以 M1 M2 ( x2 x1 )2 ( y2 y1 )2 (z2 z1 )2 .
1、距离公式：d ( x2 x1 )2 ( y2 y1 )2 (z2 z1 )2 . 特别，点M ( x，y，z)到原点O(0，0，0)的距离为
Ⅲ yOz面
Ⅳ xOy面
z
zOx 面
Ⅱ
O
yⅠ
Ⅶ
x
Ⅷ
Ⅵ Ⅴ
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设M为空间一点，过点M作三个平面分别垂直于x轴、
y轴和z轴，交点依次为P、Q、R，它们是点M在x轴、y
轴和z轴上的投影，且有向线段的值OP、OQ、OR对应
的实数为x、y、z.
4、空间点的坐标：上述x、y、z称为点M的坐标，
记为M ( x，y，z). z
PP1 2 PP2，
x2 11， x2 2.
x2 11 2 x2 2 x 1, 故点P的坐标为(1，0，0)，(1，0，0).
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定点 o •
y 纵轴
轴的正向.
横轴 x
这样确定的坐标系称为空间直角坐标系 ，点O称为 坐标原点，x、y、z轴称为坐标轴.
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2、坐标平面：由两个坐标轴确定的平面称为坐标面.
记为 xOy面、yOz面、zOx面.
3、卦限：三个坐标面把空间分成八个部分，每一
部分称为一个卦限. 记为Ⅰ、 Ⅱ、…、 Ⅷ.
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例2、设点P在x轴上，且它到点P1(0， 2，3)的距离为 到点P2(0，1， 1)的距离的两倍，求点P的坐标. 解：由点P在x轴上可设点P的坐标为( x，0，0)，
则 PP1 (0 x)2 ( 2 0)2 (3 0)2 PP2 (0 x)2 (1 0)2 (1 0)2
6、卦限中点的坐标的符号
5、特殊点的坐标
O(0，0，0)
R
P( x，0，0) C Q(0，y，0)
R(0，0，z)
o
A( x，y，0) x P
B(0，y，z) C( x，0，z)
Ⅰ:+ + ＋ B Ⅱ:- + ＋
•M
Q
Ⅲ:- - ＋
y
Ⅳ:+ Ⅴ:+
-＋ +-
A
Ⅵ:- + Ⅶ:- - -
Ⅷ:+ - -
第七章 空间解析几何与向量代数 第一节 空间直角坐标系
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一、空间点的直角坐标
1、空间直角坐标系 过空间一个定点O，作三条互相垂直的数轴，
它们都以O为原点，且具有相同的长度单位，方
向按右手规则，
即以右手握住 z 轴，当右
z 竖轴
手的四个手指从正向 x轴
以 角度转向正向 y 轴
2
时，大拇指的指向就是 z
AB CA，且 AB 2 CA 2 BC 2 . 故ABC为等腰直角三角形 . 例2、设点P在x轴上，且它到点P1(0， 2，3)的距离为 到点P2(0，1， 1)的距离的两倍，求点P的坐标. 解：由点P在x轴上可设点P的坐标为P( x，0，0)，
则 PP1 (0 x)2 ( 2 0)2 (3 0)2 x2 11，
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二、空间两点的距离公式
如图，设M1( x1，y1，z1 )、M2( x2，y2，z2 )为空间两点，
在直角三角形
M1
NM
中，有
2
z
R
M1M2 2 M1 N 2 NM2 2
• M2
在直角三角形M 1 PN中，有
M1•
Q
M1N 2 M1P 2 PN 2 ,
M1M2 2 M1P 2 PN 2 NM2 2
2、点到原点的距离：d x2 y2 z2 . 上 页 下 页 返 回
例1、证明以点A(4，1，9)、B(10， 1，6)、C(2，4，3)为顶点 的三角形是等腰直角三角形. 解： AB (10 4)2 (1 1)2 (2， CA (4 2)2 (1 4)2 (9 3)2 7，