专题二——利用导数研究函数的性质200９-2-24高考趋势导数作为进入高中考试范围的新内容，在考试中占比较大.常利用导数研究函数的性质，主要是利用导数求函数的单调区间、求函数的极值和最值,这些内容都是近年来高考的重点和难点，大多数试题以解答题的形式出现,通常是整个试卷的压轴题。
试题主要先判断或证明函数的单调区间,其次求函数的极值和最值，有时涉及用函数的单调性对不等式进行证明。
考点展示1.二次函数y f x =()的图象过原点且它的导函数y f x ='()的图象是如图所示的一条直线，则y f x =()图象的顶点在第 一 象限 2．如图，函数()f x 的图象是折线段ABC ,其中A B C ，，的坐标分别 为(04)(20)(64)，，，，，,则((0))f f = 2 ; 函数()f x 在1x =处的导数(1)f '= -２ .３.曲线324y x x =-+在点(13)，处的切线的倾斜角为 4５°4．设曲线2ax y =在点(1,a ）处的切线与直线062=--y x 平行,则=a 15.设R a ∈，若函数ax e y x+=,R x ∈有大于零的极值点，则a 的取值范围1-<a6．已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为()f x '，(0)0f '>，对于任意实数x ,有()0f x ≥，则(1)(0)f f '的最小值为 ２ ． ７.已知函数3()128f x x x =-+在区间[]33-，上的最大值与最小值分别为M ,m ,则M m -=__３2＿_8．过点P （２,８）作曲线3x y =的切线,则切线方程为＿ １2x-y －１6=0或3ｘ-ｙ+２＝０样题剖析例1、设函数323()(1)1,32a f x x x a x a =-+++其中为实数。
(Ⅰ）已知函数()f x 在1x =处取得极值，求a 的值；(Ⅱ)已知不等式'2()1f x x x a >--+对任意(0,)a ∈+∞都成立，求实数x 的取值范围。
解: (1) '2()3(1)f x ax x a =-++，由于函数()f x 在1x =时取得极值，所以 '(1)0f =即 310,1a a a -++==∴（2) 方法一:由题设知:223(1)1ax x a x x a -++>--+对任意(0,)a ∈+∞都成立 即22(2)20a x x x +-->对任意(0,)a ∈+∞都成立设 22()(2)2()g a a x x x a R =+--∈, 则对任意x R ∈，()g a 为单调递增函数()a R ∈ 所以对任意(0,)a ∈+∞,()0g a >恒成立的充分必要条件是(0)0g ≥ 即 220x x --≥，20x -≤≤∴ 于是x 的取值范围是}{|20x x -≤≤方法二:由题设知:223(1)1ax x a x x a -++>--+对任意(0,)a ∈+∞都成立 即22(2)20a x x x +-->对任意(0,)a ∈+∞都成立于是2222x x a x +>+对任意(0,)a ∈+∞都成立，即22202x xx +≤+ 20x -≤≤∴于是x 的取值范围是}{|20x x -≤≤点评：函数在某点处取得极值,则在这点处的导数为０,反过来,函数的导数在某点的值为0，则在函数这点处取得极值。
变式1.若f(ｘ)=21ln(2)2x b x -++∞在(-1,+)上是减函数,则b 的取值范围是 1b ≤- 由题意可知'()02b f x x x =-+<+,在(1,)x ∈-+∞上恒成立，即(2)b x x <+在(1,)x ∈-+∞上恒成立，由于1x ≠-,所以1b ≤-,变式２．已知函数11()3x p f x -=,22()23x p f x -=⋅（12,,x R p p ∈为常数）.则()()12f x f x ≤对所有实数x 成立的充分必要条件（用12,p p 表示）为（1)由()f x 的定义可知,1()()f x f x =（对所有实数x ）等价于 ()()12f x f x ≤(对所有实数x )这又等价于12323x p x p --≤,即123log 2332x p x p ---≤=对所有实数x 均成立.(＊）由于121212()()()x p x p x p x p p p x R ---≤---=-∈的最大值为12p p -，2 BCAy x1 O 3 4 5 6 123 4故（*）等价于1232p p -≤，即123log 2p p -≤,这就是所求的充分必要条件变式３.函数3()31f x ax x =-+对于[]1,1x ∈-总有()0f x ≥成立,则a ＝ 4 .