D
B A 1
A
F
立体几何——平行的证明
【例1】如图，四棱锥P －ABCD 的底面是平行四边形，点E 、F 分 别为棱AB 、 PD 的中点．求证：AF ∥平面PCE ；
分析：取PC 的中点G ，连EG.，FG ，则易证AEGF 是平行四边形
【例2】如图，已知直角梯形ABCD 中，AB∥CD，AB⊥BC，AB ＝1，BC ＝2，CD ＝1＋3，过A 作AE⊥CD，垂足为E ，G 、F 分别为AD 、CE 的中点，现将△ADE 沿AE 折叠，使得DE⊥EC。

（Ⅰ）求证：BC⊥面CDE ； （Ⅱ）求证：FG∥面BCD ；
分析：取DB 的中点H ，连GH,HC 则易证FGHC 是平行四边形
【例3】已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D, E, F 分别为AA 1, CC 1, AB 的中点， M 为BE 的中点, AC⊥BE . 求证：
（Ⅰ）C 1D⊥BC； （Ⅱ）C 1D∥平面B 1FM. 分
析
：
连
EA
，
易
证
C 1EAD
是
平
行
四
是
（第1题图）
P
E
D
C
B
A
MF -,,AD CD AD BA ⊥⊥//EB PAD 平面E F G M
AD CD BD BC AM
EFG 求证：
AB 1
ABEF ⊥ABCD
ABEF
ABCD
090,BAD FAB BC
∠=∠=//=
1
2
AD BE //=
12
AF ,G H ,FA FD BCHG ,,,C D F E ） 利用平行
四边形的性质
【例9】正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中O 为正方形ABCD 的中心，M 为BB 1的中点，
求证： D 1O 2
1
中点为PD E 求证：AE ∥平面PBC ；
分析：取PC 的中点F ，连EF 则易证ABFE 是平行四边形
【例11】在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形，∠ ACB=90︒，ＥＡ⊥平面ＡＢＣＤ，EF ∥ＡＢ，ＦＧ∥ＢＣ，ＥＧ∥ＡＣ.ＡＢ=２ＥＦ。

若Ｍ是线段ＡＤ的中点，求证：ＧＭ∥平面ＡＢＦＥ;
（I ）证法一： 因为
EF
90ACB ∠=︒
90,EGF ABC
∠=︒∆.
EFG ∆BC FG 2
1=
ABCD BC AM 2
1=FA ⊂GM ⊄
A
B
C
D
E
F G M
SM
AM
ND
BN
【例15】直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD 是等腰梯形，AB∥DC，AB＝2AD＝2DC＝2，E为BD1的中点，F为
AB中点．
(1)求证EF∥平面ADD1A1；（2）求几何体DD1AA1EF的体积。

A F
E
B
C
D M
N。