专业
班
二、 选择题（每小题 2 分，共 10 分）
1.下列哪个图形是仿射不变图形？( A.圆 C.矩形 2.
u1 2 u1u 2 8 u 2 0
2 2
) B.直角三角形 D.平行四边形
系
表示(
)
A.以-1/4 为方向的无穷远点和以 1/2 为方向的无穷远点
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B. 以-4 为方向的无穷远点和以 2 为方向的无穷远点 C. 以 4 为方向的无穷远点和以-2 为方向的无穷远点 D. 以 1/4 为方向的无穷远点和以-1/2 为方向的无穷远点 3.两个不共底且不成透视的射影点列至少可以由几次透视对应组成？( A.一次 C.三次 B.两次 D.四次 )： B. 梯形 D.椭圆 )
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六、计算题（42 分）
1. （6 分）平面上经过 A（-3，2）和 B（6，1）两点的直线被直线 x+3y-6=0 截于 P 点， 求单比(ABP)
2. （6 分）已知仿射平面上直线 l 的非齐次坐标方程为 x-2y+1=0，求 （1）l 的齐次坐标方程； （2）l 上无穷远点的坐标； （3）l 上无穷远点的方程。
0, 0
（2 分）
6 a 2 b 3c d 0
,6a+3b+2c+d=0
得到： a : b : c : d
3 : 5 : 5 : 7 0
故射影变换方程为： 3 ' 5 5 ' 7 二重元素满足： 3 2 10
7 0
（4 分） （2 分）
4.下面的名称或定理分别不属于仿射几何学有( A. 三角形的垂心 C.在平面内无三线共点的四条直线有六个交点 5.二次曲线按射影分类总共可分为( A.4 类 C.6 类 ) B.5 类 D.8 类
三、判断题（每小题 2 分，共 10 分）
1.仿射对应不一定保持二直线的平行性。 （ 2.两直线能把射影平面分成两个区域。 ） （ 3.当正负号任意选取时，齐次坐标 ( 1, 1, 1) 表示两个相异的点。 ） （ 4. 在一维射影变换中，若已知一对对应元素(非自对应元素)符合对合条件，则此 射影变换一定是对合。 ） （ 5.配极变换是一种非奇线性对应。 ） （ ）
u 1 u 3 u 2 0 （4
2
分）
二、 选择题（每小题 2 分，共 10 分） 1.( D),2.( C),3.(B),4.( A),5.( B) 三、 判断题（每小题 2 分，共 10 分） 1.( ×),2.( √),3.( ×),4.( √),5.( √) 四、 作图题（8 分）
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作法过程： 1、设 a,b,c 交于点 A，在 c 上任取一点 C, （2 分） 2、过 C 点作两直线分别与 a 交于 B、E，与 b 交于 F，D， 分） （2 3、BD 与 EF 交于 G,4、AG 即为所求的 d。 分） （2 根据：完全四点形的调和共轭性（2 分） 五、 证明题（10 分） 证明： 在三点形 BTS 与三点形 DQP 中（4 分） 对应顶点的连线 BD,TQ,SP 三线共点， 分） （2 由德萨格定理的逆定理知， 分） （2 对应边的交点 BT 与 DQ 的交点 G，TS 与 QP 的交点 M 以及 BS 与 DP 的交点 H 三点共线，即 TS 与 QP 的交点 M 在直线 GH 上。 分） （2 六、计算题（42 分） 1. （6 分） 解：设 P 点的坐标为（x0，yo） AP AP ， （2 分） ( ABP ) （分割比）
1 D a ij 3 2 1 5 0
A3 1 A3 3 A3 2 A3 3
3 2 4
1 5 36 0
∴二次曲线为常态的，
设中心 ( , ),
3 而 ： A31 2 4 1 5
14 25
且
,

7 2
1 , A23 3 2
1 5
13 2
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一、 填空题（每小题 4 分，共 20 分） 1、 2、 1（4 分） 如果两个三线形对应边的交点在一条直线上，则对应顶点的连线 交于一点。 分） （4 3、 4、 2（4 分） 射影群包含仿射群，仿射群包含相似群，相似群包含正交群（4 分） 5、
