0 , P2
T N BT PB B1T P B1 B2 P2 B2 N1 N 2 , 1 T W BT PL B1T P L1 B2 P2 L2 W1 W2 . 1
一般来说，第一次平差时给定的两类观测值 的权 P , P2 是不恰当的，或者说它们的单位 1 权方差不相等，令其分别为 2 , 2
常数项 （-l）
0.18 -0.53 3.15 0.23
5
6 7 8
0.6298
-0.3864 0.7966 -0.8350
0.6368
-0.8400 -0.2572 -0.1523
0.0000
0.0000 -0.2244 0.0384
0.0000
0.0000 -0.3379 0.4095
-2.44
ˆ V1 B1 X L1
B1 N 1W L1 B1 N 1 (W1 W2 ) L1
T ( B1 N 1 B1T P E ) L1 B1 N 1 B2 P2 L2 1
D(V1 ) ( B1 N 1B1T P E ) D( L1 )( B1 N 1B1T P E )T 1 1
表1
点 号
A 坐标 X Y ° 14 123 坐标方位角 ′ 0 10 ″ 35.77 57.97 4001.117 7734.443
边长(m)
4899.846 130.812
B
C
8781.945 1099.443
4548.795 7572.622
表2
编 号 观测角 编 号 观测角 ° 74 77 28 55 72 52 ′ 18 27 13 21 22 16 ″ 16.8 59.1 43.2 9.9 25.8 20.5 编 号 观测边 （m） 2463.94 3414.61 5216.16 6042.94 5085.08 5014.99
2 ˆ

2 P 1 ˆ0 a
P 1 s
ˆ2 ˆ2 s 0
即 2 ˆ

s

2 3.5904( 2 )， ″ ˆ0

-1 2 =3.4323 （0.56）=6.1291 cm2） （ ˆs
1 2
因为对于数学期望为η，方差阵Σ的随机变量 Y，其二次型 Y T BY (B为任一对称可逆矩阵)的 数学期望
E) 0
所以
E (V PV1 ) tr ( P D(V1 )), 1 1
T 1
式中 D 1 为改正数 V1 的方差。 （V）
它的解列于表4.
各次平差后未知数的解 迭代次数 1 2
坐标 改正 数 （cm） 3 1.5664 -0.8756 -5.6086 12.4159
ˆ x1
1.5844 -0.8516 -5.5103 12.5115
1.5719 -0.8698 -5.5852 12.4387
ˆ y1
ˆ x2
ˆ y2
迭代次 系数矩阵S 数 1
T T B1 N 1 B2 P D( L2 ) P B2 N 1 B1 2 2
D( L )
D( L1 )
2
2 P 1， 01 1 2 P 1. 02 2
D(V1 )



