赫尔默特方差分量估计1 赫尔默特方差分量估计我们知道，平差前观测值向量的方差阵一般是未知的，因此平差时随机模型都是使用观测值向量的权阵。

而权的确定往往都是采用经验定权，也称为随机模型的验前估计，对于同类观测值可按第一章介绍的常用定权方法定权；对于不同类的观测值，就很难合理地确定各类观测值的权。

为了合理地确定不同类观测值的权，可以根据验前估计权进行预平差，用平差后得到的观测值改正数来估计观测值的方差，根据方差的估计值重新进行定权，以改善第一次平差时权的初始值，再依据重新确定的观测值的权再次进行平差，如此重复，直到不同类观测值的权趋于合理，这种平差方法称为验后方差分量估计。

此概念最早由赫尔默特（F.R.Helmert ）在1924年提出，所以又称为赫尔默特方差分量估计。

一、赫尔默特方差分量估计公式为推导公式简便起见，设观测值由两类不同的观测量组成，不同类观测值之间认为互不相关，按间接平差时的数学模型为222111~~∆-=∆-=X B L X B L （函数模型） （8-4-1）0),(()()()()(2121122022112011=∆∆==∆==∆=--D L L D P D L D P D L D ），σσ （随机模型） （8-4-2）其误差方程为111ˆl xB V -= 权阵1P （8-4-3） 222ˆl xB V -= 权阵2P （8-4-4）作整体平差时，法方程为0ˆ=-W x N （8-4-5）式中2222111121B P B N B P B N N N N TT==+=，，2222111121l P B W l PB W W W W TT==+=，， 一般情况下，由于第一次给定的权1P 、2P 是不恰当的，或者说它们对应的单位权方差是不相等的，设为201σ和202σ，则有122022112011)()(--==P L D P L D σσ（8-4-6）但只有20202201σσσ==才认为定权合理。

方差分量估计的目的就是根据事先初定的权1P 、2P 进行预平差，然后利用平差后两类观测值的111V P V T 、222V P V T 来求估计量202201ˆˆσσ、，再根据（8-4-6）式求出)(ˆ)(ˆ21L D L D 、，由这个方差估值再重新定权，再平差，直到202201ˆˆσσ=为止。

为此需要建立111V P V T 、222V P V T与估计量202201ˆˆσσ、之间的关系式。

由数理统计知识可知，若有服从任一分布的q 维随机变量1⨯q Y，已知其数学期望为1⨯q η，方差阵为qq ⨯∑，则1⨯q Y向量的任一二次型的数学期望可以表达为：ηηB B tr BY Y E T T +∑=)()(（8-4-7）式中B 为任意q 阶的对称可逆阵。

现用V 向量代替上式中的Y 向量，则其中η的应换为)(V E ，∑应换为)(V D ，B 阵可以换成权阵P ，于是有)()())(()(V PE V E V PD tr PV V E TT += （8-4-8）前面已经证明0)(=V E ，于是有：))(()(111V PD tr PV V E T= （8-4-9）而1111l W N B V -=-12111)(l W W N B -+=-12221111111l l P B N B l P B N B TT -+=--2221111111)(l P B N B l I P B N B TT --+-=对上式应用协因数传播律得+--=--TT T I P B N B L D I P B N B V D ))(()()(1111111111 T TB N B P L D P B N B 112222211)(--将122022112011)()(--==P L D P L D σσ、代入上式，整理后得TT T B N N N B P B N B B N N N B V D 1121120211111111112011)2()(------++-=σσ 将上式代入（8-4-9）式，得 ))(()(11111V D P tr V P V E T=)()2(1121112021111111111111201T TTB N N N B P tr P P B N B P B N N N B P tr ------++-=σσ顾及矩阵迹的性质，上式可写为)()]()(2[)(12112021111111201111-----++-=N N N N tr N N N N tr N N tr n V P V E Tσσ同理可得)()]()(2[)(12112011212122202222-----++-=N N N N tr N N N N tr N N tr n V P V E Tσσ 去掉上面两式的期望符号，相应的单位权方差202201σσ、也改用估值符号202201ˆˆσσ、表示，整理顺序后得11120212112011111111ˆ)(ˆ)]()(2[V P V N N N N tr N N N N tr N N tr n T =++------σσ（8-4-10）22220212121222011211ˆ)]()(2[ˆ)(V P V N N N N tr N N tr n N N N N tr T =+-+-----σσ（8-4-11）其矩阵形式可写为 θθW S =⨯⨯1222ˆ （8-4-12） θθW S 112ˆ-⨯=（8-4-13）式中⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-=----------)()(2)()()()(21212122121112111111111N N N N tr N N tr n N N N N tr N N N N tr N N N N tr N N tr n S[]T202201ˆˆˆσσθ=[]TTT V P V V P V W 222111=θ （8-4-12）、（8-4-13）两式即为赫尔默特方差分量估计的严密公式。

