对方差分量的方差分析估计和谱分 解 估 计进 行 了比 较 & 给出了 两者 相等的 条件 ) 对此情形 &
P Q 在下文中 & 迹G 列 & 3 & & 3 & NJ < 8 N% N% 8 E N% N 和 N 分别表示给定矩阵 N 的转置矩阵 G O3 P 子空间 G 秩G 广义逆和 R4 广义逆 )记 T 表示到列子空间 O3 5 & 4 8 1 . 1 0 8 4 S 1 NJ N% NJ N% NAN3 上的正交投影阵 & PT V@ ) UNVW X @J N&
_ A* ^
a, A WP
则8 E 3 a %A $P [ \ ]a &
_ , _ A* 3 _ % d A e_ fQ g &g , & i a_ % & _ A, & * & b& ^ & _ _h U3 _
用 a_ 分别左乘模型 3 则得到 ^ 它们分别为 3 A, & * & " & b& % * F * % & Q*新模型 & _ ^
k 估计 & 记为 i _\ k i _ A
* d J 3 a_P T d & a_ e% l _
3 " \ m %
k 这时 l 下面我们基于 i A8 3 % P8 3 \ E a_ E a_ e% _ _ 给出方差分量的广义谱分解估计定义 ) 定义 n 满足条件 F C 若o 3 A, & * & b& % _ ^ _
" + * % . 2 在/ 的广义谱分解估计类中 (! & 最小值为 * ’ . # 1 # 方差最小 ( # $% " + * ’ . 2 在/ 最小值为 * + . ’ 的广义谱分解估计类中 ( # 1 # 方差最小 ( !& # $%
* + , b .
+ a + , + a a + %8 a ’ + a % , + a a + %8 a ’
" " 2 UV W 1 $+ / # #N M !& ! # $% + + + + & & ) & ) # # # # # + + B+ / B/ / , ’ ’ ! ! F # # # # $’ F # $’ F " "
* + , _ .
# $%
2 注意到 1 相互独立 ( 再依 * 式或引理 + 引理易证 3 $% ( ’ ( 6( . + 5 K . 5 ‘ ( # " #* "
3 _ % " " _*
3 " \ " %
这里 d A a_ 对任意 _ d & e_A a_ e& g @’ Q a_ ( & i !& ‘ ) 3 _ A, & * & " & b& _A a_ _A ! Q ‘ ,A , = * ? P 模型 3 由最小二乘统一理论 & 在模型3 ^ % & " F " %都 是 奇 异 线 性 模 型 & " F " %下 & e3 eJ a_ e% j 进一步 & 我们可以获得 i 的一个无偏 eJ a_ d为 e_ f的最优线性无偏估计 ) 3 _ A, & * & " & b& ^ % _
Y" 广义谱分解估计
" " 下面根据文献 = 思想给出模型 3 中方差分量 ! 和! 令 Z ? * F * % * 的广义谱分解估计的定义 )
因为 X 为对称阵 & 所以由文献 = 知 X 的谱分解惟一存在 ) 设矩阵 X 的谱分解为 A8 3 % \ * , ? [ E X
^
XA
a& ]‘
_ _ _ A* ^
2 LM 1 $L # #N !&
"
"
"
"
M
N
* + , O .
