相似三角形拔高特训1.如图，在Rt ABC∆中，∠ACB= 090,AC=6,BC=8,点D在边AB上运动，DE平分∠CDB 交边BC于点E，EM BD⊥垂足为M，EN CD⊥垂足为N。
（1）当AD=CD时，求证：DE∥AC；（2）探究：AD为何值时，△BME与△CNE相似？（3）探究：AD为何值时，四边形MEND与△BDE的面积相等？2.已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．（1）求证：EG=CG；（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45º，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？3.如图，点A是△ABC和△ADE的公共顶点，∠BAC＋∠DAE＝180°，AB＝k·AE，AC＝k·AD，点M是DE的中点，直线AM交直线BC于点N．（1）探究∠ANB与∠BAE的关系，并加以证明．（2）若△ADE绕点A旋转，其他条件不变，则在旋转的过程中（1）的结论是否发生变化？如果没有发生变化，请写出一个可以推广的命题；如果有变化，请画出变化后的一个图形，并证明变化后∠ANB与∠BAE的关系．ABCEMDNFACE图③A DEG图①FA DG图②如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D在边AB上运动，DE平分∠CDB交边BC于点E，EM⊥BD垂足为M，EN⊥CD垂足为N。
（1）当AD=CD时，求证：DE∥AC；（2）探究：AD为何值时，△BME与△CNE相似？（3）探究：AD为何值时，四边形MEND与△BDE的面积相等。
解：（1）∵∴∴又∵DE是∠BDC的平分线∴∠BDC=2∠BDE∴∠DAC=∠BDE∴DE∥AC。
（2）（i）当时，得∴BD=DC∵DE平分∠BDC∴DE⊥BC，BE=EC又∠ACB=90°∴DE∥AC∴即∴AD=5。
（2）当时，得∴EN∥BD又∵EN⊥CD∴BD⊥CD即CD是△ABC斜边上的高由三角形面积公式得AB·CD=AC·BC∴CD=∴综上，当AD=5或时，△BME与△CNE相似。
（3）由角平分线性质易得∵∴即∴EM是BD的垂直平分线∴∠EDB=∠DBE∵∠EDB=∠CDE∴∠DBE=∠CDE又∵∠DCE=∠BCD∴∴∴即∵∴由①得∴∴∴。
2.已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．（1）求证：EG=CG；（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45º，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（1）证明：在Rt△FCD中,∵G为DF的中点,∴CG= FD．………………1分同理,在Rt△DEF中,EG= FD．………………2分∴CG=EG．…………………3分（2）（1）中结论仍然成立,即EG=CG．…………………………4分FAC E图③A DEG 图①FA DG图②证法一：连接AG,过G点作MN⊥AD于M,与EF的延长线交于N点．在△DAG与△DCG中,∵AD=CD,∠ADG=∠CDG,DG=DG,∴△DAG≌△DCG．∴AG=CG．………………………5分在△DMG与△FNG中,∵∠DGM=∠FGN,FG=DG,∠MDG=∠NFG,∴△DMG≌△FNG．∴MG=NG在矩形AENM中,AM=EN．……………6分在Rt△AMG 与Rt△ENG中,∵AM=EN,MG=NG,∴△AMG≌△ENG．∴AG=EG．∴EG=CG．……………………………8分证法二：延长CG至M,使MG=CG,连接MF,ME,EC,……………………4分在△DCG 与△FMG中,∵FG=DG,∠MGF=∠CGD,MG=CG,∴△DCG ≌△FMG．∴MF=CD,∠FMG＝∠DCG．∴MF‖CD‖AB．………………………5分∴．在Rt△MFE 与Rt△CBE中,∵MF=CB,EF=BE,∴△MFE ≌△CBE．∴．…………………………………………………6分∴∠MEC＝∠MEF＋∠FEC＝∠CEB＋∠CEF＝90°．…………7分∴△MEC为直角三角形．∵MG = CG,∴EG= MC．∴．………………………………8分（3）（1）中的结论仍然成立,即EG=CG．其他的结论还有:EG⊥CG．……10分3.如图，点A是△ABC和△ADE的公共顶点，∠BAC＋∠DAE＝180°，AB＝k·AE，AC＝k·AD，点M是DE的中点，直线AM交直线BC于点N．（1）探究∠ANB与∠BAE的关系，并加以证明．（2）若△ADE绕点A旋转，其他条件不变，则在旋转的过程中（1）的结论是否发生变化？如果没有发生变化，请写出一个可以推广的命题；如果有变化，请画出变化后的一个图形，并证明变化后∠ANB与∠BAE的关系．ABCEMDN（1）∠ANB+∠BAE=180º．………………………………………………………1分证明：（法一）如图1,延长AN到F,使MF=AM,连接DF、EF.………………2分∵点M是DE 的中点,∴DM=ME,∴四边形ADFE是平行四边形,……………………………………………………3分∴AD‖EF,AD=EF,∴∠DAE+∠AEF =180º,∵∠BAC+∠DAE=180º,∴∠BAC=∠AEF ,…………………………………………………………………4分∵AB=kAE,AC=kAD,∴,∴………………………………………6分∴△ABC∽△EAF∴∠B=∠EAF …………………………………8分∵∠ANB+∠B+∠BAF =180º∴∠ANB+∠EAF+∠BAF =180º即∠ANB+∠BAE=180º,………………………………………………………10分（法二）如图2,延长DA到F,使AF=AD,连接EF.……………………2分∵∠BAC+∠DAE=180º,∠DAE +∠EAF =180º,∴∠BAC=∠EAF,………………………………………………………………3分∵AB=kAE,AC=kAD,∴,∴,………………………………………4分∴△ABC∽△AEF,…………………………………5分∴∠B=∠AEF,………………………………………6分∵点M是DE 的中点,∴DM=ME,又∵AF=AD,∴AM是△DEF的中位线,∴AM‖EF,…………………………………………7分∴∠NAE=∠AEF,∴∠B=∠NAE,……………………………………8分∵∠ANB+∠B+∠BAN=180º,∴∠ANB+∠NAE+∠BAN =180º,即∠ANB+∠BAE=180º．…………………………10分(2)变化．如图3（仅供参考）,∠ANB=∠BAE．（图和结论各1分）………………12分选取（ⅰ）,如图4.证明：延长AM到F,使MF=AM,连接DF、EF. ……………………………………………………2分∵点M是DE的中点,∴DM=ME∴四边形ADFE是平行四边形,…………………4分∴AD‖FE,AD=EF,∴∠DAE+∠AEF =180º,∵∠BAC+∠DAE=180º,∴∠BAC=∠DAE,………………………………6分∵AB=kAE,AC=kAD,,∴AB=AE ,AC=AD,∴AC=EF,………………………………………………………………………………7分∴△ABC≌△EAF,∴∠B=∠EAF,……………………………………………………………………8分∵∠ANB+∠B+∠BAF=180º,∴∠ANB+∠EAF+∠BAF=180º,即∠ANB+∠BAE=180º．……………………………………………………………10分选取（ⅱ）,如图5.证明：∵AB=AC,∴∠B= （180º-∠BAC）,…………………………………………………………3分∵∠BAC+∠DAE=180º,∴∠DAE=180º-∠BAC,∴∠B= ∠DAE,∵AB=kAE,AC=kAD,∴AE=AD,∵AM是△ADE的中线,AB=AC,∴∠EAM= ∠DAE,∴∠B=∠EAM,……………………………………………………………………4分∵∠ANB+∠B+∠BAM=180º,∴∠ANB+∠EAM +∠BAM=180º,即∠ANB+∠BAE=180º．…………………………………………………………5分。