由此式可以求得两类观测值的单位权方差估值，从而可以根据（8-4-6）式求得观测值方差的估值，以此方差估值再次定权，再次平差，直至满足要求为止。

现将以上推导扩展至m 组观测值。

误差方程为i i i l xB V -=ˆ )21(m i ，= 令120)(-=i i i P L D σ∑==mii i TiN N B P B N 1，∑==mii i T iW W l P B W 1，则得参数的估值为W N x1ˆ-=按照上述类似的推导，则有)()]()(2[)(1120,111120--≠=---∑++-=N N N N tr N N N N tr N N tr n V P V E j i j mij j i i i i ii i Ti σσ去掉期望符号，相应的单位权方差20i σ也改为用估值符号20ˆi σ，则有θθW S m m m =⨯⨯1ˆ （8-4-14）式中⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-+-+-=---------------------)()(2)()()()()(2)()()()()(211112111112121212122111211112111111111N N N N tr N N tr n N N N N tr N N N N tr N N N N tr N N N N tr N N tr n N N N N tr N N N N tr N N N N tr N N N N tr N N tr n S m m m m m m m ，，，[]Tm 20202201ˆˆˆˆσσσθ =[]Tm m Tm T T V P V V P V V P V W 222111=θ 二、计算步骤1.将观测值分类，并进行验前权估计，即确定各类观测值的权的初值m P P P 21、；2.进行第一次平差，求得i i Ti V P V ；3.按（8-4-14）式求各类观测值单位权方差估值20ˆi σ； 4.按（8-4-6）式计算各类观测值方差的估值；5.依据定权公式再次定权，再次平差，如此反复，直到各类单位权方差的估值相等或接近相等为止。

2 秩亏自由网平差在前面介绍的经典平差中，都是以已知的起算数据为基础，将控制网固定在已知数据上。

如水准网必须至少已知网中某一点的高程，平面网至少要已知一点的坐标、一条边的边长和一条边的方位角。

当网中没有必要的起算数据时，我们称其为自由网，本节将介绍网中没有起算数据时的平差方法，即自由网平差。

在经典间接平差中，网中具备必要的起算数据，误差方程为 111ˆ⨯⨯⨯⨯-=n t t n n l xB V （8-2-1）式中系数阵B 为列满秩矩阵，其秩为t B R =)(。

在最小二乘准则下得到的法方程为0ˆ11=-⨯⨯⨯t t tt bb W xN （8-2-2）由于其系数阵的秩为t B R PB B R N R T bb ===)()()(，所以bb N 为满秩矩阵，即为非奇异阵，具有凯利逆bbN1-，因此具有唯一解，即W N xbb1ˆ-=（8-2-3）当网中无起算数据时，网中所有点均为待定点，设未知参数的个数为u ，误差方程为111ˆ⨯⨯⨯⨯-=n u u n n l xB V （8-2-4）式中d t u +=d 为必要的起算数据个数。

尽管增加了d 个参数，但B 的秩仍为必要观测个数，即u t B R <=)(其中B 为不满秩矩阵，称为秩亏阵，其秩亏数为d 。

组成法方程 0ˆ11=-⨯⨯⨯u u u u W xN （8-2-5）式中PlB W PB B N T u T uu ==⨯⨯1，，且u t B R PB B R N R T<===)()()(，所以N 也为秩亏阵，秩亏数为：t u d -=（8-2-6）由上式知，不同类型控制网的秩亏数就是经典平差时必要的起算数据的个数。

即有：⎪⎩⎪⎨⎧=测角网网测边网、边角网、导线水准网、测站平差,4,3,1d在控制网秩亏的情况下，法方程有解但不唯一。

也就是说仅满足最小二乘准则，仍无法求得xˆ的唯一解，这就是秩亏网平差与经典平差的根本区别。

为求得唯一解，还必须增加新的约束条件，来达到求唯一解的目的。

秩亏自由网平差就是在满足最小二乘min =PV V T和最小范数min ˆˆ=x xT 的条件下，求参数一组最佳估值的平差方法。

下面将推导自由网平差常用两种解法的有关计算公式。

一、直接解法根据广义逆理论，相容方程组0ˆ11=-⨯⨯⨯u u u u W xN 虽然具有无穷多组解，但它有唯一的最小范数解，即：W N x m r 1ˆ-= （8-2-7）式中--=)(T T m NN N N ，称为矩阵N 的最小范数g 逆。