第7章圆轴扭转
主要知识点：（1）圆轴扭转的概念、扭矩和扭矩图；
（2）圆轴扭转时的应力和强度计算；
（3）圆轴扭转时的变形和刚度计算。

圆轴扭转的概念、扭矩和扭矩图
1.已知圆杆横截面上的扭矩，试画出截面上与T对应的切应力分布图。

解：截面上与T对应的切应力分布图如下：
2.用截面法求下图所示各杆在1-1、2-2、3-3截面上的扭矩。

图7-2
解：a)采用截面法计算扭矩（见图7-2a）。

取1-1截面左侧外力偶矩计算，可得m kN T ⋅-=-311。

取2-2截面左侧外力偶矩计算，由平衡方程062122=+⋅-+-T m kN ）（，可得m kN T ⋅=-322。

取3-3截面右侧外力偶矩计算，可得m kN T ⋅=-133。

b) 采用截面法计算扭矩（见图7-2b ）。

取1-1截面左侧外力偶矩计算，可得m kN T ⋅-=-511。

取2-2截面左侧外力偶矩计算，由平衡方程05522=+⋅+-T m kN ）（
，可得m kN T ⋅-=-1022。

取3-3截面右侧外力偶矩计算，由平衡方程03333=+⋅+-T m kN ）（
，可得m kN T ⋅-=-633。

3. 作下图各杆的扭矩图。

解：a)采用截面法计算扭矩（见图7-3a ）。

取1-1截面左侧外力偶矩计算，可得m kN T ⋅=-411。

取2-2截面右侧外力偶矩计算，可得m kN T ⋅-=-222。

作出扭矩图。

a)
b)
图7-3
b) 由力矩平衡方程可得e A
M M 2-=（负号表示与图中假设方向相反）。

采用截面法计算
扭矩（见图7-3b ）。

取1-1截面左侧外力偶矩计算，可得e M T 211-=-。

取2-2截面右侧外力偶矩计算，可得e M T -=-22。

作出扭矩图。

圆轴扭转时的应力和强度计算
4. 实心圆轴和空心轴通过牙嵌离合器而连接，如图所示。

已知轴的转速n =100r/min ，传递的功率P=7.5kW ，材料的许用应力][τ=40MP a ，试通过计算确定 （1） 采用实心轴时，直径d 1和的大小；
（2） 采用内外径比值为1/2的空心轴时，外径D 2的大小。

解：计算外力偶矩，作用在轴上的外力偶矩：
m N m N n P T ⋅=⋅⨯==716100
5.795509550
（1）采用实心轴时，直径d 1的大小应满足下式：
a a P P P d W T 63
1
max 1040][16
716⨯=≤⨯==τπτ
解得 mm m T
d 0.451040716
][3
616
3
16
1=⨯⨯=⨯≥π
πτ （2）采用内外径比值α=1/2的空心轴时，外径D 2的大小应满足下式：
a
a P
P P D W T 6432
max 1040][)1(16
716⨯=≤-⨯=
=ταπτ
解得 mm m T
D 0.46)5.01(1040716
)1]([34616
3
4162=-⨯⨯⨯=-⨯≥π
π
ατ
5. 如图所示为皮带传动轴，轴的直径d =50mm ，轴的转速为n =180r/min ，轴上装有四个皮带轮。

已知A 轮的输入功率为P A =20kW ，轮B 、C 、D 的输出功率分别为P B =3kW ，P C =10kW ，P D =7kW ，轴材料的许用切应力][τ=40MP a 。

（1）画出轴的扭矩图。

（2）校核轴的强度。

图7-5
解：（1）画扭矩图
计算外力偶矩，作用在各轮上的外力偶矩：
m
N m N n P
M m
N m N n P
M m
N m N n P
M m N m N n P M D
D C
C B
B A A ⋅=⋅⨯==⋅=⋅⨯==⋅=⋅⨯==⋅=⋅⨯
==3711807
9550955053118010
95509550159180
3
95509550106118020
95509550
用截面法求得1-1截面上的扭矩为m N M T B ⋅-=-=1591；2-2截面的扭矩为
m N M M T B A ⋅=-=9022；3-3截面的扭矩为m N M T D ⋅==3713。