由不变估计的定义可以直接推出引理 + 5 + 3 + 引理 4 设 且 是 则 UV 5 P ( ( C T R非 奇 异 阵 ( * X . $+ * Q= >R* S C. R W Q Y Q Z W Y C.B X 3 S Y C Y S 证明参见文献 [ ’ ’ \ ]+ , 7 , 引理 4 5 ^
提出的一种称之为谱分解估计的参数估计新方法推广到随机效应设计阵为 & " # # " ( 任意矩阵的含两个方差分量的 线性 混 合 模型 % 给出 了方 差分 量的广义谱 分解 估计 方法 % 并证明了所得估计的一些统计性质 B 另外 % 还就广义谱分解估计类中某些特 得到了它们相等的充分必要条件 B 殊估计和对应的方差分析估计进行了比较 % 关键词 ) 线性混合模型 A 谱分解估计 A 方差分量 中图分类号 )C" ’ " ? ’ 文献标识码 ) ! 文章编号 ) ’ # # # , @ @ " @ & " # # $ ( # ’ , # # * + , # D
F’ 引
言
近" 线性混合效应模型 在 生 物 G 医学 G 经济 G 金融G 环 境科学 G 抽 样调 查及工 程技 #年来 % 术领域得到愈来愈广泛的应用 B 在文献中已经提出了多种估计方差分量的方法 B 例如方差
’ O@ P 分 析法 % 极大似然法 % 约束极大似然法 % 方法和经验 L 方法等 N % B最 1H IJ;K L 2 M 9 : 2 M 9 : $ P 近% 对于随机效应部分一般多向分类平衡数据模型的线性混合模型 % 王松桂和尹素菊 N 提出
高 校应 用数学学报 !辑 " # # $ % " # & ’ ( ) * + , * -
!. . / 012 3 4 0 5 0 6 4 7 8 9 : 9;8 7 < 0 = 9 > 0 !
方差分量的广义谱分解估计
史建红 ’ 王松桂 " %
山西临汾 # & ’ ?山西师范大学 数计学院 % @ ’ # # @ A 北京 ’ # # # " " ( " ?北京工业大学 应用数理学院 % 摘 要) 对 于 随 机 效 应 部 分 为 一 般 平 衡 多 向 分 类 的 线 性 混 合 模 型% 将王松桂
, ) & , : ) ;8 ) + * ! , ? " ( # &; 8 " &> " , & & < = $ $ & & ’( 9 & ’( & ’" 其中 8 乘子 / 分别关于 ) 并令所得微商等于零 * 得到 * * * 8 8 8 1 2 3 1 4 2 5 " ,为 0 & " , 求微商 * , B@ ) : & & ;8 + * & ’( * " * 7* % "; 8 , &’ ( 9 & %
定理 4 5 ; 分别记 a %$
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F # a ’$ +( 1 #
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F * a a . * F * a ) . # +8 ) # ’ # % #8 a ’ * % . ’ . & & # $% ( ’ ( 6( " , # $ # $ + + ( + + ( 1 * a a . 1 * a a . # + %8 a ’ # + %8 a ’
2 + + + IF 1 / B) / . G ( # $’ ( + ( 6( " ( # # = * # ’ F # H 2 + + 1 G , % % = / F JF % + 再根据 G 的性质得
* + , K .
& # 2 + + F 1 & ) & , # # $ / #B / ’ # # ! ! ! # # $% # $% F # $% # $% + + + + 0 由上式及广义谱分解估计的定义得 0 /和 / ’ 分别为 / 和 / ’ 的无偏估计 3 引理 4 方差分量的广义谱分解估计是二次不变估计 5 4 3
3 " \ * %
这里 ‘ 它们的重数分别为 [ -‘ -b-‘ & & b& )对任意 * c_ c [ [ * " ^ 为 X 的所有非零特征值 & * " ^ 显然 & 定义 3 % A[ & A[ \ & 8 E a_ ^ a_为向特征值 ‘ _对应的特征子空间投影的正交投影阵 ) _ _ ][
# $% # $’ + 则称 0 / ’$ "
* + , 7 .
1 为 / 的广义谱分解估计 3 !&
2 ## + ’ # $%
’ ’ 若& 则* 成 立3若 & 则 $’ ( $% * $’ ( 6( . ( + 5 . $8 ( $ ( $% * $+ ( 6( . ( & # " & & # " % # % ’ # ) ) ’ ’ 成立 ( 故定义 + 不难证明 9 当" 方差分量的广义谱分 * + 5 7 . 5 ’和 + 5 +有意义 3 事实上 ( $’时 ( 方差分量的广义谱分解估计是一个估计类 3 解估计惟一 3 当 " :’时 ( + + + + 0 0 引理 4 5 ; /和 / ’ 分别为 / 和 / ’ 的无偏估计 3 + + + + + + 证 因为 < 且* 所以 =>* ( B/ . ( B/ . * 8E $* . * 8E ?@ /A C C D# / /A /B) D# D# ?. # D# ?. ’ ’ ’