2 ( B N 1 N N 1BT 2B N 1BT P 1 ) 1 1 1 1 1 01 1
01 0
2
则有
D( L )
D( L1 )
2
2 P 1， 01 1 2 P 1. 0 2 2
方差分量估计的目的就是利用各次平差后各类 V1T PV1 和V2T P2V2 来估计 2 和 2 。 改正数的平方和 1 0 1 0 2 2, 2 因此，问题就是解决 0 0 是否相等。
n1 1 n2 1
它们的权阵分别为 它们的误差方程分别为
n1 n1
P,P 1 2
n2 n2
此时， P 12
0
ˆ V1 B1 X L1 , ˆ V B X L .
2 2 2
且有下列关系式：
L1 V1 B1 P 1 L ,V , B , P L2 V2 B2 0
i
，再
ˆ Pi
c 2 P 1 ˆ 0 i 1
i
式中c为任一常数，一般是选 ˆ 02 中某一个值。 4、反复进行第二项和第三项，即进行： 平差-方差分量估计-定权后再平差，直至 ˆ ˆ ˆ 2 2 …= 2 。
0
1
0
2
0
m
例题：
有边角网如图，A，B，C为已 知点，P1，P2为待定点，网中 观测了12个角度和6个边长， 起算数 据和观测值分别列于表1和表 2。根据经验，测角中误差为 ±1.5″，边长测量中误差为 ±2.0cm,
2 ( B N 1 N N 1BT ) 2 1 02 1
E (V PV1 ) tr ( P D (V1 )) 1 1
T 1
E (V1T PV1 ) 1
n1 2tr ( N 1 N1 ) tr ( N 1 N1 N 1 N1 )
tr ( N 1 N1 N 1 N 2 )
1 2 3 4 5 6
° ′ ″ 84 7 38.2 7 37 46 34.9 8 58 5 44.1 9 33 3 3.2 10 126 1 55.7 11 20 55 2.3 12
13 14 15 16 17 18
按间接平差法进行赫尔默特估计，求： （1）角度、边长观测值的方差估值。 解： （1）根据先验方差（mβ=±1.5″,ms=±2cm） 进行第一次定权，即
0.3255
0.0840 0.9516 0.4030 -0.9772 0.0000 0.0000 -0.0934
-0.0384 -0.4095 8.04
-0.2614 0.2194 0.0000 0.0000
0.0000 0.0000 1.54 0.0000 0.0000 -3.93 -0.6429 -0.7660 2.15 -0.8330 0.5532 -0.9956 0.0934 -12.85 -8.21
0 2
误差方程的系数和常数项列表 3
表3
序
1 2 3 4
误差方程的系数矩阵（B） a b c d
0.5532 0.2434 -0.7966 -0.2434 -0.8100 0.5528 0.2572 -0.5528 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
按间接平差时的方差分量估计
间接平差的基本公式为：
n1
L BX
ni i1 n1
E ( L) BX , E () 0
D( L) P , D ( ) D( L) P
2 0 1 2 0 1
误差方程： V
ˆ BX L
现设在L中包含两类相互独立的观测值 L , L2 1
9.1875 0.7681 36.0880 3.6285 0.7681 3.2763 14.5228 3.5820
1:0.96
2
1:0.98
3
1:0.99
根据第一次估算出的两类观测值的单位权 ˆ 02 和 0 s ，计算角度和边长观测 方差 ˆ2 值的方差估值，其计算公式：
4.3124 -0.2886 -0.8579 3.4214 0.0229 1.4214 对称
-0.3418 7.5529 -0.2024 6.0311 x+ 0 ˆ 0.0592 8.4751 1.0438 12.3622
T 2

2 0
1
E (V P V2 ) tr ( N 1 N1 N 1 N 2 ) 2 2
2 0 2
n2 2tr ( N 1 N 2 ) tr ( N 1 N 2 )2
01

2 02
由上两式中，将数学期望的符号去掉，改成平 2 差得到的计算 V1T PV1和 V2T P2V2 ，则求出的 0 和 1 2 ˆ2 ˆ2 也改成估值 0 和 0 。将上式改写成： 0 2
ˆ2 0 ˆ2 0
1 2
V1T PV1 1 W T V2 P2V2
被估参数与方程的个数相同，一般来说，有唯 一解， 即
ˆ =S 1W
ˆ2 根据上式，通过预平差可求出 0
2 2 2 1
1
ˆ2 0 和
2
ˆ S
W 0
2 1
ˆ =S 1W
Helmert(赫尔默特)估计法
Helmert(赫尔默特)估计法
利用预平差的改正数V,按验后估计各类观测量验 前方差的方法，最早是由赫尔默特提出。 若各类观测量之间相互独立，即观测量的方差阵 是拟对角矩阵，成为方差估计或发差分量估计。 赫尔默特估计法，也称为方差的最小二乘估计法。
首先推导只含两类观测量的方差分量 估计公式，然后再推广到含有m类观测值 的方差估计公式。
以上就是赫尔默特方差分量估计的公式。
方差分量估计的迭代计算步骤：
1、将观测值按等级或按不同观测来源分类，并 进行验前权估计，即确定各类观测值的权的 初值 2、进行第一次平差（间接或条件平差）求得 3、按照 类观测值单位权方差的第一次估值 次定权：
ˆ=S 1W
ˆ2 0 进行第一次方差估计，求得各
Vi T PVi i

2 2 ˆ 0 i(″)
2 ˆ 0 : 0 ˆ2
s
9.1388 0.7640 35.4339 3.5904 0.7640 3.3333 14.1840 3.4323
9.1756 0.7670 35.9250 3.6190 0.7670 3.2903 14.4359 3.5438