第七章 热力学基础1、一定量气体吸热800J ，对外作功500J ，由状态A 沿路径（1）变化到状态B ，问气体的内能改变了多少？如气体沿路径（2）从状态B 回到状态A 时，外界对气体作功300J ，问气体放出热量多少？ 解：（1）J 300500800A Q E 11=-=-=∆（2）J 600300300A E Q 22-=--=-∆-=2、1mol 氢，在压强为1大气压，温度为200C 时，体积为V 0，今使其经以下两个过程达到同一状态，试分别计算以下两种过程中吸收的热量，气体对外作功和内能的增量，并在p-V 图上画出上述过程。
（1）先保持体积不变，加热使其温度升高到800C ，然后令其作等温膨胀，体积变为原体积的2倍； （2）先使其等温膨胀到原体积的2倍，然后保持体积不变，加热到800C 。
解：由题意知 T 1=273+20=293K ，T 2=273+80=353K（1）J 12466031.825)T T (C E E E 12v 12=⨯⨯=-=-=∆J 20332ln 35331.8V V 2ln RT A A 0o223=⨯⨯===J327920331246A E Q =+=+∆=（2）J16872ln 29331.8V V 2lnRT A A 00112=⨯===J 12466031.825E E E '23=⨯⨯=-=∆J 293312461687E A Q =+=∆+=P V P(atm)003、容器内贮有刚性多原子分子理想气体，经准静态绝热膨胀过程后，压强减为初压强的一半，求始末状态气体内能之比。
解：由绝热方程122111P T P T -γγ--γγ-=可得γ-γ-⎪⎪⎭⎫⎝⎛=11221P P T T所以19.121P P T T RT 2i RT 2i E E 34134112212121=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛==νν=--γ-γ-4、如图所示，1mol 的氦气由状态A （p 1,V 1)沿p-V 图中直线变化到状态B(p 2,V 2)，设AB 延长线通过原点，求：（1）这过程内能的变化，吸收的热量和对外作的功； （2）气体的热容量； （3）多方指数。
解：（1）)V P V P (23)T T (R 23T C Mm E 112212v -=-=∆=∆)V V )(P P (21A 1221-+=)V P k (V P V P 2211==)V P V P (21A 1122-=∴)V P V P (2)V P V P (21)V P V P (23A E Q 112211221122-=-+-=+∆=（2）PdVdT C dA dE dQ V +=+=由理想气体方程得 R d T V d P P d V =+又 P=kV ， dP=kdVR d T P d V 2k V d V P d V V d P P d V ==+=+∴即dT2R PdV =R d T 2R d T 21R d T 23P d V dT C dQ V =+=+=热容量 R 2dTdQC ==（3）过程方程kV P = 即 k PV 1=-多方指数 n=-12)5、为测定气体的比热容比vP C C =γ，有时可用下面方法：将开始的温度、体积和压力分别为T 0,V 0和P 0的一定量气体，在一定时间内通以电流的铂丝加热，而且每次加热供应气体的热量相同。
第一次维持V 0不变，此时气体达到温度T 1和压力P 1。
第二次维持压力P 0不变，而温度变到T 2，体积变到V 1，试证明：01001P )V V (V )P P ( --=γ证： )T (T C M m Q 01V V -=)T T (C Mm Q 02p p -=根据题意 p V Q Q =及RT M m PV =01001002200110201Vp P )V V (V )P P (mRV M P mRV M P mRV M P mR V M P T T T T C C --=--=--==γ∴6、某理想气体在P-V 图上等温线与绝热线相交于A 点（如图所示）。
已知A 点的压强P 1=2×105Pa ，体积V 1=0.5×10-3m 3，而且A 点处等温线的斜率与绝热线斜率之比为0.714，现使气体从A 点绝热膨胀至B点，其体积V 2=1×10-3m 3。
求: （1）B 点处的压强；（2）在此过程中气体对外作的功。