解：若0x =,则不论a 取何值，()0f x ≥显然成立； 当0x > 即(0,1]x ∈时，3()310f x ax x =-+≥可化为,2331a x x ≥- 设()2331g x x x =-，则()()'4312x g x x -=， 所以()g x 在区间10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，因此()max 142g x g ⎛⎫==⎪⎝⎭，从而4a ≥; 当0x < 即[)1,0x ∈-时，3()310f x ax x =-+≥可化为2331a x x≤-,()()'4312x g x x -=0>()g x 在区间[)1,0-上单调递增，因此()()ma 14n g x g =-=，从而4a ≤，综上4a =例2、如图,等腰梯形ＡＢCD 三边AB,ＢＣ,C Ｄ分别与函数212-=x y Q ，Ｒ,求梯形ABCD 面积的最小值解：设Ｐ的坐标)221,(200+-x x P ,)0,24(020x x A + )2,21(0x B )2124(20020x x x S ++=利用基本不等式得,最小值为24 变式：设函数()b f x ax x =-,曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为74120x y --=。
（1）求()y f x =的解析式;(2）证明：曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0x =和直线y x =所围成的三角形面积为定值,并求此定值。
解:（１）方程74120x y --=可化为734y x =-，当2x =时，12y =; 又()'2b f x a x =+,于是1222744b a b a ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,解得13a b =⎧⎨=⎩，故()3f x x x =-（２）设()00,P x y 为曲线上任一点,由'231y x =+知曲线在点()00,P x y 处的切线方程为 ()002031y y x x x ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭，即()00200331y x x x x x ⎛⎫⎛⎫--=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令0x =，得06y x =-，从而得切线与直线0x =的交点坐标为060,x ⎛⎫- ⎪⎝⎭; 令y x =,得02y x x ==，从而得切线与直线y x =的交点坐标为()002,2x x ； 所以点()00,P x y 处的切线与直线0,x y x ==所围成的三角形面积为0016262x x -=； 故曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0,x y x ==所围成的三角形面积为定值，此定值为６；要掌握求函数的极值的一般步骤，利用导数研究函数的单调性，另外要熟记常见函数的导数公式以及和、差、乘积和商的导数公式 曲线上某点处的切线与过某点的切线之间是有区别的 切线的几何意义比较明显，解题时,应多结合图形,图形可以帮助确定解题方向，也可以帮助及时找出错误。
自我测试1. 过原点作曲线y ＝e ｘ的切线,则切点的坐标为 (1, e ）２．直线12y x b =+是曲线ln (0)y x x =>的一条切线，则实数b ln21- . 3.已知函数()f x ,x ∈Ｒ满足(2)3f =，且()f x 在R 上的导数满足/()10f x -<，则不等式22()1f x x <+的解集为__ (,(2,)-∞+∞ ＿_． (构造函数()()g x f x x =-)4.一个物体的运动方程为21t t s +-=其中s 的单位是米,t 的单位是秒,那么物体在3秒末的瞬时速度是 5 米/秒.5.母线长为1的圆锥体积最大时，圆锥的高等于336．半径为r 的圆的面积S(r)＝πｒ２,周长C(ｒ)=2πr,若将r 看作(0，+∞)上的变量,则（πｒ2)`＝２πr 错误!，错误!式可以用语言叙述为:圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。
