扭转典型习题解析1 一内径d =100mm 的空心圆轴如图示，已知圆轴受扭矩m kN 5⋅=T ，许用切应力][τ=80MPa ，试确定空心圆轴的壁厚。
解题分析：因为不知道壁厚,所以不能确定是不是薄壁圆管。
分别按薄壁圆管和空心圆轴设计。
解： 1、按薄壁圆管设计薄壁圆管扭转时，假设切应力沿壁厚均匀分布，设壁厚为δ，平均半径为2/0）（δ+=d R ，则扭转切应力为 δτ20π2R T=强度条件为][ττ≤，于是得][π22τδδTd =+）（ ][π22223τδδδTd d =++ ()Pa1080πm N 1052m 10100m 1010026323233××⋅××=×+××+−−δδδ解得 mm 70.3m 1070.33=×=−δ 2、按空心圆轴设计强度条件为 ][pmax ττ≤=W T将δ216π44p +=−=d D d D DW ）；（代入得][π16][π][π164444=−−≤−τττd TD D d D DT，）（0Pa)108(m 1.0πm N 10516Pa 1080π64346=××−×⋅××−×××）（D D解得mm 107.7m 10107.73=×=−Dmm 85.32mm100mm 7.1072=−=−=d D δ 比较可知，两种设计的结果非常接近。
讨论: 当10/0R ≤δ时，即认为是薄壁圆管，可以直接使用薄壁管扭转公式。
2 图示受扭圆杆，沿平面ABCD 截取下半部分为研究对象，如图b 所示。
试问截面ABCD 上的切向内力所形成的力偶矩将由哪个力偶矩来平衡？解题分析：由切应力互等定理可知截面ABCD 上的切向内力分布及其大小。
该截面上切向内力形成一个垂直向上的力偶矩。
在图b 中，左右两个横截面上的水平切向内力分量形成垂直于截面ABCD 的竖直向下的力偶矩，正好与截面ABCD 上切向内力的合力偶矩平衡。
解：1、计算长为 l 的纵截面ABCD 上切向内力的合力偶矩如图c所示，在纵截面上取一微面积ρd d ⋅=l A ，其上切向内力的合力即微剪力ρρρτd d d pρS ⋅⋅=⋅⋅=l I Tl F 微剪力对 z 轴的微力矩为ρρρτρρd d d d 2pρS ⋅⋅=⋅⋅==l I T l F M z 积分得到纵截面上切向内力对 z 轴的合力偶矩为题2图(c)p32p 32d 2d I TlR l I T M M R z z =⋅⋅==∫∫ρρ，方向竖直向上。
2、计算两端横截面切向内力的水平分量形成的力偶矩 如图d所示，微面积θρρd d d =A 上切向内力的水平分量为θρθρθθρρτd d sin sin d d d 2pρ⋅=⋅⋅=I T F 右端横截面上剪力的水平分量为3p2p 2π0S 32d d sin 2R I T I T F R ==∫∫θρθρ 左右两个横截面上水平剪力形成绕 z 轴的力偶矩为3pS 32lR I Tl F =⋅，竖直向下。
所以，截面ABCD 上的切向内力所形成的力偶矩将由左右两个横截面上水平剪力形成的力偶矩平衡。
3 空心钢轴的外径 D = 100 mm ，内径 d = 50 mm 。
已知间距 l = 2.7 m 之间两截面的相对扭转角ϕ=1.8°，材料的切变模量G = 80 GPa 。
试计算：(1) 轴内最大切应力；(2) 当轴以 n = 80r/min 的速度旋转时，轴传递的功率(kW)。
解题分析：由已知条件ϕ求出扭矩T ，由 T 计算xa m τ和功率P 。
解：1、根据相对扭转角列出扭矩的表达式π180p °×=GI Tl ϕ，即lGI T °=180πp ϕ 2、计算最大切应力MPa6.46Pa 106.46180m7.22m1.0Pa π10808.11802π1802π269p p p max=×=°×××××°=°×=°××=⋅=l D G l I D GI I DT ϕϕτ 3、计算轴传递的功率由{}{}r/min kW 412442980954932m 1050100πm 7.2180Pa 10808.1P T =×−××°××°=−）（得kW 7.71=P4 若用一内外径比值为0.6的空心轴来代替直径为 d = 400 mm 的实心轴，在两轴的许用切应力相等的条件下，试确定空心轴的外径，并比较实心轴和空心轴的重量。
解题分析：用空心轴代替实心轴，须保证二者强度相同。
根据强度条件可求出D 值，再用面积比得出重量比。
解：1、根据两轴切应力相等的条件，确定空心轴外径][P max实P max τ==空W T W T )1(16π16π433α−=D d mm 420)6.01(1mm400)1(1)1(4343433=−=−=−=ααdd D2、比较实心轴和空心轴的重量两轴重量比应等于其横截面面积空A 和实A 之比：%71%100mm 4006.01mm 4204π)1(4π22222222=×−=−=）（实空d D A A α 即在强度相同条件下，空心轴可以节约近30％的材料。