绘出的扭矩图如图7-5
所示。

（2）强度校核
由图可见AC 段扭矩最大，由于是等截面圆轴，故危险截面在AC 段内。

由于a a a P W T MP =<MP =P ⨯⨯==
-40][7.36105016
9023
32max τπτ）（，所以轴满足强度条件。

图7-7
圆轴扭转时的变形和刚度计算 6． 图示圆轴长l =500mm ，直径d =60mm ，受到外力偶矩M 1=4kN ·m 和M 2＝7kN ·m 作用，材料的剪切弹性模量G=80GP a （1）画出轴的扭矩图； （2）求轴的最大切应力；
（3）求轴的最大单位长度扭转角。

解：（1）绘扭矩图
用截面法求得1-1截面上的扭矩为m kN M M T ⋅=-=3121，
2-2截面的扭矩为m kN M T ⋅-=-=412。

绘出扭矩图如右图。

（2）由扭矩图可见BC 段扭矩最大，由于是等截面圆轴，故危险截面在BC 段内。

得其最大切应力为
()
a a P MP MP W T 3.94106016
10433
3
2max =⨯⨯⨯==-πτ
（3）BC 段扭矩最大，BC 段内最大单位长度扭转角即轴的最大单位长度扭转角。

m
m
GI T
p
25.2180106032
10801041804
393
max max =⨯
⨯⨯⨯⨯⨯=
⨯=-π
ππ
θ）
（
7．如图示，在一直径为75mm 的等截面轴上，作用着外力偶矩：M 1=1000N ·m ，M 2=600N ·m ，M 3=M 4=200N ·m ，材料的剪切弹性模量G=80GP a 。

要求： （1）画出轴的扭矩图； （2）求出轴的最大切应力； （3）求出轴的总扭转角。

解：（1）画扭矩图
用截面法求得1-1截面上的扭矩为m N M T ⋅==100011；2-2截面的扭矩为m N M M T ⋅=-=400212；3-3截面的扭矩为m N M T ⋅==20043。

绘出的扭矩图如图7-7
所示。

（2）由图7-7可见AB 段扭矩最大，由于是等截面圆轴，故危险截面在AB 段内。

轴的最大切应力
a a P W T MP =P ⨯⨯==
-1.12107516
10003
31max ）（πτ
（3）求轴的总扭转角：
00
4
391462.0180107532
10802
1000180
=⨯
⨯⨯⨯
⨯⨯=⨯=-）（）（π
ππϕP AB BA GI l T
004392138.018010753210805.1400180
=⨯
⨯⨯⨯
⨯⨯=⨯=
-）（）
（π
ππ
ϕP CB CB GI l T
00
4
3930462.0180107532
10801
200180
=⨯
⨯⨯⨯
⨯⨯=⨯=
-）（）
（π
ππ
ϕP DC DC GI l T
D 截面相对A 截面的相对扭转角即为轴的总扭转角
0000646.0462.0138.00462.0=++=++=BA CB DC DA ϕϕϕϕ
8. 一钢轴的转速n=240r/min ，传递的功率为P=44kW 。

已知][τ=40MP a ，][θ=1︒/m ，G=80GP a ，试按强度和刚度条件确定轴的直径。

解：钢轴的扭矩
m N m N n P T ⋅=⋅⨯==1751240
4495509550
（1）按强度条件确定轴的直径
直径d 1的大小应满足圆轴扭转时的强度条件：
a a P P P d W T 63
1
max 1040][161751⨯=≤⨯==τπτ
解得 mm m T
d 6.60104016
1751
]
[16
3
6
3
1=⨯⨯=
⨯≥
πτπ
（2）按刚度条件确定轴的直径
直径d 2的大小应满足圆轴扭转时的刚度条件：
][180
32
1804
2
θπππθ≤⨯⨯=⨯=d G T GI T P (︒/m)
解得 mm m G T d 8.59180
1
32
10801751180][324942=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯≥πππθπ
由于钢轴既要满足强度条件，又要满足刚度条件，所以d 取直径d 1和直径d 2中较大的，
确定钢轴直径mm d 6.60=。