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3. (8 分)在直线上取笛氏坐标为 2，0，3 的三点作为射影坐标系的 P*,P0, E，(i) 求此直线上任一点 P 的笛氏坐标 x 与射影坐标 λ 的关系； （ii）问有没有一点， 它的两种坐标相等？
而 : x0 BP 3 6 1 PB , y0 2 1
且 P 在直线 x+3y-6=0 上，
( 3 6 1 ) 3( 2 1 )6 0
解得 λ=1， 即 P 是 AB 中点，且（ABP）=－1
（2 分） （2 分）
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( x 2 )(3 0 )
故： x 3x 6 ，且 1 3 0 6 60
x 3x 6
（4 分）
(ii) 若有一点它的两种坐标相等，即 x=λ 则有 x 7x=0， ∴当 x=0 及 x= 7 时两种坐标相等。
3
x 3x 6
，即 3x2－
（4 分）
3. （8 分） 设射影变换的方程为： a b c d 由题意知：a+ b c d
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四、作图题（8 分）
已知线束中三直线 a,b,c，求作直线 d，使(ab,cd)=-1。 （画图，写出作法过程和 根据）
五、证明题（10 分）
如图，设 FGH 是完全四点形 ABCD 对边三点形，过 F 的两直线 TQ 与 SP 分别交 AB，BC，CD，DA 于 T，S，Q，P.试利用德萨格定理（或逆定理）证明： TS 与 QP 的交点 M 在直线 GH 上。
1. （6 分） （1） x
1
- 2x 2 + x 3 = 0
（2 分）
（2） （1，1/2，0） （2 分） （3） u 2.
1
u 21 / 2 0
（2 分）
(8 分)
解：笛氏坐标
0 2 3 x ． ． ． ． 射影坐标： P* P0 E λ （i）由定义 λ=（P*P0，EP）=（2 0，3x）= (3 2 )( x 0 )
4. （8 分）求点列上的射影变换，它将参数为 1,2,3 的点分别变为参数为 1,3,2 的点，并求出此射影变换的自对应元素的参数。
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5. (6 分)求由两个射影线束 x1 x 3 0 ， x 2 x 3 0 ，3 程。
0
所构成的二阶曲线的方
6. (8 分) 试求二次曲线Γ ： x12 4 x1 x 2 3 x 22 +2x1x3-4x2x3=0 的中心与渐近线。
25 14
)－(y+
25 26
)=0→5x－5y－8=0。
（2 分）
25
25
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试卷类型： A
姓名
高等几何
使用专业年级 考试方式：开卷（ ）闭卷（√） 共 6 页
题号 一 二 三 四 得分
五Leabharlann 六合计学号
一、 填空题（每小题 4 分，共 20 分） 1、设 P1 (1)， P2 (-1)， P3 ( )为共线三点，则 ( P1 P2 P3 ) 2、写出德萨格定理的对偶命题： 。 3、若共点四直线 a,b,c,d 的交比为(ab,cd)=-1，则交比(ad,bc)=______。 4、平面上 4 个变换群，射影群，仿射群，相似群，正交群的大小关系为： 。 5、二次曲线的点坐标方程为 4 x1 x 3 x 22 0 ，则其线坐标方程为是 。 。
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得 =7/3 或 =1
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（6 分） 解：由题意： 3
x 2 3 x3 0
（2 分）
x2 3 x3 x1 x3
x 2 x3 0
由上式得：
（2 分） （2 分）
故所求方程即为 3 x x
1
3
6.(8 分) 解：二次曲线的齐次方程为：x12+3x1x2-4x22+2x1x3－10x2x3=0，
1 , A33 3 2
3 2 4 25 4
则中心为 (
,
26 25
)
（4 分）
求渐近线方程：a11X2+2a12XY+a22Y2=0， X=x－ξ，Y=y－η。 从 X2+3XY－4Y2=0 →（X+4Y） （X－Y）=0. X+4Y=(x－ 1 4 )+4 (y+ 2 6 )=0→5x+20y+18=0， （2 分） X－Y=(x－