扭转习题解答
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第7章 圆轴扭转
主要知识点：（1）圆轴扭转的概念、扭矩和扭矩图；
（2）圆轴扭转时的应力和强度计算；
（3）圆轴扭转时的变形和刚度计算。
圆轴扭转的概念、扭矩和扭矩图
1. 已知圆杆横截面上的扭矩，试画出截面上与T 对应的切应力分布图。
解：截面上与T 对应的切应力分布图如下：
2. 用截面法求下图所示各杆在1-1、2-2、3-3截面上的扭矩。
图7-2
解：a)采用截面法计算扭矩（见图7-2a ）。
取1-1截面左侧外力偶矩计算，可得m kN T ⋅-=-311。
取2-2截面左侧外力偶矩计算，由平衡方程
062122=+⋅-+-T m kN ）（，可得m kN T ⋅=-322。
取3-3截面右侧外力偶矩计算，可得m kN T ⋅=-133。
b) 采用截面法计算扭矩（见图7-2b ）。
取1-1截面左侧外力偶矩计算，可得m kN T ⋅-=-511。
取2-2截面左侧外力偶矩计算，由平衡方程
05522=+⋅+-T m kN ）（，可得m kN T ⋅-=-1022。
取3-3截面右侧外力偶矩计算，由平衡方程
03333=+⋅+-T m kN ）（，可得m kN T ⋅-=-633。
3. 作下图各杆的扭矩图。
解：a)采用截面法计算扭矩（见图7-3a ）。
取1-1截面左侧外力偶矩计算，可得m kN T ⋅=-411。
取2-2截面右侧外力偶矩计算，可得m kN T ⋅-=-222。
作出扭矩图。
a) b)
图7-3
b) 由力矩平衡方程可得e A M M 2-=（负号表示与图中假设方向相反）。
采用截面法计算扭矩（见图7-3b ）。
取1-1截面左侧外力偶矩计算，可得e M T 211-=-。
取2-2截面右侧外力偶矩计算，可得e M T -=-22。
作出扭矩图。
圆轴扭转时的应力和强度计算
4. 实心圆轴和空心轴通过牙嵌离合器而连接，如图所示。
已知轴的转速n =100r/min ，传递的功率P=，材料的许用应力][τ=40MP a ，试通过计算确定
（1） 采用实心轴时，直径d 1和的大小；
（2） 采用内外径比值为1/2的空心轴时，外径D 2的大小。
解：计算外力偶矩，作用在轴上的外力偶矩：
（1）采用实心轴时，直径d 1的大小应满足下式：
解得 mm m T d 0.4510
40716][36163161=⨯⨯=⨯≥ππτ （2）采用内外径比值α=1/2的空心轴时，外径D 2的大小应满足下式：
图7-7
解得 mm m T D 0.46)
5.01(1040716)1]([346163
4162=-⨯⨯⨯=-⨯≥ππατ 5. 如图所示为皮带传动轴，轴的直径d =50mm ，轴的转速为n =180r/min ，轴上装有四个皮带轮。
已知A 轮的输入功率为P A =20kW ，轮B 、C 、D 的输出功率分别为P B =3kW ，P C =10kW ，P D =7kW ，轴材料的许用切应力][τ=40MP a 。
（1）画出轴的扭矩图。
（2）校核轴的强度。
图7-5
解：（1）画扭矩图 计算外力偶矩，作用在各轮上的外力偶矩：
用截面法求得1-1截面上的扭矩为m N M T B ⋅-=-=1591；2-2截面的扭矩为
m N M M T B A ⋅=-=9022；3-3截面的扭矩为m N M T D ⋅==3713。
绘出的扭矩图如图7-5所示。
（2）强度校核
由图可见AC 段扭矩最大，由于是等截面圆轴，故危险截面在AC 段内。
由于a a a P W T MP =<MP =P ⨯⨯==-40][7.36105016
902332max τπτ）（，所以轴满足强度条件。
圆轴扭转时的变形和刚度计算
6． 图示圆轴长l =500mm ，直径d =60mm ，受到外力偶矩M 1=4kN ·m 和M 2＝7kN ·m 作用，材料的剪切弹性模量G=80GP a
（1）画出轴的扭矩图；
（2）求轴的最大切应力；
（3）求轴的最大单位长度扭转角。
解：（1）绘扭矩图
用截面法求得1-1截面上的扭矩为m kN M M T ⋅=-=3121，
2-2截面的扭矩为m kN M T ⋅-=-=412。
绘出扭矩图如右图。
（2）由扭矩图可见BC 段扭矩最大，由于是等截面圆轴，故危险截面在BC 段内。
得其最大切应力为
（3）BC 段扭矩最大，BC 段内最大单位长度扭转角即轴的最大单位长度扭转角。
7．如图示，在一直径为75mm 的等截面轴上，作用着外力偶矩：M 1=1000N ·m ，M 2=600N ·m ，M 3=M 4=200N ·m ，材料的剪切弹性模量G=80GP a 。
要求：
（1）画出轴的扭矩图；
（2）求出轴的最大切应力； （3）求出轴的总扭转角。
解：（1）画扭矩图
用截面法求得1-1截面上的扭矩为m N M T ⋅==100011；2-2截面的扭矩为
m N M M T ⋅=-=400212；3-3截面的扭矩为m N M T ⋅==20043。
绘出的扭矩图如图7-7所示。
（2）由图7-7可见AB 段扭矩最大，由于是等截面圆轴，故危险截面在AB 段内。
轴的最大切应力
（3）求轴的总扭转角：
D 截面相对A 截面的相对扭转角即为轴的总扭转角
8. 一钢轴的转速n=240r/min ，传递的功率为P=44kW 。
已知][τ=40MP a ，][θ=1/m ，G=80GP a ，试按强度和刚度条件确定轴的直径。
解：钢轴的扭矩
（1）按强度条件确定轴的直径
直径d 1的大小应满足圆轴扭转时的强度条件：
解得 mm m T
d 6.60104016
1751][16363
1=⨯⨯=⨯≥πτπ
（2）按刚度条件确定轴的直径
直径d 2的大小应满足圆轴扭转时的刚度条件：
][18032
18042θπππθ≤⨯⨯=⨯=d G T GI T P (/m) 解得 mm m G T d 8.59180132
10801751180][324942=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯≥πππθπ 由于钢轴既要满足强度条件，又要满足刚度条件，所以d 取直径d 1和直径d 2中较大的，确定钢轴直径mm d 6.60=。