平面向量的数量积
A 组 专项基础训练
一、选择题(每小题5分，共20分)
1． (2012·辽宁)已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(2，x )，若a ·b ＝1，则x 等于
( )
A ．－1
B ．－1
2
C.1
2
D ．1
2． (2012·重庆)设x ，y ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，则|a
＋b |等于( )
A. 5
B.10 C ．2 5 D ．10
3． 已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c 等于( )
A.⎝ ⎛⎭
⎪⎫
79，73
B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－73，－79
C.⎝ ⎛⎭⎪⎫73，79
D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫－7
9，－73 4． 在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，BC ＝10，则AB →·AC
→等于
( )
A ．－3
2
B ．－2
3
C.2
3
D.32
二、填空题(每小题5分，共15分)
5．已知向量a ，b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝________. 6．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，则AB →·AC
→＝________. 7． 已知a ＝(2，－1)，b ＝(λ，3)，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是__________． 三、解答题(共22分)
8． (10分)已知a ＝(1,2)，b ＝(－2，n ) (n >1)，a 与b 的夹角是45°.
(1)求b ；
(2)若c 与b 同向，且a 与c －a 垂直，求c .
9． (12分)设两个向量e 1、e 2满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1、e 2的夹角为60°，若向量2t e 1＋7e 2与
向量e 1＋t e 2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围．
B 组 专项能力提升
一、选择题(每小题5分，共15分)
1．在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，AB →·BC
→＝1，则BC 等于
( )
A. 3
B.7
C ．2 2
D.23
2． 已知|a |＝6，|b |＝3，a·b ＝－12，则向量a 在向量b 方向上的投影是( )
A ．－4
B ．4
C ．－2
D ．2
3．在直角三角形ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，点P 为线段CD 的中点，则|P A |2＋|PB |2|PC |2等
于( ) A ．2
B ．4
C ．5
D ．10
二、填空题(每小题5分，共15分)
4．设向量a ＝(1,2m )，b ＝(m ＋1,1)，c ＝(2，m )．若(a ＋c )⊥b ，则|a |＝________.
5．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点
F 在边CD 上，若AB →·AF →＝2，则AE →·BF →的值是________．
6．在矩形ABCD 中，边AB 、AD 的长分别为2、1，若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且
满足|BM →||BC →|＝|CN →|
|CD →|，则AM →·AN
→的取值范围是________．
三、解答题
7． (13分)设平面上有两个向量a ＝(cos α，sin α) (0°≤α<360°)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
－12，32.(1)求证：向量
a ＋
b 与a －b 垂直；(2)当向量3a ＋b 与a －3b 的模相等时，求α的大小．
平面向量的数量积参考答案
A 组 专项基础训练
1.答案 D 解析 a ·b ＝(1，－1)·(2，x )＝2－x ＝1⇒x ＝1. 2． 答案 B
解析 ∵a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)， 由a ⊥c 得a ·c ＝0，即2x －4＝0，∴x ＝2.