讨论：在实际工程中常用空心圆轴代替实心圆轴，在保障安全运行的前提下，可以节约材料。
5 已知钻探机杆的外径D = 60 mm ，内径d = 50 mm ，功率P = 7.46 kW ，转速n =180 r/min ，钻杆入土深度l = 40 m ，G = 80 GPa ，[τ]= 40 MPa 。
设土壤对钻杆的阻力是沿长度均匀分布的，试求：(1) 单位长度上土壤对钻杆的阻力矩M ；(2) 作钻杆的扭矩图，并进行强度校核； (3) 求A 、B 两截面相对扭转角。
解题分析：根据题意，为圆轴扭转问题。
土壤对钻杆的阻力形成扭力矩作用在钻杆上，并沿钻杆长度方向均匀分布。
解：1、求阻力矩集度M设钻机输出的功率完全用于克服土壤阻力，则有m N 390min/r 180kW46.79549}{}{9549min r kW ⋅===n P T单位长度阻力矩m/m N 75.9m 40mN 390⋅=⋅==lT M2、作扭矩图，进行强度校核钻杆的扭矩图如图 c 所示。
最大扭矩出现在A 截面，所以A 截面为危险截面。
其上最大切应力为[]ττ<=×−××⋅=×=−−MPa 7.17m 10)5060(32πm1030m N 390412443p max maxI R T满足强度要求。
3、计算A 、B 两截面相对扭转角ϕAB2·d ·d · p 0p0p l GI T x GI l xT GI x M ll AB===∫∫ϕ°==××−×××⋅×=−8.48rad 0.1482m 10]5060[πPa 1080m04m N 39032 412449）（）（ 6 两个等长度的钢管松套在一起。
外管的尺寸为D 1=100 mm ，d 1=90 mm ；内管的尺寸D 2 = 90 mm ，d 2 = 80 mm 。
当内管受扭矩T = 2 kN·m 作用时，将两管的两端焊接起来。
然后去掉内管上的扭矩，问此时组合管内将产生怎样的应力？试画出组合管横截面上的切应力分布图。
解题分析：内、外管两端焊接后，内、外管在端截面处一起变形。
去掉内管扭矩后，内管产生恢复性扭转变形，并带动外管也产生扭转变形。
同时外管限制内管完全恢复到其受扭前位置。
两管在中间位置取得平衡。
此题属于扭转静不定问题。
解：设预加扭矩T 在内管引起的扭转角为ϕ；在焊接后和去掉内管扭矩后，设外管所受扭矩为T 1，相应扭转角为ϕ1，内管所受扭矩为T 2，相应扭转角为ϕ2。
1、列静力平衡方程21T T =(a )2、列变形协调方程21ϕϕϕ+=(b )代入物理关系得p22p11p2GI l T GI l T GI Tl+= (c) 3、计算各管扭矩将(a)、(c)联立求解，得 ）（）（）（414142424141p1p2p11d D d D d D T I I TI T −+−−=+=241244412444124431m N 1166m 1090100m 108090m 1090100m N 102T T =⋅=×−+×−×−⋅×=−−−）（）（）（4、计算外管和内管的切应力MPa 3.17Pa 103.17m 1090100π32m 1050m N 116626412443p111max 1=×=×−×××⋅=×=−−）（I D T τ MPa 8.21Pa 108.21m 10)8090(π32m 1045m N 116626412-443-p2222max =×=×−×××⋅=×=I D T τ组合管的切应力分布图如图b 所示。
7 一圆形截面杆和矩形截面杆受到相同扭矩T = 400 N ·m 作用，圆杆直径d = 40 mm ，矩形截面为60 mm ×20 mm ，试比较这两种杆的最大切应力和截面面积。
解题分析：圆形截面杆受扭时最大切应力发生在截面边缘各点处，矩形截面杆受扭时最大切应力发生在截面长边中点处。
计算时需要先查表得到有关系数。
解：1、分别计算两种截面杆最大切应力圆杆MPa 9.31Pa 109.31m)1040(πm N 40016π166333p max =×=××⋅×===−d T W T τ 矩形杆，先计算比值326==b h ，查表267.0=α MPa 4.62Pa 104.62m)1060(m 1020267.0mN 40063232max =×=××××⋅==−−）（hb Tατ2、分别计算两杆截面面积圆杆()mm 1260m 1012604m 1040π26-22-3=×=××=圆A矩形杆1200mm m 101200m 1020602626=×=××=−−矩A讨论：矩形截面面积与圆形面积相近，但是最大切应力却增大了近一倍，且bh之值越大，切应力也越大，因此工程中应尽量避免使用矩形截面杆作扭转杆件。