对于半径为R 的球，若将R 看作(0,＋∞)上的变量，请你写出类似于＼o ＼ac （○,1)的式子: 错误!，错误!式可以用语言叙述为： ．解:V 球=343R π，又32443R R ππ'（）＝ 故错误!式可填32443R R ππ'（）＝，用语言叙述为“球的体积函数的导数等于球的表面积函数.”(本题考查类比的思想方法,本题属于中等题）7.已知函数),1,0(),22(log 2)(log )(R t a a t x x g x x f a a ∈≠>-+==和的图象在x =2处的切线互相平行.(１)求t 的值.（2)设2)(]4,1[)()()(≥∈-=x F x x f x g x F 时，，当恒成立,求a 的取值范围.(1）解:e t x x g e x x f a a log 224)(,log 1)(-+='='∵函数)()(x g x f 和的图象在x ＝2处的切线互相平行， ∴)2()2(g f '='∴e t e a a log 24log 21+=∴ｔ=6 （2)∵ｔ=6,∴x x x f x g x F a a log )42(log 2)()()(-+=-==]4,1[,)42(log 2∈+x xx a令].4,1[,16164)42()(2∈++=+=x xx x x x h ∵]4,1[,)2)(2(4164)(22∈+-=-='x xx x x x h ∴当0)(420)(21>'≤<<'<≤x h x x h x 时，，当时，∴)2,1[)(在x h 是单调减函数,在]4,2(是单调增函数∴.36)4()1()(,32)2()(max min =====h h x h h x h∴当.32log )(136log )(10min min a a x F a x F a =>=<<时，有，当时，有∵当2)(2)(]4,1[min ≥∴≥∈x F x F x 恒成立，时， ∴满足条件的a 的值满足下列不等式组:⎩⎨⎧≥<<236log .10a a ① 或⎩⎨⎧≥>232log ,1aa ② 不等式组①的解集为空集，解不等式组②,得 241≤<a 综上所述，满足条件的ａ的取值范围是]24,1(８.已知函数()f x 的导数2()33,f x x ax '=-(0).f b =,a b 为实数,12a <<. (Ⅰ)若()f x 在区间[1, 1]-上的最小值、最大值分别为2-、1,求a 、b 的值;(Ⅱ)在（Ⅰ)的条件下，求经过点(2, 1)P 且与曲线()f x 相切的直线l 的方程; (Ⅲ）设函数2()(()61)xF x f x x e '=++⋅,试判断函数()F x 的极值点个数． 解（Ⅰ）由已知得,323()2f x x ax b =-+ 由()0f x '=，得10x =,2x a =．∵[1, 1]x ∈-,12a <<，∴ 当[1, 0)x ∈-时，()0f x '>,()f x 递增； 当(0, 1]x ∈时,()0f x '<，()f x 递减.∴ ()f x 在区间[1, 1]-上的最大值为(0)f b =，∴1b =． 又33(1)11222f a a =-+=-,33(1)1122f a a -=--+=-， ∴ (1)(1)f f -<． 由题意得(1)2f -=-，即322a -=-,得43a =． 故43a =,1b =为所求．（Ⅱ）解:由（1）得32()21f x x x =-+，2()34f x x x '=-,点(2, 1)P 在曲线()f x 上．⑴ 当切点为(2, 1)P 时，切线l 的斜率2()|4x k f x ='==, ∴ l 的方程为14(2)y x -=-，即470x y --=．⑵当切点P 不是切点时,设切点为00(, )Q x y 0(2)x ≠,切线l 的斜率0200()|34x x k f x x x ='==-，∴ l 的方程为 20000(34)()y y x x x x -=--. 又点(2, 1)P 在l 上,∴ 200001(34)(2)y x x x -=--， ∴ 322000001(21)(34)(2)x x x x x --+=--， ∴ 2200000(2)(34)(2)x x x x x -=--,∴ 2200034x x x =-,即002(2)0x x -=，∴00x =． ∴ 切线l 的方程为1y =．…8分故所求切线l 的方程为470x y --=或1y =． ………………………………9分（ 或者：由（１)知点Ａ（0,1）为极大值点,所以曲线()f x 的点Ａ处的切线为1y =，恰好经过点(2, 1)P ,符合题意．）（Ⅲ)解: 2222()(3361)33(2)1x xF x x ax x e x a x e ⎡⎤=-++⋅=--+⋅⎣⎦. ∴ []222()63(2)233(2)1x xF x x a e x a x e '⎡⎤=--⋅+--+⋅⎣⎦22[66(3)83]x x a x a e =--+-⋅.二次函数266(3)83y x a x a =--+-的判别式为22236(3)24(83)12(31211)123(2)1a a a a a ⎡⎤∆=---=-+=--⎣⎦,令0∆≤,得:21(2),223a a -≤≤≤ 令0∆>，得22a a <->+或 ∵20xe>,12a <<,∴当22a ≤<时，()0F x '≥，函数()F x 为单调递增，极值点个数为0; 当123a <<-时,此时方程()0F x '=有两个不相等的实数根,根据极值点的定义,可知函数()F x 有两个极值点．。