由b ∥c ，得1×(－4)－2y ＝0，∴y ＝－2.∴a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)． ∴a ＋b ＝(3，－1)，∴|a ＋b |＝32＋(－1)2＝10. 3．答案 D
解析 设c ＝(x ，y )，则c ＋a ＝(x ＋1，y ＋2)，又(c ＋a )∥b ，∴2(y ＋2)＋3(x ＋1)＝0.① 又c ⊥(a ＋b )，∴(x ，y )·(3，－1)＝3x －y ＝0.②联立①②解得x ＝－79，y ＝－73. 4．答案 D
解析 由于AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|·cos ∠BAC ＝12(|AB →|2＋|AC →|2－|BC →|2)＝12×(9＋4－10)＝32. 二、填空题(每小题5分，共15分)
5．答案 32解析 ∵a ，b 的夹角为45°，|a |＝1，
∴a ·b ＝|a |·|b |cos 45°＝22|b |，|2a －b |2＝4－4×22|b |＋|b |2＝10，∴|b |＝3 2. 6． 答案 －16
解析 如图所示， AB
→＝AM →＋MB →， AC
→＝AM →＋MC → ＝AM →－MB →，∴AB →·AC →＝(AM →＋MB →)·(AM →－MB →) ＝AM
→2－MB →2＝|AM →|2－|MB →|2＝9－25＝－16. 7． 答案 (－∞，－6)∪⎝ ⎛
⎭
⎪⎫－6，32解析 由a·b <0，即2λ－3<0，解得λ<32，由a ∥b 得：
6＝－λ，即λ＝－6.因此λ<3
2，且λ≠－6. 三、解答题(共22分)
二、填空题(每小题5分，共15分) 4．答案
2解析 利用向量数量积的坐标运算求解．
a ＋c ＝(1,2m )＋(2，m )＝(3,3m )．∵(a ＋c )⊥
b ， ∴(a ＋
c )·b ＝(3,3m )·(m ＋1,1)＝6m ＋3＝0， ∴m ＝－1
2.∴a ＝(1，－1)，∴|a |＝ 2. 5．答案
2解析 方法一 坐标法．
以A 为坐标原点，AB ，AD 所在直线为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，则A (0,0)，B (2，0)，E (2，1)，F (x,2)．故AB
→＝(2，0)，AF →＝(x,2)，AE →＝(2，1)，BF →＝(x －2，2)，
∴AB →·AF →＝(2，0)·(x,2)＝2x .又AB →·AF →＝2，∴x ＝1.∴BF →＝(1－2，2)． ∴AE →·BF →＝(2，1)·(1－2，2)＝2－2＋2＝ 2. 方法二 用AB
→，BC →表示AE →，BF →是关键． 设DF
→＝xAB →，则CF →＝(x －1)AB →. AB →·AF →＝AB →·(AD →＋DF →)＝AB →·(AD →＋xAB →)＝xAB →2＝2x ，又∵AB →·AF →＝2，∴2x ＝2， ∴x ＝22.∴BF →＝BC →＋CF →＝BC →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22－1AB →.∴AE →·BF →＝(AB
→＋BE →)·⎣⎢⎡⎦⎥⎤BC →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22－1AB → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋12BC →⎣⎢⎡⎦
⎥⎤BC →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2
2－1AB
→ ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22－1AB →2＋12BC →2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22－1×2＋12×4＝ 2. 6．答案 [1,4]
解析 利用基向量法，把AM →，AN →都用AB →，AD →表示，再求数量积． 如图所示， 设|BM →||BC →|＝|CN →||CD →|
＝λ(0≤λ≤1)，则BM
→＝λBC →，
CN
→＝λCD →，DN →＝CN →－CD →＝(λ－1)CD →， ∴AM →·AN →＝(AB →＋BM →)·(AD →＋DN →)＝(AB →＋λBC →)·[AD →＋(λ－1)CD →]＝(λ－1)AB →·CD →＋λBC →·AD → ＝4(1－λ)＋λ＝4－3λ，∴当λ＝0时，AM →·AN →取得最大值4；当λ＝1时，AM →·AN
→取得最
小值1.∴AM →·AN →∈[1,4]．
三、解答题
7．(1)证明 ∵(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝|a |2－|b |2＝(cos 2α＋sin 2α)－⎝ ⎛⎭⎪⎫
14＋34＝0，
故向量a ＋b 与a －b 垂直．
(2)解 由|3a ＋b |＝|a －3b |，两边平方得3|a |2＋23a·b ＋|b |2＝|a |2－23a·b ＋3|b |2， 所以2(|a |2－|b |2)＋43a·b ＝0，而|a |＝|b |，所以a·b ＝0，即⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－12·cos α＋32·sin α＝0，
即cos(α＋60°)＝0，∴α＋60°＝k ·180°＋90°， k ∈Z ， 即α＝k ·180°＋30°，k ∈Z ，
又0°≤α<360°，则α＝30°或α＝210°.。