解：（1）等温线的斜率VP dVdP CT -==绝热线的斜率VPdVdP CQ γ-==根据题意知714.01dVdP dV dPCQ CT =γ=== 4.1714.01==γ∴由绝热方程可得γγ=2211V P V PPa1058.7102)101105.0(P )V V (P 454.1331212⨯=⨯⨯⨯⨯==--γ（2）J5.6014.11011058.7105.01021V P V P A 34352211=-⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=-γ-=--PP 1OV 1 V 2 V7、试证明：1mol均动能的增量为()1N AA-γ，式中γ为比热容比，N A 证明：设膨胀前后的体积为V 1、V 2，温度为T 1、T 2，压强P 根据等压膨胀作功可得 )T T (R )V V (P A 1212-=-=气体分子的比热容比i2i 2i22i C C Vp +=+==γ12i -γ=∴气体分子的平均动能的增量)1(N A A N 1212RA k2i )T T (k 2i A A12K -γ=-γ==-=ε∆8、如图，体积为30升的园柱形容器内，有一能上下自由滑动的活塞（活塞的质量和厚度可忽略），容器内盛有1摩尔，温度为1270C 的单原子分子理想气体。
若容器外大气压强为1标准大气压，气温为270C 。
求当容器内气体与周围达到平衡时需向外放热多少？ 解：设开始时气体体积331m 1030V -⨯=，K 400273127T 1=+=5111P Pa 10108.1V RT P >⨯==所以气体降温过程分两个阶段：等容降温，直至气体的压强P 2=P 0，此时温度为T 2放热Q 1；第二阶段等压降温，直至温度T 3=T 0=300K ，放热Q 2 由 K7.365T P P T T P T P 11222211==⇒=J 428)T T (R 23)T T (C Q 1212V 1-=-=-=J 1365)T T (R 25)T T (C Q 2323p 2-=-=-=总计放热：J1079.1Q Q Q321⨯=+=9、一定质量的单原子理想气体，从初始状态a 出活塞53 b1 c 0 12 V （l ）发，经过图中的循环过程又回到状a ，其中过程ab 是直线，试求：（1）在整个循环过程中，系统对外界所作的净功； （2）循环的效率。
解：（1）acbc 21A ⋅=J1001011022135=⨯⨯⨯⨯=-（2）AE Q Qab +∆==吸)V V )(P P (21)T T (C M ma b a b a b V -++-=J 105.9)V V ()P P (21)V P V P (232a b a b a a b b ⨯=-++-=%5.10950100Q A ===η吸10、图中所示为一定质量理想气体的一个循环过程的T-V 图，其中CA 为绝热过程，状态A(T 1,V 1)和状态B （T 2,V 2）为已知，试问： （1）各分过程是吸热还是放热？（2）状态C 的V 、T 值是多少？（γ,m 已知） （3）这个循环是不是卡诺循环？ （4）这循环的效率为多少？ 解：（1）把T-V 改画为P-V 图，如右图所示 AB 等温膨胀—吸热BC 等容降温—放热 CA 绝热过程不吸放热 （2）2c V V =1121C 1CC 1AA T )V V (T V T V T ⋅=⇒=-γ-γ-γ（3）不是卡诺循环。
（4）121c 1V V V lnRT Mm )T T (C M m1Q Q 1--=-=η吸放121211211211V V V ln)V V (1111V V lnRT ])V V (1[T C 1-γ-γ-⋅-γ-=--=11、1mol 理想气体在T 1=400K 的高温热源与T 2=300K 的低温热源间作卡诺循环（可逆的）。
TP ,V 2) V在400K 的等温线上起始体积为V 1=0.001m 3, 终止体积为V 2=0.005m 3。
试求此气体在每一循环中（1）从高温热源吸收的热量Q 1； （2）气体所作的净功A ；（3）气体传给低温热源的热量Q 2。
解：（1）气体在高温热源等温膨胀吸热，故J1035.5001.0005.0ln40031.8V V lnRT Q 3121⨯=⨯==（2） 根据卡诺循环的效率公式可得吸净Q A T T 112=-=ηJ1034.11035.5)4003001(Q )T T 1A 3312⨯=⨯⨯-=-=∴吸净（（3）由能量守恒放净吸Q A Q +=可得J1001.41034.11035.5A Q Q 333⨯=⨯-⨯=-=净吸放或者J1001.41035.5400300Q T T Q T T 1Q Q 1352121⨯=⨯⨯==⇒-=-=η吸放吸放12、一台家用冰箱放在气温为300K 的房间内，做一盘-13℃的冰块需从冷冻室取走J 1009.25⨯的热量。
设冰箱为理想卡诺制冷机。
（1）求做一盘冰块所需要的功。
（2）若此冰箱能以s /J 1009.22⨯的速率取出热量，求所要求的电功率是多少瓦？ （3）做冰块需时多少？ 解：（1）卡诺循环制冷系数5.6260300260T T T 212=-=-=ωAQ 2=ωJ 1022.35.61009.2Q A 452⨯=⨯=ω=（2）电功率W2.325.61009.2q dtdA P 2=⨯=ω==（3）做冰块所需要的时间)s (101009.21009.2q Q t 3252=⨯⨯==。